1、教师：李鸿秋 18913805467,有限元基础及ANSYS应用(复习）,有限单元法与ANSYS软件简介,2,2019/11/14,课时安排,共 32 学时有限元法：24 学时上 机： 8 学时,有限单元法与ANSYS软件简介,3,2019/11/14,考试考核成绩构成,Institute of Mechanical Engineering and Automation,课程作业成绩和平时表现(15) 上机实验成绩(15) Ansys软件上机实验期末考试成绩(70%),1.1 有限元方法与ANSYS概述 1.1.1有限元方法有限元方法（Finite Element Method ,FEM）是当
2、前工程技术领域最常用、最有效的数值计算方法，已成为现代工程技术不可缺少的重要组成部分。 有限元法应用范围： 各学科领域，有固体力学，流体力学，声场问题，电磁场问题，热传导等问题的分析、设计。 可处理静态问题、动力学问题、波动问题，线性、非线性，复合材料问题，结构分析、仿真、优化设计等。 有限元法的发展过程：结构力学杆件结构连续弹性体流体问题、热学问题、电磁场等领域。,有限单元法与ANSYS软件简介,5,2019/11/14,有限元法:是求解工程问题的一种有效的数值计算方法，根据近似分割原理，把求解区域离散为有限个单元的组合，研究每个单元的特性，组装各单元，通过变分原理，把问题化成线性代数方程组
3、求解。,有限元法的实质是将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体,化无限自由度问题为有限自由度问题,将连续场函数的(偏)微分方程的求解问题转化成有限个参数的代数方程组的求解问题。,1.1.2 有限单元法简介,有限单元法与ANSYS软件简介,6,2019/11/14,载荷、节点和单元,节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和存在相互物理作用，即单元与单元之间设置的相互连接点,单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。,有限元模型:由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。,载荷,1.2有限单元法简
4、介,1.2.3 有限元方法的基本步骤,1. 结构的离散化 2. 单元分析 1）选择位移模式 2）建立单元刚度方程 3）计算等效节点力 3. 整体分析 4.求解方程，得出节点位移 5.由节点位移计算单元的应变和应力,有限单元法与ANSYS软件简介,8,2019/11/14,有限元法分析问题的基本步骤： 1、结构的离散化离散化就是将要分析的结构分割成有限个单元体，并在单元的指定位置设置节点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，构成单元的集合体代替原来的结构。结构离散化时，划分的单元大小和数目应根据计算精度的要求和计算机的容量来决定 选取坐标（右手法则） 选择合适的单元，离散结构物为有限个单元，并
5、对单元、节点进行编号,1.2.3有限单元法分析步骤,有限单元法与ANSYS软件简介,9,2019/11/14,2、选择位移模式为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体问题时，必须对单元中位移的分布做出一定的假设，一般假定位移是坐标的某种简单函数。选择适当的位移函数是有限单元法中的关键, f 单元内任意点的位移列矩阵N 单元形函数矩阵 单元节点位移的列矩阵,1.2.3有限单元法分析步骤,有限单元法与ANSYS软件简介,10,2019/11/14,3、分析单元的力学特性 利用几何方程、物理方程和最小势能原理建立单元的刚度矩阵 和载荷矩阵Fe= Ke eFe 单元节点力Ke 单元刚
6、度矩阵,1.2.3有限单元法分析步骤,有限单元法与ANSYS软件简介,11,2019/11/14,4、集合所有单元平衡方程，得到整体结构的平衡方程 先将各个单元刚度矩阵集合成整体刚度矩阵K：K =Ke 然后将各单元的等效节点力列阵集合成总的载荷列阵 ： F =Fe 5、由平衡方程求解未知节点位移 按照问题的边界条件修改总的平衡方程，并进行求解。,K整体刚度矩阵， F 整体载荷 ，整体节点位移向量,1.2.3有限单元法分析步骤,有限单元法与ANSYS软件简介,12,2019/11/14,6、单元应变和应力的计算根据已知结点的位移利用弹性力学方程和位移插值函数算出单元的应变和应力。,1.2.3有限
7、单元法分析步骤,有限单元法与ANSYS软件简介,13,2019/11/14,所有的通用有限元软件都包括：前处理、求解器、后处理 在进行实际工程分析时，也该按照以上三个模块来进行。,进入求解器 进行求解 （设定分析步骤 ，输出变量）,前处理 （建模、材料特性、 单元选择及网格划分）,进入后处理 （变形图、等值线 图，列表显示 等等后处理）,1.2.4利用有限元软件进行工程分析,1、研究的对象：,材料力学主要研究弹性杆件(如梁、柱、轴等）,弹性力学主要研究弹性体。（杆、板、壳、块体）,弹性力学与材料力学的不同,1.3 弹性力学基本知识,2、研究的方法：,已知,外力、边界条件、几何、材料,求,应力、
8、应变、位移,满足,平衡方程几何方程物理方程边界条件,弹性力学的 “三个基本” 1、基本假定 2、基本变量 3、基本方程,弹性力学的基本假定 五个基本假定： 1、连续性(Continuity) 2、线弹性(Linear elastic) 3、均匀性(Homogeneity) 4、各向同性(Isotropy) 5、小变形假定(Small deformation),(1) 连续性（Continuity）,应力、应变、位移等等才可以用坐标的连续函数来表示。,(2) 线弹性（Linear elasticity）,符合胡克定律。,(3) 均匀性（Homogeneity）,弹性常数不随位置坐标而变。,（4）
9、各向同性（Isotropy）,弹性常数不随方向而变。,符合以上假定称为理想弹性体。,(5) 小变形（Small deformation）,受力平衡后仍用原来的尺寸计算,符合以上假设，力学问题转化为线性问题，符合叠加原理。,叠加原理,作用在线弹性和小变形的弹性体上的几组载荷产生的总效应，等于每组载荷产生的效应之和，且与加载顺序无关。,弹性力学基本变量,描述变形体的三类变量：,几个概念：外力、应力、应变、位移,1）面力：是分布于物体表面的力。如静水压力，接触力。,1、外力,面力分量 向量表示,空间问题,平面问题,正负规定：面力分量 沿坐标轴正向为正.,2）体力：是分布于物体体积内的外力，如重力、磁
10、力、惯性力。,体力分量向量表示,空间问题,平面问题,正负规定：体力分量 沿坐标轴正向为正,弹性力学基本变量,位移（displacement）是指位置的移动。它在 x, y 和 z 轴上的投影用 u, v 和w。,各边边长 dx dy dz,微元,各面上应力分量,xy,yy,xz,yx,yz,zx,zy,xx,九个应力分量,zz,当微小的平行六面体趋于无穷小时，六面体上的应力就代表P点处的应力。,2、应力,下标,第一个下标表示应力分量所在的面素； 第二个下标表示应力分量作用线的方位。,弹性力学的基本方程,复杂偏微分方程组的求解，解析求解困难，主要是数值求解。,弹性力学基本方程,L：微分算子,弹性
11、力学基本方程,物理方程,D：弹性矩阵,对称,弹性力学基本方程,弹性力学三大方程,边界上呢？,空间问题的力学响应 应力 应变 位移,弹性力学空间问题共有应力、应变和位移15个未知函数，且都是f(x,y,z)；弹性力学平面问题共有应力、应变和位移8个未知函数，且均为f(x,y)。,一个方向的尺寸远小于其他两个方向的尺寸；载荷平行于平板平面内并沿厚度方向均匀分布,弹性力学的两类平面问题平面应力问题,一个方向的尺寸远大于其他两个方向的尺寸；载荷平行于截面并沿长度方向均匀分布,弹性力学的两类平面问题平面应变问题,弹性力学的两类平面问题,在实际问题中，经常遇到一些比较典型的情况，可有针对性地进行处理，如厚
12、度较薄的问题、厚度较厚的等截面问题等，这些问题无需按一般的三维弹性力学提法分析，而可以进行适当简化处理为二维问题。,1. 平面应力问题,几何特征：厚度为t的很薄的均匀木板,外力特征：面力只作用于板的边缘上，方向平行于板面且不沿厚度变化体力平行于板面且不沿厚度变化,平面应力问题,只有 三个应变分量需要考虑，所以几何方程简化为：,平面应变问题,工程中有许多问题很接近于平面应变问题，如受内压力的圆管、滚柱轴承中的滚柱等等，但它们的沿Z向长度都不是无限长的。故在靠近两端的部分，其应力应变状态比较复杂，并不符合平面应变问题的条件；因此将这类问题当作平面应变问题来考虑时，对于离开两端有一定距离的地方，得出
13、的结果还是相当满意的；但对靠近两端的部位，却有较大的出入，往往需要加以处理。,弹性力学的两类平面问题,2. 平面应变问题,几何特征：无限长等截面拄形体,外力特征：面力和体力均平行于横截面且不沿长度变化的,应变特征：,应变仅是x，y的函数；由于对称性，w0,平面应力和平面应变问题,第二章 平面问题有限元法,1.弹性力学中的物理量：载荷 、应力、应变、位移,Pv=pvx pvy pvzT,Pc= pcx pcy pczT,Ps= psx psy pszT,=x y z xy yz zx T,=x y z xy yz zx T,d=u v wT,(xi, yi) (xj, yj) (xm, ym),
14、(ui, vi) (uj, vj) (um, vm),已知,未知,二.有限单元法的计算步骤,二.有限单元法的计算步骤,2.单元分析：建立节点位移与节点力之间的转换关系。形成 每个单元的刚度矩阵，以及形成单元位移、应变、应力表达式,节点位移,节点力,2. 单元分析-单元刚度矩阵 取节点位移作基本未知量。由节点位移求节点力：其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。 单元分析的步骤可表示如下：,二.有限单元法的计算步骤,2. 单元位移函数,三节点三角形单元,本问题选用位移函数（单元中任意一点的位移与节点位移的关系）为简单多项式。所选用的这个位移函数，将单元内部任一点
15、的位移定为坐标的线性函数，位移模式很简单。a1,a2,a3,a4,a5,a6是待定常数，由单元位移的6个分量确定。,单元内的位移插值表达式,分片插值,节点位移，单元内任一点的位移,Ni、 Nj 、 Nm,性 质,1.,2.,3.,性 质,4.形函数 在单元上的面积分和边界ij上的线积分为：,(1) 常数项,(2) 线性项,(3) 位移连续性,(4) 几何各向同性,1x yx2 xy y2x3 x2y xy2 y3x4 x3y x2y2 xy3 y4x5 x4y x3y2 x2y3 xy4 y5,收敛(convergence),位移函数应满足的条件,充分条件,三.单元应变和应力 (element
16、 strain and stress),(l=i，j，m),应变矩阵,bi、 bj 、 bm ci、 cj、 cm,常数矩阵,与单元形状有关,1.单元应变,应力矩阵,物理方程,(l=i，j，m),2.单元应力,基本未知量,五.单元平衡方程,五.单元平衡方程,单元等效节点力,单元外力势能为,体积力的势能,表面力的势能,集中力的势能,五. 单元平衡方程,解 根据1（0，a）、2（0，0）、3（a，0）的坐标可得,58,5.2 单元刚度矩阵及其特点,单元面积 ，将以上各数据代入几何矩阵为,5.2单元刚度矩阵及其特点,应力转换矩阵，如下,则单元刚度矩阵为,从以上求得的结果可以看出，单元刚度矩阵是对称的
17、。1、3、5列相加等于零，2、4、6列相加也等于零，单元刚度矩阵是奇异的。另外在几何矩阵中所涉及到的元素均为“坐标差量”，而与坐标的具体值无关，从而也说明了单元刚度矩阵不随单元或坐标轴的平行移动而改变。,5.2单元刚度矩阵及其特点,1）获取单元节点信息； 2）计算单元面积 及参数 、 等； 3）计算几何矩阵 中各元素； 4）根据问题类型（平面应力、平面应变）计算弹性矩阵 ； 5）计算应力转换矩阵 ； 6）计算单元刚度矩阵 。,从单元刚度矩阵的计算公式 可以看出，在求解单元刚度矩阵时，可以不必求得应力转换矩阵 ，但在后期求解单元应力时要用到该矩阵，所以在此处一并求出，也可以根据实际情况具体考虑。
18、,5.2 单元刚度矩阵及其特点,当单元体是均质、等厚、比重为 时，则 、 ，有,即当单元有均匀自重时，在三节点三角形单元中每个节点沿y方向的等效节点力等于单元总重量的1/3。,5.3等效节点载荷,如图所示，已知在ij边受有均布面力q，单元厚度t为常数，则移置到i、j节点上的等效节点力为,如图所示，当某一边上有三角形分布的面力时，则等效节点力为,5.3 等效节点载荷- 作用在单元上的表面力,将六阶方阵 加以扩大，使成为 阶的方阵,(o),2、总刚集成过程,（1）扩阶过程,（2）叠加过程,1=(+)/2 2=(+)/6,1=(+)/2 2=(+)/2,内容 平面矩形单元 平面矩形单元分析理解：平面
19、矩形单元分析流程;平面矩形单元与三角形单元的比较,2.7 平面矩形单元,2.7 平面矩形单元,矩形单元也是常用的单元之一，由于采用了比常应变三角形单元更高次数的位移模式，故可以更好地反映弹性体的位移状态和应力状态。,单元位移场,由图可以看出，节点条件共有8个，因此，x和y方向的位移场可以各有4个待定系数，可以取以下多项式作为单元的位移场模式：,它们是具有完全一次项的非完全二次项，其中以上两式中右端的第四项 是考虑到x和y方向的对称性而取的。,如以无量纲坐标系来表达，则上式可以写成,其中：,单元应变场,根据单元的位移场函数式，由几何方程可以得到单元的应变场表达式，,记为：,单元应力场,由物理方程
20、及应变矩阵，可以得到单元的应力场表达式，,其中 为应力矩阵，D称为弹性矩阵，对于平面应力问题，,注意：矩形单元的应力场为一次线性函数。,单元刚度矩阵,和三角形单元一样，可以根据虚功理导出节点位移向量和节点力向量之间关系，即单元的刚度矩阵 ，可以将其写成分块的形式。,其中,第3章 杆单元和梁单元,本章主要介绍利用杆单元及梁单元进行结构静力学的有限元分析原理。首先介绍了杆单元的分析方法，详细给出了采用杆单元进行有限元分析的整个过程,以加深对有限元法的理解。,3.1 杆件系统的有限元分析方法,杆件只承受轴向力，可以视为一种特殊的梁单元，本节将采用有限元法来分析杆件系统，以下给出规范的有限元法中关于杆
21、单元的推导过程，以及整个杆系的求解过程。,如图3-1所示的杆件结构，左端铰支，右端作用一个集中力，相关参数如图。具体求解过程如下：,图 3-1 杆件结构,（1）确定坐标系、单元离散，确定位移变量, 外载荷及边界条件。,3.1 杆件系统的有限元分析方法,要建立两种坐标系：单元坐标系（局部坐标系）、整体坐标系。根据自然离散, 坐标系建立成一维, 单元划分为两个, 给出相应的节点1、2、3以及相应的坐标值（见图3-1）。在局部坐标系中，取杆单元的左端点为坐标原点，图3-2为任取的一个杆单元。,图 3-2 杆单元,对于两个节点的杆单元，存在如下节点力和节点位移的关系式,(3.1),其中， 称为单元刚度
22、矩阵,3.1 杆件系统的有限元分析方法,（2）确定位移模式,假设单元位移场：,取其线性部分，系数 、 可由节点位移 、 确定,(3.2),（3）形函数矩阵的推导,由单元的节点条件, 两个节点坐标为x1、x2,两个节点位移为 ， ，代入上式插值模式公式得：,求解得到,3.1 杆件系统的有限元分析方法,这样， 可以写成如下矩阵形式,得到形函数矩阵,记节点位移矢量是,3.1 杆件系统的有限元分析方法,因此，用形函数矩阵表达的单元内任一点的位移函数是,(3.6),（4）应变,由弹性力学的几何方程知1维杆单元满足,(3.7),（5）应力,由弹性力学的物理方程知：,(3.8),3.1 杆件系统的有限元分析
23、方法,（6）利用最小势能原理导出单元刚度矩阵,得到单元刚度矩阵,(3.10),3.1 杆件系统的有限元分析方法,根据最小势能原理， ，得,(3.11),其中节点载荷矩阵为,（7）把所有单元按结构形状进行组集,对于图3.1所示结构,第一个单元：,3.1 杆件系统的有限元分析方法,整体刚度矩阵为：,第二个单元：,3.1 杆件系统的有限元分析方法,上式的即为整体刚度矩阵。即根据最小势能原理，由各单元刚度矩阵求出的整体刚度矩阵。下式是由整体刚度矩阵表达的系统方程：,(3.13),3.1 杆件系统的有限元分析方法,（8）引入边界条件,（9）求解节点位移：由于 ，可划去它所对应的行和列,3.1 杆件系统的
24、有限元分析方法,（10）求单元应变,（3.17）,（11）各单元应力,利用物理方程，求单元的应力,（3.18）,3.1 杆件系统的有限元分析方法,（12）各支点反力,（3.19）,为了清楚起见, 将上述两杆结构代入具体数值： ， ， ，进行相应的单元应力计算。得到的结果如下：,=,七. ANSYS平面结构计算示例,7.1问题描述,如右图所示长方形板ABCD，板厚0.04m，孔半径r=0.2m，E=210GPa，泊松比=0.3，约束条件：在长方形底边AD约束全部自由度, BC边施加垂直向下均布载荷g=10000000N/m。,长方形板结构,7.2 ANSYS求解操作过程,打开Ansys软件，在A
25、nsys环境下做如下操作。,单元类型对话框,（1）选择单元类型运行PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete，弹出Element Types对话框，如右图所示。单击Add，弹出 Library of Element Types窗口，如下图所示，依次选择Structural Solid， Quad 8 node 82，单击OK。,单元类型库对话框,七. ANSYS平面结构计算示例,在Element Types对话框中，如左下图所示，单击Options，弹出如右下图所示对话框，设置K3选项栏为Plane strs w/thk，设置K5选项栏为Nodal stre
26、ss，设置K6选项栏为No extra output。表示单元是应用于平面应力问题，且单元是有厚度的。,单元类型对话框,PLANE82 单元选项设置对话框,七. ANSYS平面结构计算示例,（2）定义实常数 运行PreprocessorReal ConstantsAdd /Edit/Delete，弹出如左下图所示对话框，点击Add，弹出如下中图所示对话框，点击OK，弹出如右下图所示对话框，在THK选项栏中设置板厚度为0.04m。设置完毕单击OK按钮。,实常数对话框,选择要设置实常数的单元类型,PLANE82实常数设置,七. ANSYS平面结构计算示例,（3）设置材料属性运行Preprocess
27、orMaterial PropsMaterial Models，弹出如图右上所示对话框，依次双击Structural，Linear，Elastic，Isotropic，弹出右下图所示对话框，在EX选项栏中设置数值2.1e11，在PRXY选项栏中设置数值0.3。设置完毕单击OK按钮。,选择材料属性对话框,设置材料属性对话框,七. ANSYS平面结构计算示例,（4）建立模型 运行PreprocessorModelingCreateAreaRectangleBy 2 Corners，弹出如左图所示对话框，设置参数，WP X选项栏中填写0，WP Y选项栏中填写0，Width选项栏中填写1.5，Heig
28、ht选项栏中填写1，单击OK。继续运行PreprocessorModelingCreateAreaCircleSolid Circle，得到如右图所示对话框，在WP X选项栏中填写0.75，WP Y选项栏中填写0.5，在Radius选项栏中填写0.2，设置完毕点击OK按钮。,建立矩形对话框,创建实心圆对话框,七. ANSYS平面结构计算示例,进行布尔运算：PreprocessorModelingOperateBooleans SubtractAreas，先选矩形面单击 OK，再单击圆面，单击OK。得 到如右图所示图形。,长方形板模型,（5）划分网格 运行MeshingSize CntrlsMa
29、nual SizeAreasAll Areas，弹出如下图所示对话框，在SIZE选项栏中填写0.05，点击OK按钮。,设置网格尺寸对话框,七. ANSYS平面结构计算示例,运行MeshMesh Tool，弹出如左图所示对话框，在Shape选项栏后面，选择Tri和Free，单击Mesh.划分网格，网格划分如下图2所示。,网格划分对话框,划分网格后的有限元模型,七. ANSYS平面结构计算示例,施加全约束,（6）施加约束 选择菜单SolutionDefine LoadsApplyStructure DisplacementOn Lines，选择长方形底边，弹出右图所示对话框，选择All DOF，单
30、 击OK。,七. ANSYS平面结构计算示例,拾取要施加载荷的边,施加载荷对话框,（8）求解 运行SolutionSolveCurrent LS，弹出如图4-26所示对话框。单击OK按钮，开始计算，计算结束会弹出计算完毕对话框，单击Close关闭对话框，计算完毕。,求解当前步载荷对话框,（7）施加载荷 选择菜单SolutionDefine LoadsApplyStructure PressureOn Lines，弹出左下图对话框。拾取长方形上边，单击OK按钮。弹出如右上所示对话框。在VALUE选项栏中填写10000000。设置完毕点击OK完成设置。,（9）后处理运行 General PostprocPlot ResultsContour PlotNodal Solu，弹出如下图所示对话框，运行DOF SolutionDisplacement vector sum和Stressvon Mises stress，分别显示长方形面板的位移云图和应力云图。 结果显示如后所示。,云图显示对话框,七. ANSYS平面结构计算示例,位移变形云图,等效应力云图,7.3 结论,从长方形面板的位移云图可知，最大位移发生在圆孔的上部，最大位移为0.75010-4m。从长方形面板的应力云图可知，最大应力发生在圆孔的两侧，最大应力为32.9MPa。,第四章 平面结构问题的有限单元法,
