1、www.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！学数学 用专页 第 1 页 共 7 页 教数学 用华软圆锥曲线的焦半径公式及其应用圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。1.椭圆的焦半径公式(1)若 P(x ,y )为椭圆 + =1(ab0)上任意一点，F 、F 分别02xayb12为椭圆的左、右焦点， 则 =a+e x , =a-e x .1PF020(2) 若 P(x ,y )为椭圆 + =1(ab0)上任意一点，F 、F 分别02yab21为椭圆的上、下焦点， 则 =a+e y , =a-e y .10202.双
2、曲线的焦半径公式(1)若 P(x ,y )为双曲线 - =1(a0，b0)上任意一点，F 、F02xayb1分别为双曲线的左、右焦点，则2当点 P 在双曲线的左支上时， =-e x -a, = -e x +a.1P020当点 P 在双曲线的右支上时， =e x +a, = e x -a.F(2)若 P(x ,y )为双曲线 - =1(a0，b0)上任意一点， F 、 F02yaxb2分别为双曲线的上、下焦点，则1当点 P 在双曲线的下支上时， =-e y -a, = -ey +a.1PF020当点 P 在双曲线的上支上时， =ey +a, = ey -a.3.抛物线的焦半径公式(1)若 P(x
3、 ,y )为抛物线 y =2px(p0)上任意一点，则 = x +02 PF02pwww.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！学数学 用专页 第 2 页 共 7 页 教数学 用华软(2) 若 P(x ,y )为抛物线 y =-2px(p0)上任意一点，则 = -x +02 PF02p(3) 若 P(x ,y )为抛物线 x =2py(p0)上任意一点，则 = y +02 0(4)若 P(x ,y )为抛物线 x =-2py(p0)上任意一点，则 = -y +02 PF02p下面举例说明上述各公式的应用例 1求椭圆 + =1 上一点 M(2.4,4)与焦点 F 、F 的距离.26x5y 1
4、2解：易知 a=5,e= 且椭圆的焦点在轴上， = a+ey =5+ 4=31M035, = a-e y =5- 4= 。3752MF051例 2.试在椭圆 + =1 上求一点 P，使它到左焦点的距离是它2x9y到右焦点的距离的两倍解：由 ，得 。120PF1203PF设 P(x , y ),则 =a+ex ,即 5+ x = ，解之得 x = ，所以01045020251P( ,251).94例 3.在双曲线 - =1 上求一点 M，使它到左、右两焦点的距离 216x9y的比为 3：2，并求 M 点到两准线的距离。解：设点 M 的坐标为（ x ，y ）, 左、右两焦点分别为 F 、F ，则0
5、 12www.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！学数学 用专页 第 3 页 共 7 页 教数学 用华软由 ： =3：2，知 ,所以点 M 在双曲线 - =1 的右1MF1MF2 216x9y支上， =ex +a, = ex -a，即 (ex +a):( ex -a)=3:2， 2(ex +a)1020000=3(ex -a),把 a=4, e= 代入，得 x =16, y = ,即 M（16， ）。0543535故双曲线的准线方程为 x= = ,M 点到两准线的距离分别为2ac165和 。9654例 4 (1994 年全国高考题) 设 F 、F 是双曲线 -y =1(ab0)1224x
6、的左、右两个焦点，点 P 在双曲线上，且满足F PF =90 ，则F PF121的面积是 （ ）2A1 B C2 D525解：根据对称性，可设点 P(x ,y )在双曲线的右支上，则 =e 0 1PFx +a, = e x -a.由F PF =90 ，得 + = ，即(e x +a)02P01221PF2210+(e x -a) =4c ,e x +a =2 c ,即 e x =2 c -a = a +2b ,S=220 0 2= ( e x - a )= b =1,故选(A).1F22练习： (2001 年全国高考题)双曲线 - =1 的左、右两个焦点29x16y为 F 、F ，点 P 在双
7、曲线上，若 PF PF ，则点 P 到 x 轴的距离为12 12_.提示：仿照例 2 可求出 x = ，代入双曲 线 - =1，得P249529x16yy = ,点 P 到 x 轴 的距离 d= .P216516www.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！学数学 用专页 第 4 页 共 7 页 教数学 用华软例 5.(2000 年全国高考题)椭圆 + =1 的焦点为 F 、F ，点 P29x4y12为其上的动点，当 F PF 为钝角时，点 P 横坐标的取值范围是12_.解：易知 e= .设点 P 的横坐标为 x ,则 =a+e x =3+ x ,5301F0530=a-e x =3- x
8、 .由余弦定理，得2PF00cosF PF = = = ,F PF 是钝1222211PF2519()x259(8)x12角，-10)上三点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三点的焦半径的关系是 （ ）A成等差数列 B常数数列 C成等比数列 D非等差、等比数列解：设抛物线 y =2px(p0)上纵坐标的平方成等差数列的三点依2次为 A(x ,y )、B(x ,y )、C(x ,y ),则 y =2px ，y =2px ，y =2px123121223.3由 y +y =2y ,得 x +x =2x . + =(x + )+(x + )1232132AFC12p3=x +1x +p=2x +p=2
9、(x + )=2 ， ， ， 成等差数列,故选 A. 322pBF例 7在抛物线 x =2py(p0)上有一点 A(m,4)，它到该抛物线的焦点的距离为 5，求此抛物线的方程和点 A 的坐标.www.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！学数学 用专页 第 5 页 共 7 页 教数学 用华软解：根据抛物线的焦半径公式，有 4+ =5，p=2,故抛物线的方2p程为 x =4y。 将 x=m,y=4 代入 x =4y,得 m= 4, 点 A 的坐标为（-2 24，4）或（4，4）.例 8在双曲线 - =-1 的一支上有不同的三点 A(x ,y )、213xy 1B(x ,6)、C(x ,y )
10、与焦点 F(0,5)的距离成等差数列。23(1)求 y + y ;(2)求证线段 AC 的垂直平分线经过 某一定点，并求1出该定点的坐标。解(1)：由 题设 知，A、B、C 在双曲线的上支上，故有 =e y -AF1， =6e - ， =e y - .12BF12F312 ， ， 成等差数列,26e= (e y - )+( e y - ),即1232y + y =12.13证(2)： A、C 在双曲线 - =-1 上， - =-1， - =-1，213xy213xy231xy两式相减，得= = ，即 k = ,于是 线段 AC 的垂直平13yx132xy13xAC13x分线方程为 y-6=-
11、(x- ),即 x+y- =0,又 是实数，1313213x2513xx=0 且 y= ，故直线经过定点(0, ).255例 9设 F 、F 是椭圆 + =1(ab0)的左、右两个焦点，P 是122xayb椭圆上的任意一点，且F PF =2 ，求证：F PF 的面积 S=b tan .12122证明：设点 P 的坐标为（x ,y ），则 =a+e x , =a-e x .由余0 0F0弦定理，得（a+e x ） +（a-e x ） -2（a+e x ）（a-e x ）cos2 =(2c) ,即 a02202www.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！学数学 用专页 第 6 页 共 7 页
12、 教数学 用华软+ e x -( a - e x ) cos2 =2c ,a (1- cos2 )+ e x (1+ 20220220cos2 )=2c ,a sin + e x cos =c ,e x = , S=22202202sincoasin2 = （a+e x ）（a-e x ）sin2 = ( a - e x ) sin2 = ( 1PF210012021a - )sin2 = 2sin cos = b tan .22sinco222cossina2说明：1.题设中的F PF 通常称为椭圆的焦点三角形，且此结12论对于焦点在 y 轴上的椭圆也适用。2.用同样的方法可得双曲线的焦点三
13、角形的面积公式 S=b cot ,2其中F PF =2 （P 为双曲线上的任意一点）.123.利用本例结论很容易求解下面的习题：设 F 、F 为椭圆 + =1 的左、右两个焦点，点 P 在椭圆上且1224xy满足F PF =90 ，则 F PF 的面积是 （ ）1212A1 B. C.2 D.55请读者不妨一试，答案：选 A.例 10.过抛物线的焦点 F 作不垂直于对称轴的直线交抛物线与A、B 两点，线段 AB 的垂直平分 线交对称轴 于 N，求证： .2ABNF证明：设抛物线的方程为 x =2py(p0)，A(x ,y )、B(x ,y )，线段21AB 的中点 为 M(x ,y ),则 y
14、 =2px ，y =2px ，两式相减，得01122= = ，即 k = .MNAB，k =- ，直线 MN 的12yx12py0AB0pMN0yp方程为 y-y =- (x-x ),令 y=0, 得 x = x +p， = x - = x + ,0p0N0FN20pwww.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！学数学 用专页 第 7 页 共 7 页 教数学 用华软又 = + =(x + )+(x + )= x +x +P=2x +P=2(x + ),从而ABF12p12002p.2N例 11.已知双曲线 - =1 的左右焦点分别为 F 、F ，左准 线25x14y12为 L，能否在双曲
15、线的左支上找到一点 P，使 是 P 到 L 的距离 d1与 的等比中项？若能，试求出点 P 的坐标，：若不能，请说明理由.2PF解：假设在双曲线的左支上找到一点 P(x ,y )( x -5), 使001F2=d ，由双曲 线的第二定义，得 =e= ,即 d= = ,2 1Fd351Pd5311PF= ,又 =-ex -a=-( x +5)， =-ex +a=- x +5, -5321013502P050( x +5)= (- x +5), x =- -5, 不存在这样的点 P.0352练习：.已知椭圆 + =1，能否在此 椭圆位于 y 轴左侧的部分上24y找到一点 P，使它到左准线的距离为它到两个焦点 F 、F 的距离的等12比中项？若能，试求出点 P 的坐标，：若不能，请说明理由.( 答案：点P 不存在 )
