1、 1一元二次方程讲义教学内容考点一、概念(1)定义： 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是 2，这样的 整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式： )0(2acbxa注：当 b=0 时可化为 这是一元二次方程的配方式(3)四 个 特 点 ： (1)只 含 有 一 个 未 知 数 ； (2)且 未 知 数 次 数 最 高 次 数 是 2； (3)是 整 式 方 程 要 判 断一 个 方 程 是 否 为 一 元 二 次 方 程 ， 先 看 它 是 否 为 整 式 方 程 ， 若 是 ， 再 对 它 进 行 整 理 如 果 能 整 理 为的 形 式 ， 则 这 个 方 程 就 为 一 元 二
2、 次 方 程 （ 4） 将 方 程 化 为 一 般 形 式 ：02acbxa时 ， 应 满 足 （ a 0）(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是 2”：该项系数不为“0” ；未知数指数为“2” ；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ）A B C D 123x 021x02cbxa12x变式：当 k 时，关于 x 的方程 是一元二次方程。3k例 2、方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 。03mx考点二、方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代
3、数式的值； 典型例题：例 1、已知 的值为 2，则 的值为 。32y142y例 2、关于 x 的一元二次方程 的一个根为 0，则 a 的值为 。04axa说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例 3、已知关于 x 的一元二次方程 的系数满足 ，则此方程必有一根为 2cbbc。2说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。例 4、已知 是方程 的两个根， 是方程 的两个根，则 m 的值为 ba, 042mxcb, 0582my。例 5、已知 ， ， ，求 12a012ba变式：若 ， ，则 的值为 。02ab6、方程 的一个根为（ ）0
4、cxbA B 1 C D 1cba7、若 。yx、yx324,0352考点三、方程解法（ 1） 基 本 思 想 方 法 ： 解 一 元 二 次 方 程 就 是 通 过 “降 次 ”将 它 化 为 两 个 一 元 一 次 方 程 。（2）方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法类型一、直接开方法： 就 是 用 直 接 开 平 方 求 解 一 元 二 次 方 程 的 方 法 。用 直 接 开 平 方 法 解 形 如 mxmx其 解 为 ：,02对于 ， 等形式均适用直接开方法ax2 2nb典型例题：例 1、解方程： （ 2） ;0812x7)132x（ ;09132x（4） （ 5）69649
5、例 2、解关于 x 的方程： 2bax3. 下列方程无解的是（ ）A. B. C. D.1322x02x132092类型二、配方法基 本 步 骤 :1.先 将 常 数 c 移 到 方 程 右 边 2.将 二 次 项 系 数 化 为 1 3.方 程 两 边 分 别 加 上 一 次 项 系 数 的 一 半 的 平 方 4.方 程 左 边 成 为 一 个 完 全 平 方 式 ： 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例 1、试用配方法说明 的值恒大于 0， 的值恒小于 0。32x712x例 2、已知 x、y 为实数，求代数式 的最小值。42yx3变式：若
6、 ，则 t 的最大值为 ，最小值为 。91232xt例 3、已知 为实数，求 的值。、yyx064yx变式 1：已知 ，则 .2xx1变式 2：如果 ,那么 的值为 。421bacba cba32例 4、分解因式： 342类型三、因式分解法: 把 方 程 变 形 为 一 边 是 零 ， 把 另 一 边 的 二 次 三 项 式 分 解 成 两 个 一 次 因 式 的 积 的形 式 ， 让 两 个 一 次 因 式 分 别 等 于 零 ， 得 到 两 个 一 元 一 次 方 程 ， 解 这 两 个 一 元 一 次 方 程 所 得 到 的 根 ，就 是 原 方 程 的 两 个 根 。 这 种 解 一
7、元 二 次 方 程 的 方 法 叫 做 因 式 分 解 法 021x21,xx或方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0” ，方程形式：如 ， ，22nbxmaxcxabxa02ax分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法针对练习：例 1、 的根为（ ）352xxA B C D 3,251x52x例 2. （1） (平方差) (2) (提公因式)22694ba yy323468（3） （平方差) （4） (完全平方式) (nm 92a(5） (完全平方式) （6） （十字相乘法） 232yx 45(b（7） （十字相乘法） （8） (提公因式)1qp 32()mnn
8、例 3、若 ，则 4x+y 的值为 。04342yxyx例 4、方程 的解为（ ）64A. B. C. D.231、x231x321、x21、x例 5、解方程： 04例 6、已知 ,则 的值为 。0232yxyx变式：已知 ,且 ,则 的值为 。220yx例 7、解下列方程(1) (2x 3)2 = (3x 2)2 (2) - = x+2 4x+145 x-52 23(4) 5m2 17m + 14=0 (5) (x2 +x+1)(x2 +x + 12)=42 (6) 2x2 + (3a-b)x 2a2+3ab- b2 =0例 8、解关于 x 的方程 x2+x 2+k(x2+2x)=0 （对
9、k 要讨论）类型四、公式法：把 一 元 二 次 方 程 化 成 一 般 形 式 ， 然 后 计 算 判 别 式 的 值 ， 当 判 别 式 大 于 等 于 零时 ， 把 各 项 系 数 a, b, c 的 值 代 入 求 根 公 式 ,就 可 得 到 方 程 的 根 。 条件： 公式： ,04,02且 acbx2404,02acb且典型例题：例 1、选择适当方法解下列方程： .632x.863x 12x 04511x说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。例 2、在实数范围内分解因式：（1） ； （2） . 32x1842x2254yx说
10、明：对于二次三项式 的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用cbax求根公式，这种方法首先令 =0，求出两根，再写成 = .cx2 cbxa2 )(21xa分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用主要内容：求代数式的值；解二元二次方程组。典型例题：5例 1、已知 ，求代数式 的值。0232x123x例 2、如果 ，那么代数式 的值。12 723例 3、已知 是一元二次方程 的一根，求 的值。a012x1523a说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：能对已知式进行灵活的变形；能利用已知条件或变形条件，逐步把所
11、求代数式的高次幂化为低次幂，最后求解。例 4、用两种不同的方法解方程组 )2(.065,22yx说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根与系数的关系前提： 对于 而言，当满足 、 时，才能用韦达定理。02cbxa0a主要内容： 2121,应用： 整体代入求值。典型例题：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 的两根，则这个直角三0782x角形的斜边是（ ）A. B.3 C.6 D.3 6说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握 、 、 、ba
12、ab之间的运算关系.2ba例 2、解方程组： .2,10)(;4,10)(yxxy说明：一些含有 、 、 的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以xy利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便.6例 3、已知关于 x 的方程 有两个不相等的实数根 ，012xkx 21,x（1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。例 4、当 取何值时，方程 的根与 均为有理数？k 042342 kmxx例 5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 1）时，小
13、明因看错常数项，而得到解为 8 和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9 和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 6、已知 ， ， ，求 ba012a012bba变式：若 ， ，则 的值为 。例 7、已知 是方程 的两个根，那么 .,2x34测试题目： 一、选择题1解方程：3x 2+27=0 得（ ）.(A)x=3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个2方程（2-3x）+（3x-2） 2=0 的解是（ ）.(A) ,x2=-1 (B) ,(C)x1=x2= (D) ,x2=13.方程(x-1) 2=4 的根是( ).7(A)3,-3 (B)3,-1 (
14、C)2,-3 (D)3,-24.用配方法解方程: 正确的是( ).(A) (B)(C) ,原方程无实数解 (D) 原方程无实数解5.一元二次方程 用求根公式求解,先求 a,b,c 的值,正确的是( ).(A) a=1,b= (B)a=1,b=- ,c=2(C)a=-1,b=- ,c=-2 (D)a=-1,b= ,c=26用公式法解方程：3x 2-5x+1=0，正确的结果是（ ）.（A） （B） （C） （D）都不对二、填空7方程 9x2=25 的根是_ .8.已知二次方程 x2+(t-2)x-t=0 有一个根是 2,则 t=_,另一个根是_.9.关于 x 的方程 6x2-5(m-1)x+m2-
15、2m-3=0 有一个根是 0,则 m 的值为_.10.关于 x 的方程(m 2-m-2)x2+mx+n=0 是一元二次方程的条件为_.11.方程(x+2)(x-a)=0 和方程 x2+x-2=0 有两个相同的解,则 a=_.三、用适当的方法解下列关于 x 和 y 的方程812（x+2）（x-2）=1. 13.(3x-4) 2=(4x-3)214.3x2-4x-4=0. 15.x2+x-1=0.16.x2+2x-1=0. 17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.18.2x2- 19.x2-bx-2b2=0.20.a2x2+2abx+b2-4=0(a0). 21（b-c）x 2-（c-a）x
16、+（a-b）=0（ac）22用因式分解法、配方法、分式法解方程 2x2+5x-3=0.（A） 因式分解法 （B）配方法 （C）公式法23解方程：（1） （2）24解关于 x 的方程：x 2-2x+1-k（x 2-1）=025已知|2m-3|=1，试解关于 x 的方程 3mx（x+1）-5（x+1） （x-1）=x 2926、某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少？27、将一条长 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少?
