1、教师：李鸿秋 18913805467,有限元基础及ANSYS应用,第二章 平面问题有限元法,位 移,载 荷,几何方程,物理方程,基本未知量,解题思路,回顾,连续体有限元分析的基本流程,整体 离散,单元分析,单元 组装,引入边界条件整体解算,连续体结构,单元内的位移插值表达式,分片插值,节点位移，单元内任一点的位移,单元应变,(l=i，j，m),应变矩阵,bi、 bj 、 bm ci、 cj、 cm,常数矩阵,与单元形状有关,单元应变,应力矩阵,物理方程,(l=i，j，m),单元应力,基本未知量,单元刚度矩阵,单元刚度矩阵,其中,对于平面应变问题，上式中的 应换成,， 换成,单元刚阵,常数矩阵,
2、单元刚度矩阵,实际上作用在物体上的外力可以直接作用在节点上，也可以不作用在节点上，然而在有限元法中要求作用在物体上的各种外力必须用作用在节点上的力表示。这一点体现了有限法中“离散化”这一概念，即将连续体离散成只有在节点处相连的单元体，单元与单元之间的联系只能通过节点。单元内任意点的位移、应力、应变等变量最终都用单元节点位移来表示。同样，作用在物体上的各种外力也必须用作用在节点上的力表示，这一过程称为外力的静力等效移置，所得到的节点力称为等效节点力。,5.3 等效节点载荷,单元等效节点力,单元外力势能为,体积力的势能,表面力的势能,集中力的势能,5.3 等效节点载荷,当单元体是均质、等厚、比重为
3、 时，则 、 ，有,即当单元有均匀自重时，在三节点三角形单元中每个节点沿y方向的等效节点力等于单元总重量的1/3。,5.3等效节点载荷,如图所示，已知在ij边受有均布面力q，单元厚度t为常数，则移置到i、j节点上的等效节点力为,如图所示，当某一边上有三角形分布的面力时，则等效节点力为,5.3 等效节点载荷- 作用在单元上的表面力,（1）扩阶过程,（2）叠加过程,5.4 整体的刚度矩阵,（1）将方程分组,（2）对角线元素改1，同行同列其他元素改0,（3）对角线元素乘以一个大数,六、约束处理,（2）对角线元素改1，同行同列其他元素改0,若第r个位移分量 为已知值 则将整体刚度矩阵中主对角线元素 改
4、为 1 ，第r行、第r列的其他元素改为 0 ，荷载矩阵中第r行的元素改为 ，其他元素都减去结点位移的已知值和原中这行相应列元素的乘积。,若已知节点位移为：,把所有有约束自由度的行或列置为0，所有主对角元素置为1。F中的各行元素都减去节点位移的已知值与原来K中这行相应列元素的乘积,六、约束处理,计算其它物理量,2. 单元分片插值（单元分析）,提高精度的办法：,增加插值多项式的项数,线性插值函数,如何增加？,增加节点,2.7 平面矩形单元,矩形单元也是常用的单元之一，由于采用了比常应变三角形单元更高次数的位移模式，故可以更好地反映弹性体的位移状态和应力状态。,如图所示四节点矩形单元，记单元的节点位
5、移向量 和节点力向量 为：,为了能推导出简洁的结果，在这里引入无量纲坐标：,单元位移场,由图可以看出，节点条件共有8个，因此，x和y方向的位移场可以各有4个待定系数，可以取以下多项式作为单元的位移场模式：,它们是具有完全一次项的非完全二次项，其中以上两式中右端的第四项 是考虑到x和y方向的对称性而取的。,由节点条件，在 处，有,回代，可以求解出待定系数 ，然后整理可得,其中，N为单元的形函数矩阵，,单元位移场,如以无量纲坐标系来表达，则上式可以写成,其中：,单元应变场,根据单元的位移场函数式，由几何方程可以得到单元的应变场表达式，,记为：,这里，B矩阵称为几何矩阵。B矩阵可以表示为分块矩阵的形
6、式,其中,注意：矩形单元的应变场为一次线性函数。,单元应力场,由物理方程及应变矩阵，可以得到单元的应力场表达式，,其中 为应力矩阵，D称为弹性矩阵，对于平面应力问题，,注意：矩形单元的应力场为一次线性函数。,将应力矩阵表示为分块矩阵的形式,其中：,对于平面应变问题，只需将E换为 ， 换为 。,单元刚度矩阵,和三角形单元一样，可以根据虚功理导出节点位移向量和节点力向量之间关系，即单元的刚度矩阵 ，可以将其写成分块的形式。,其中,对于平面应力问题，如果单元厚度t为常数，则可得刚度矩阵的显式形式：,积分得：,单元刚度矩阵,单元的体积力和表面力引起的节点力和三角形三节点单元的计算公式相同。由于位移分量
7、在x为常数及y为常数的直线上是线性变化的，因此节点的分配也符合静力等效原则。 （1）对于单元的自重W，载荷列阵为：,单元等效节点力,（2）如果单元在一个边界上受到三角形分布的表面力，在该边界上一个节点处为0，另一个节点处为最大，在将总表面力的1/3移植到前一个节点，2/3移植到后一个节点。,矩形单元和三角形单元的比较：矩形单元中的应力分量不是常量，若弹性体中采用相同数目的节点时，矩形单元比比三角形单元能更好的反映应力急剧变化的情况。 但是，矩形单元比三角形单元的适应性差，不能适应斜线及曲线边界，且不便于对不同部位采用大小不等的单元。,单元等效节点力,整体平衡方程：根据单元的刚度矩阵K，等效节点
8、力矩阵，按对号入座的方式叠加组装，整体刚度矩阵和节点载荷矩阵，从而得到整体平衡方程。,八、计算结果处理,1=(+)/2 2=(+)/6,1=(+)/2 2=(+)/2,连续体有限元分析中的几次近似,1. 逼近性离散（网格剖分）,提高精度的办法：,减小单元尺寸,改变单元形状,第3章 杆单元和梁单元,本章主要介绍利用杆单元及梁单元进行结构静力学的有限元分析原理。首先介绍了杆单元的分析方法，详细给出了采用杆单元进行有限元分析的整个过程,以加深对有限元法的理解。,3.1 杆件系统的有限元分析方法,杆件只承受轴向力，可以视为一种特殊的梁单元，本节将采用有限元法来分析杆件系统，以下给出规范的有限元法中关于
9、杆单元的推导过程，以及整个杆系的求解过程。,如图3-1所示的杆件结构，左端铰支，右端作用一个集中力，相关参数如图。具体求解过程如下：,图 3-1 杆件结构,（1）确定坐标系、单元离散，确定位移变量, 外载荷及边界条件。,3.1 杆件系统的有限元分析方法,要建立两种坐标系：单元坐标系（局部坐标系）、整体坐标系。根据自然离散, 坐标系建立成一维, 单元划分为两个, 给出相应的节点1、2、3以及相应的坐标值（见图3-1）。在局部坐标系中，取杆单元的左端点为坐标原点，图3-2为任取的一个杆单元。,图 3-2 杆单元,对于两个节点的杆单元，存在如下节点力和节点位移的关系式,(3.1),其中， 称为单元刚
10、度矩阵,3.1 杆件系统的有限元分析方法,（2）确定位移模式,假设单元位移场：,取其线性部分，系数 、 可由节点位移 、 确定,(3.2),（3）形函数矩阵的推导,由单元的节点条件, 两个节点坐标为x1、x2,两个节点位移为 ， ，代入上式插值模式公式得：,求解得到,3.1 杆件系统的有限元分析方法,这样， 可以写成如下矩阵形式,导出,(3.3),得到形函数矩阵,(3.4),记节点位移矢量是,(3.5),3.1 杆件系统的有限元分析方法,因此，用形函数矩阵表达的单元内任一点的位移函数是,(3.6),（4）应变,由弹性力学的几何方程知1维杆单元满足,(3.7),（5）应力,由弹性力学的物理方程知
11、：,(3.8),3.1 杆件系统的有限元分析方法,（6）利用最小势能原理导出单元刚度矩阵,得到单元刚度矩阵,(3.10),3.1 杆件系统的有限元分析方法,根据最小势能原理， ，得,(3.11),其中节点载荷矩阵为,（7）把所有单元按结构形状进行组集,对于图3.1所示结构,第一个单元：,3.1 杆件系统的有限元分析方法,整体结构的总势能是所有单元的势能的和，即,第二个单元：,在这里，把表达成整体位移矢量 的函数，如下：,3.1 杆件系统的有限元分析方法,上式的即为整体刚度矩阵。即根据最小势能原理，由各单元刚度矩阵求出的整体刚度矩阵。下式是由整体刚度矩阵表达的系统方程：,(3.13),3.1 杆件系统的有限元分析方法,（8）引入边界条件,由于 ，可划去它所对应的行和列,3.1 杆件系统的有限元分析方法,（9）求解节点位移,由上式方程可以直接求解得到 , 注意到R2是内 力，不做功。在求解过程中，可以视为0。也就是,（3.16）,=,3.1 杆件系统的有限元分析方法,（10）求单元应变,（3.17）,（11）各单元应力,利用物理方程，求单元的应力,（3.18）,3.1 杆件系统的有限元分析方法,（12）各支点反力,各支反力公式是由单元最小势能原理得到的，即,（3.19）,为了清楚起见, 将上述两杆结构代入具体数值： ， ， ，进行相应的单元应力计算。得到的结果如下：,=,
