1、1考点一、概念(1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式： )0(2acbxa（3）关键点：强调对最高次项的讨论：次数为“2” ；系数不为“0” 。典型例题：例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ）A B 12x 021xC D 02cba 2变式：当 k 时，关于 x 的方程 是一元二次方程。32k例 2、方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 132mx。针对练习：1、方程 的一次项系数是 ，常数项是 。782x2、若方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是 112xm。考点二、方程的解
2、内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：例 1、已知 的值为 2，则 的值为 。32y142y例 2、关于 x 的一元二次方程 的一个根为 0，则 a 的值为 04axa。说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例 3、已知关于 x 的一元二次方程 的系数满足 ，则此方2cbx bc程必有一根为 。说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。例 4、已知 ， ， ，求 ba012a012bba变式：若 ， ，则 的值为 。2针对练习：21、已知方程 的一根是 2，则 k 为 ，另一根是
3、 。012kx2、已知 m 是方程 的一个根，则代数式 。m23、已知 是 的根，则 。a32xa624、方程 的一个根为（ ）0cbA B 1 C D 1cba5、若 。yx、yx324,032作业：1、若方程 是关于 x 的一元一次方程，1m求 m 的值；写出关于 x 的一元一次方程。2、已知关于 x 的方程 的一个解与方程 的解相同。022k31x求 k 的值；方程的另一个解。考点三、解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法： mxmx,02对于 ， 等形式均适用直接开方法ax2 2nb典型例题：例 1、解方程： =0; ;0821x2165x;09
4、132x例 2、若 ，则 x 的值为 。269针对练习：1、下列方程无解的是（ ）A. B. C. D.123x02xx1320923类型二、因式分解法: 021x21,x或方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0” ，方程形式：如 ， ，22nbxmaxcxabxa02ax典型例题：例 1、 的根为（ ）352xxA B C D 3,251x52x例 2、若 ，则 4x+y 的值为 。0442yxyx变式 1： 。22,6b、aba变式 2：若 ，则 x+y 的值为 。3yx变式 3：若 ， ，则 x+y 的值为 。142282x例 3、方程 的解为（ ）06xA. B. C.
5、D.21、x321x321、x21、x例 4、解方程： 04x例 5、已知 ,则 的值为 。0232yyx变式：已知 ,且 ,则 的值为 。22x0yx针对练习：1、下列说法中：方程 的二根为 ， ，则02qpx1x2 )(212xqpx .)4(286 352aba )()(yxyx4方程 可变形为07)13(2x 0)713)(xx正确的有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为相反数： 3、若实数 x、y 满足 ，则 x+y 的值为（ ）023yxA、-
6、1 或-2 B、-1 或 2 C、1 或-2 D、1 或 24、方程： 的解是 。12x类型三、配方法 02acbxa 224acbx在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例 1、试用配方法说明 的值恒大于 0， 的值恒小于 0。32x 4712x例 2、已知 x、y 为实数，求代数式 的最小值。42yx变式：若 ，则 t 的最大值为 ，最小值为 。9123xt例 3、已知 为实数，求 的值。、yyx0642 yx变式 1：已知 ，则 .2xx1变式 2：如果 ,那么 的值为 。421bacba cba32类型四、公式法条件： 04,02acba且
7、5公式： ,acbx2404,02acb且典型例题：例 1、选择适当方法解下列方程： .632x.863x0142x 04511说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。考点四、根的判别式 acb42根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例 1、若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 x012xk。例 2、关于 x 的方程 有实数根，则 m 的取值范围是( )2mxA. B. C. D.10、m011例 3、已知二次三项式 是一个完全平方式，试求 的值.2)6(92x说明：若二次三项式为一个
8、完全平方式，则其相应方程的判别式 0即：若 ，则二次三项式 为完全平方式；反之，若042acb cbxa2)0(为完全平方式，则 .xa2)(4针对练习：1、当 k 时，关于 x 的二次三项式 是完全平方式。92kx2、已知方程 有两个不相等的实数根，则 m 的值是 .022mx考点五、根与系数的关系6前提：对于 而言，当满足 、 时，才能用韦达定理。02cbxa0a主要内容： 2121,应用：整体代入求值。典型例题：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 的两根，则这个直角0782x三角形的斜边是（ ）A. B.3 C.6 D.3 6说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关
9、系，必须熟练掌握、 、 、 之间的运算关系.baab2例 2、解方程组： .2,10)(;4,10)(yxxy说明：一些含有 、 、 的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，xy往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便.例 3、已知关于 x 的方程 有两个不相等的实数根 ，012xkx 21,x（1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。典型例题：1、关于 x 的方程 0321mx有两个实数根，则 m 为 ,7只有一个根，则 m 为 。 2、解方程，判断关于
10、x 的方程 根的情况。322kx3、如果关于 x 的方程 及方程 均有实数根，问这两方程是02k0否有相同的根？若有，请求出这相同的根及 k 的值；若没有，请说明理由。考点六：一元二次方程应用题典型例题一例 某公司八月份售出电脑 200 台，十月份售出 242 台，这两个月平均每有增长的百分率是多少？分析 设平均每月的增长率为 x.那么九月份售出电脑 台，即 台，十月)20(x)1(0x份售出 台，即 台，于是根据题意，可以列出方程.x)1(20)(2)1(0x解：设平均每月增长的百分率为 x.依题意，有 1.)(,24x （不符合题意，舍去）1.2,.01x答：平均每月增长的百分率为 10%
11、.说明 在有关增长率的问题中，要掌握等量关系： ，其中 a 为变化前的数，如本pxan)1(题中的 200 台，p 为变化后的数，如本题中的 242 台，x 为增长（降低）率，n 为变化次数，如本题从八月到十月份共变化两次，因此 .2n典型例题二例 某工厂第三年的产量比第一年的产量增长 21%，平均每年比上一年增长的百分率为 .解 设平均增长率为 ，则 %.x21)1( . （不合题意，舍去）.1x,.02 =10%.说明：本题主要考查利用一元二次方程求平均数增长率的问题，解题关键是设出未知数，列出方程.8典型例题四例 （安徽省，1997）如图，要建一个面积为 150 的长方形养鸡场，为了节约
12、材料，鸡场的2m一边靠着原有的一条墙，墙长为 米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为 35 米.a（1）求鸡场的长与宽各为多少？（2）题中，墙的长度 对题a目的解起着怎样的作用？解 （1）设鸡场的宽为 米，则x.150)23(x .57,02x当宽为 10 米时，长为 35-20=15 米.当宽为 米时，长为 35-15=20 米7（2）由（1）的结果可知，题中的墙长 对于问题的解有严格的限制作用.a当 时，问题无解；a当 时，问题有一解，只可建宽为 10 米，长 15 米一种规格的鸡场；05当 时，问题有两解，可建宽 10 米，长 15 米，或宽为 米，长为 20 米两种规格的鸡场. 5.7
13、说明：本题考查利用一元二次方程解与面积有关的实际问题，解题关键是设出未知数，表示出长与宽，根据面积公式列出方程，易错点是在讨论 的限制作用时漏解或叙述不清.a典型例题五例 将进货单价为 40 元的商品按 50 元出售时，能卖 500 个，已知该商品每涨价 1 元，其销售量就要减少 10 个，为了赚 8000 元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？分析：该题属于经营问题.设商品单价为 元，则每个商品得利润 元，因)50(x40)5(x为每涨价 1 元，其销售量会减少 10 个，则每个涨价 元，其销售量会减少 个，故销售量为个，为了赚得 8000 元利润，则应有)05(x，进而可以求解.804
14、)5(x解 设每个商品涨价 元，则销售价为 元，销售量为 个.)5(x)105(x根据题意，得；804)50(1(x整理，得 342x解之，得 ， .102x经检验， ， 都符合题意.当 时， ，x654015x当 时， ，3080x2答：要想赚 8000 元，售价应定为 60 元或 80 元，若售价为 60 元，则进货量应为 400 个；若售9价为 80 元，则进货量应为 200 个.说明：根据题意列出相应的等量关系是解决问题的关键.对于本题要注意单价的上涨与销售量的减少之间的相互关系.典型例题六例 某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元用于购物，剩下的 10
15、00元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共 1320 元，求这种存款方式的年利率。分析：可设存款的年利率为 ，依题意，以本利和为主线列方程解之。x解 设这种存款的年利率为 ，则 2000 元存入一年后，应得本金和利息为 元，支)1(20x取 1000 元后，还有 元，再存入一年后，本息应为10)(2元，依题意，得10)(2xx32)(整理，得（所得结果要符合实际意义）087502x解之，得 ， （不合题意，舍去）.%11582x答：这种存款方式的年利率为 .说明：存款利率是一种典型的应用题，此类题一般年利率为未知数，依存款本利和列方程解之。典型例题七例 “坡
16、耕地退耕还林还草”是国家对解决西部地区水土流失生态问题，帮助广大农民脱贫致富提出的一项战略措施，某村长为带领全村群众自觉投入坡耕地退耕还林行动，率先垂范，1999年将自家的坡耕地全部退耕，并于当年承包 20 亩坡耕地的还林还草及管护任务，而实际完成的亩数增加的百分率为 .如果保持这一增长率不变，2000 年村长可完成 28.8 亩坡耕地还林还草的任务.（1）求增长率 ；（2）如果该村有 30 户人家，每户均以村长 2000 年可完成的亩数为准，则全村 2000 年可完成坡耕地还林还草任务多少亩？如果国家按每亩坡耕地 230 元（折算资金）给予补助，则国家将对该村投入补助资金多少万元？解 （1）依题意，得解之，得 ， （舍去） ，（2）3028.8864（亩） ，864230198720（元）.
