1、圆锥曲线的统一焦半径公式在解题中的应用宜昌二中 黄群星我们在解决有关直线与圆锥曲线的关系问题时，经常会用到焦半径公式。解决这类问题，我们可以用到的公式有：平面上两点之间的距离公式，弦长公式，三种圆锥曲线的焦半径公式，和圆锥曲线的统一焦半径公式。最后一个公式往往被大家忽视，现在我想专门谈谈这个公式的使用。一在椭圆中的运用：例 1：已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 F 且斜率为 k（0）的21(0)xyab32直线与 C 相交与 A,B 两点，若 ,求 k 的值。3AFB解法一： 32e12ba设椭圆的方程为 右焦点为 ，2,4xy(3,0)b设直线的方程为 ，设m12,(,)AxyB2203xy
2、b 22(4)30mb AFB122,(,)xyy123y 12(4)mby12(4)b将带入得 1234ybm 22129()my21mk0, m0, 2k解法二;由题意得 3AFB31cos1cos22epep3 6sintan223k 即 评述：解法二应用了圆锥曲线的统一焦半径公式，从而大大简化了解题的过程。那么，在什么情况下可以用这个公式呢？先看这个公式的结构： ，其中，e 是离心率，P 为焦准距， 是过焦1cospPF点的直线的倾斜角，正是由于倾斜角的存在，使得这个公式在解决有关过焦点的直线的斜率和倾斜角的问题时相当便捷，而且，公式是根据圆锥曲线的统一定义推导出来，对椭圆，双曲线和抛
3、物线都适用，这是它的一大优越之处。二在双曲线中的运用：例 2：双曲线的中心为原点 O，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 ，经过右焦点 F 垂12,l直于 的直线分别交 于 A,B 两点，已知 成等差数列，且 同向1l12,l ,ABO,BA 求双曲线的离心率 设直线 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程。解： 如图 FA=b,OF=c, OA= ,OF 平分角AOB aAF设 FB=mb,OB=m ,则有a2ABO即 152(1) 2bmbe 设直线 AB 的倾斜角为 , cos41coscsepe即5522411pp 23355aPc即有 56,35,2cacb 双曲线的方
4、程为219xy评述：双曲线的焦半径公式 = ，由于正负号和绝对值符号的存在，使得这个公PFaex式在运用起来又很多不方便，而统一焦半径公式正好巧妙的解决了这一问题。三在抛物线中的使用：例 3：平面上一点 P 到点 F（1,0）的距离与它到直线 x=3 的距离之和为 4， 求点 P 的轨迹方程L1L2BAFO xy 过 A 的直线与轨迹 C 交与 MN 两点，求 得最大值MN解：设 P（x,y）,由题意得 2(1)34xyx当 时， 3x2 2(1)34(1)7xyyx()x当 时，x2 2()()1yxyx4x点 P 的轨迹方程为 （P=2）21(4)3)yx(P=6)2(03)yx 当 时，
5、0,62681coss1cosMNF当 时，(12) 24in当 时，0,8csscs020,61cos4,(,12)in8,81cosMN当 时 0,66132N当 时 0(,12)4M当 时863综上，当 时，0012或 163N有 最 大 值评述：这个题目涉及到两条抛物线，而要求的弦长不一定是来自于直线和同一条抛物线的交点，另外，开口向右的那条抛物线又不是标准方程，所以要用坐标形式的焦半径公式可谓困难重重，而统一焦半径公式用的参变量与位置无关，所以这个问题它同样迎刃而解。有时候，一个问题能否解决，解决的速度，解决的水平往往取决于我们选择的工具，就如历史的发展过程中，生产力发展的标志是生产工具。而公式，是我们数学学习过程中NMFOyx的一个有力的工具，选择好了，就会所向披靡，事半功倍！
