1、1北航 2010应用数理统计考试题及参考解答09B一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1，设总体 服从正态分布 ，而 是来自 的样本，则X(0,4)N1215(,)X X服从的分布是_ .221015()U 解： ,F2， 是总体未知参数 的相合估计量的一个充分条件是_ .n解： lim(), liVar()0nnE3，分布拟合检验方法有_ 与_ _.解： 检验、柯尔莫哥洛夫检验24，方差分析的目的是_ . 解：推断各因素对试验结果影响是否显著5，多元线性回归模型 中， 的最小二乘估计 的协方差矩阵 _ .YX Cov()=解： 12Cov( )=二、单项选择题（每小题 3 分，共 15
2、 分）1，设总体 ， 是 的样本，则_B_ . (,9)N129,) X（A） ； （B） ；0,3X 1(0,)N（C） ； （D） 1(,)9N(,)3X2，若总体 ，其中 已知，当样本容量 保持不变时，如果置信度 减小，则2,X:2n1的置信区间_B_ . （A）长度变大； （B）长度变小； （C）长度不变； （D）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是_B_ .（A）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的；（C）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的；（D）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.
3、4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设 为总离差平方和， 为误差平方和， 为效应平方TSeSAS2和，则总有_A_ .（A） ； （B） ；TeAS 2(1)ASr:（C） ； （D） 与 相互独立./(1)(,)erFrnn: e5，在多元线性回归分析中，设 是 的最小二乘估计， 是残差向量，则_B_ . YX（A） ； （B） ；n0 1X2nCov()=()I（C） 是 的无偏估计； （D） （A） 、 （B） 、 （C）都对.1p2三、 （本题 10 分）设总体 、 ， 和 分21(,)XN:2(,)Y:112(,)nX 2(,)nY别是来自 和 的样本，且两个样本相互独立， 和 分
4、别是它们的样本均值和样本方差，XYX、 YS、证明，1212()()()nYtnS:其中 .2221()(1)XYnS证明：易知， 211(,)Nn: 12()()(0,1)XYUNn:由定理可知， 211()()XSn:22(1)(1)YS:由独立性和 分布的可加性可得2221 12()()()XYnSVn:由 与 得独立性和 分布的定义可得UVt12 1212()()()/()nYUtVnS四、 （本题 10 分）设总体 的概率密度为X3其中参数 未知， 是来自总体的一个1, 0,2(;), 1,(), xfx其 他 ， 01)（ 12()nX， ， ，样本， 是样本均值， （1）求参数
5、（2）证明 不是 的无偏估计量X；的 矩 估 计 量 242解：（1），10 1()(,)()42xxExfdd令 ，代入上式得到 的矩估计量为 ()X2X（2），222 2141 (4)4()4()EXDEDDXnn因为 ，所以 故 不是 的无偏估计量0D， 2 2X五、 （本题 10 分）设总体 服从 上的均匀分布， 是来自总体 的一个0,()12(,)n样本，试求参数 的极大似然估计解： 的密度函数为X1,0;(,)xfx其 他 ,似然函数为 1,12,()0ni nL其 它显然 时， 是单调减函数，而 ，所以 是0() 12max,n 12max,nX的极大似然估计六、 （本题 10
6、分）设总体 服从 分布， 为总体的样本，证明 是参数 的X(1,)Bp12(,)nX p一个 UMVUE证明： 的分布律为X1(;)(),0xxf容易验证 满足正则条件，于是(;)fxp21()ln(;)()IpEfxp4另一方面，1(1)Var()ar)(pXnnIp即 得方差达到 C-R 下界的无偏估计量，故 是 的一个 UMVUEX七、 （本题 10 分）某异常区的磁场强度服从正态分布 ，由以前的观测可知 现有20(,)N056一台新仪器, 用它对该区进行磁测 , 抽测了 16 个点, 得 , 问此仪器测出的结果与以往61 4xs相比是否有明显的差异(=0.05)附表如下：t 分布表 2
7、分布表解：设 ： 构造检验统计量0H560，)15(0tnsXt确定拒绝域的形式 由 ，定出临界值 ，从而求出拒绝域2t05. 135.205.2/t135.2t而 ，从而 ，接受假设 ，即认为此仪器60,xn065| 0.821352xtsn0H测出的结果与以往相比无明显的差异八、 （本题 10 分）已知两个总体 与 独立， ， ， 未知，XY21(,)2(,)Y211, , 和 分别是来自 和 的样本，求 的置信度为 的置信区间.112(,)nX 2(,)nY 12解：设 布 定 理 知的 样 本 方 差 ， 由 抽 样 分，分 别 表 示 总 体 YXS21 ,， /2121/22(,)(,1)PFnFn则，222111/ /(,)(,)SS n =0.1 =0.05 =0.02514 1.3450 1.7613 2.144815 1.3406 1.7531 2.131516 1.3368 1.7459 2.1199n =0.1 =0.05 =0.02514 21.064 23.685 26.11915 22.307 24.996 27.48816 23.342 24.296 28.8455所求 的置信度为 的置信区间为 2112211/ /, (,)(,)SSFnFn 九、(本题 10 分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤
