1、 - 1 -九年级数学第 23章一元二次方程复习讲义一、一元二次方程的定义方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的整式的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：ax 2+bx+c=0（a0）其中二次项系数是 a，一次项系数是 b，常数项是 c例 1求方程 2x2+3=2 x-4的二次项系数，一次项系数及常数项的积例 2若关于 x的方程（m+3） 27mx+（m-5）x+5=0 是一元二次方程，试求 m的值，并计算这个方程的各项系数之和例 3若关于 x的方程（k 2-4）x 2+ 1kx+5=0是一元二次方程，求 k的取值范围例 4若 是方程 x2-5x+1=0的一个根
2、，求 2+ 1的值1关于 x的一元二次方程 22550xp的一个根为 1，则实数 p的值是（ ）A 4B 0或 2C 1D 12一个三角形的两边长为 3和 6，第三边的边长是方程 (2)40x的根，则这个三角形的周长是（ ）11 11 或 13 13 11 和 133如图，在宽为 20m，长为 32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪要使草坪的面积为 2540m，求道路的宽（部分参考数据：2104， 25704， 283）二、一元二次方程的一般解法基本方法有：（1）配方法； （2）公式法； （3） 因式分解法。联系：降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次
3、方程，即降次公式法是由配方法推导而得到配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程区别：配方法要先配方，再开方求根公式法直接利用公式求根因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为 0，再分别使各一次因式等于 0例 1、用三种方法解下列一元二次方程1、x 2 +8x+12=0 2、3x 2- 3x-6=0- 2 -用适当的方法解一元二次方程1、x 2-2x-2=0 2、2x 2+1=2 3x 3、x（2x-3）=（3x+2）（2x-3） 4、4x 2-4x+1=x2+6x+95、（x-1） 2-2（x 2-1）=0 注意：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法
4、和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法三、判定一元二次方程的根的情况？一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式是=b 2-4ac，1=b 2-4ac0 一元二次方程有两个不相等的实根； 2=b 2-4ac=0 一元二次方程有两个相等的实数；3=b 2-4ac0 Bk0的解集是_10已知关于 x的方程 x2+3x+k2=0的一个根是-1，则 k=_11若 x=2- 10，则 x2-4x+8=_12若（m+1） (2)1mx+2mx-1=0是关于 x的一元二次方程，则 m的值是_13若 a+b+c=0，且 a0，则一元二次方程 ax2+bx+c=0必有一个定根，它是_14若矩
5、形的长是 6cm，宽为 3cm，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_15若两个连续偶数的积是 224，则这两个数的和是_三、计算题（每题 9分，共 18分）16按要求解方程：（1）4x 2-3x-1=0（用配方法）； （2）5x 2- 5x-6=0（精确到01）17用适当的方法解方程：（1）（2x-1） 2-7=3（x+1）； （2）（2x+1）（x-4）=5；（3）（x 2-3） 2-3（3-x 2）+2=018若方程 x2-2x+ 3（2- ）=0 的两根是 a和 b（ab），方程 x-4=0的正根是c，试判断以 a、b、c 为边的三角形是否存在若存在，求出它的面积；若不存
6、在，说明理由- 9 -19已知关于 x的方程（a+c）x 2+2bx-（c-a）=0 的两根之和为-1，两根之差为1，其中 a，b，c 是ABC 的三边长（1）求方程的根；（2）试判断ABC 的形状20某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是 500元，销售价为 625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低 20%，第二个月比第一个月提高 6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？21李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程 11公里，应收 29.10元”出租车司机说：“请付 29.10元”该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出
7、起步价 N（N6价格（元） N 25【中考真题】22.（2008 广州）方程 (2)0x的根是（ ）A 2x B C 120,x D 120,x23.（2008 襄樊）某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的 8 ，则平均每次降价（ ）A 10 B 9 C .5 D 2024.（2008 威海）关于 x的一元二次方程 2xm的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 25（2008 四川省资阳）已知 a、 b、 c分别是三角形的三边，则方程( a + b)x2 + 2cx + (a + b)0 的根的情况是（ ）A没有实数根 B可能有且只有一个
8、实数根C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根26（200 年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）关于 x的一元二次方程022mx的一个根为 1，则方程的另一根为 .27.（2008 江苏省淮安市）小华在解一元二次方程 x2-4x=0时只得出一个根是 x=4,则被他漏掉的一个根是 x=_28(2008 东莞市)在长为 10cm，宽为 8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的 80，求所截去小正方形的边长。- 10 -29(2008 年湘潭)阅读材料：如 果 1x， 2是 一 元 二 次 方 程 20axbc的 两 根 ， 那 么 有1,bca.
9、 这是一元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 ， 我 们 利 用 它 可 以 用 来 解 题 :设 12,x是 方 程 2630x的 两 根 ， 求 21x的 值 .解 法 可 以 这 样 ： 12,123,则2211()xx(6)()4. 请你根据以上解法解答下题：已知 2,是方程 40的两根，求：（1） 12x的值；（2） 21()x的值.- 11 -顶尖教育一元二次方程单元测试卷（考试时间：120 分，满分： 150 分）姓名 成绩评定 一、选一选（每小题 3分，共 36分） 1方程 x2+4x=2的正根为（ ）A2- B2+ C-2- D-2+66662已知关于 x的一元二次
10、方程的两个根是 1和-2，则这个方程是（ ）A. B. C. D.002x02x012x3.某商品两次价格上调后，单价价格从 4.05元变为 5元,则平均每次调价的百分率约为（ ）A9% B10% C11% D12%4.若使分式 的值为零，则 x的取值为（ ）132xA1 或-1 B.-3 或 1 C.-3 D.-3或 15将方程 3（2x 21）=（x+ ）（x ）+3x+5 化成一般形式后，其二次项系3数，一次项系数，常数项分别为。（ ）A5，3，5 B5，3，5 C7， ，2 D8，6，16某商店卖出 A、B 两种价格不同的商品，商品 A连续两次提价 20%，同时商品 B连续两次降价 2
11、0%，结果都以 a元出售，则两种商品的原价分别是（ ）A.（1+20%） 2；a（120%） 2 B ；22;(10%)()a; a（120%） 2222.(0%); .()()CD7已知一个三角形的两边长是方程 的根，则第三边长 y的取值范围是582x（ ）Ay-2 且 a0 点拨：不可忘记 a010 2 点拨：把-1 代入方程：（-1） 2+3（-1）+k 2=0，则 k2=2，所以 k=1114 点拨：由 x=2- 10，得 x-2=- 10两边同时平方，得（x-2） 2=10，即x2-4x+4=10， 所以 x2-4x+8=14注意整体代入思想的运用12-3 或 1 点拨：由 ()2,
12、.m 解得 m=-3或 m=1131 点拨：由 a+b+c=0，得 b=-（a+c），原方程可化为 ax-（a+c）x+c=0，解得 x1=1，x 2= ca143 cm 点拨：设正方形的边长为 xcm，则 x2=63，解之得 x=3 2，由于边长不能为负，故 x=-3 舍去，故正方形的边长为 3 cm1530 或-30 点拨：设其中的一个偶数为 x，则 x（x+2）=224解得 x1=14，x 2=-16，则另一个偶数为 16，-14这两数的和是 30或-30三、16解：（1）4x 2-3x-1=0，称 ，得 4x2-3x=1，二次项系数化为 1，得 x2- 34x= 1，配方，得 x2-
13、x+（ 8） 2= +（ ） 2，（x- 38） 2= 56，x- = ，x= 58，所以 x1= + =1，x 2= 3- = 14（2）5x 2- 5x-6=0- 15 -原方程可化为（ 5x+2）（ x-3）=0，5+2=0或 -3=0，所以 x1= 2=0.9，x 2= 351.3点拨：不要急于下手，一定要审清题，按要求解题17解：（1）（2x-1） 2-7=3（x+1）整理，得 4x2-7x-9=0，因为 a=4，b=-7，c=-9所以 x=2(7)4(9)7138即 x1= 938，x 2= 18（2）（2x+1）（x-4）=5，整理，得 2x2-7x-9=0，（x+1）（2x-9
14、）=0，即 x+1=0或 2x-9=0，所以 x1=-1，x 2= （3）设 x2-3=y，则原方程可化为 y2+3y+2=0解这个方程，得 y1=-1，y 2=-2当 y1=-1时，x 2-3=-1x 2=2，x 1= ，x 2=- 当 y2=-2时，x 2-3=-2，x 2=1，x 3=1，x 4=-1点拨：在解方程时，一定要认真分析，选择恰当的方法，若遇到比较复杂的方程，审题就显得更重要了方程（3）采用了换元法，使解题变得简单18解：解方程 x2-2x+ （2- 3）=0，得 x1= 3，x 2=2- 方程 x2-4=0的两根是 x1=2，x 2=-2所以 a、b、c 的值分别是 ，2-
15、 ，2因为 3+2- =2，所以以 a、b、c 为边的三角形不存在点拨：先解这两个方程，求出方程的根，再用两边的和与第三边相比较等来判断19解：（1）设方程的两根为 x1，x 2（x 1x2），则 x1+x1=-1，x 1-x2=1，解得x1=0，x 2=-1（2）当 x=0时，（a+c）0 2+2b0-（c-a）=0所以 c=a当 x=-1时，（a+c）（-1） 2+2b（-1）-（c-a）=0a+c-2b-c+a=0，所以 a=b即 a=b=c，ABC 为等边三角形点拨：先根据题意，列出关于 x，x 的二元一次方程组，可以求出方程的两个根 0和-1进而把这两个根代入原方程，判断 a、b、c
16、 的关系，确定三角形的形状20解：设该产品的成本价平均每月应降低 x625（1-20%）（1+6%）-500（1-x） 2=625-500整理，得 500（1-x） 2=405，（1-x） 2=0.811-x=0.9，x=10.9，x1=1.9（舍去），x 2=0.1=10%答：该产品的成本价平均每月应降低 10%点拨：题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到 125元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价21解：依题意，N+（6-3） 2N+（11-6） 25=29.10，整理，得 N2-29.1N+191=0，解得 N1=19.1，N
17、 2=10，由于 N12，所以 N1=19.1舍去，所以 N=10答：起步价是 10元点拨：读懂表格是正确列出方程的基础，表格中的含义是：当行车里程不超过3公里时，价格是 10元，当行车里程超过了 3公里而不超过 6公里时，除付 10元外，超过的部分每公里再 2付元；若行车里程超过 6公里，除了需付以上两项费- 16 -用外，超过 6公里的部分，每公里再付 25N元22C 23。 A 24。B 25。A 26。-2 27。028.解：设小正方形的边长为 . xcm由题意得， .21840%18解得， . 2, x经检验， 符合题意， 不符合题意舍去.12x .答：截去的小正方形的边长为 . c
18、m29解： 12124,xx（1） 21（2） 221 1()()48xx 1、答案：解：（1）设 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为 x千米，A由题意得 023，解得 80A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为 180千米（2） 1.8080（元），该车货物从 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为 380元 （3）设这批货物有 y车，由题意得 802(1)3802y， 整理得 26041y，解得 1y， 5（不合题意，舍去）， 这批货物有 8车 做一个这样的箱子要花 元钱 3520710分2、答案：解：（1）据表格，可得 解方程组，得792.154865.xy，（2）设 2006年至 2008年全省茶叶种植产茶年总产量的平均增长率为37.4xy，p，2006 年全省茶叶种植产茶面积为 267.万亩，从而 2006年全省茶叶种植产茶的总产量为 （万吨）据题意，得 213.894()p，解方程，267.0513.894得 ， .26p 或 .26（舍去），从而增长率为 1.p 6%3、答案：设这种箱子底部宽为 米，则长为 米， x()x依题意，得 解得 （舍）， ()15x1523x 这种箱子底部长为 米、宽为 米3由长方体展开图知，要购买矩形铁皮面积为 （米 ） ()29分
