1、数字信号处理教程 Digital Signal Processing,1.信号处理,所谓处理就是变换。信号处理是研究对信号进行各种处理和利用的技术。 信号处理对采集到的信号以一定的设备（指计算机或专用处理设备）、手段、按一定的目的、步骤对其加工或变换。,2.数字信号处理,（一）信号分类模拟信号时间和幅度都是连续取值的。数字信号时间和幅度上都是取离散值。系统的分类与要处理的信号形式相对应,（二）信号处理系统分类, 模拟信号处理系统 数字信号处理系统系统指实现信号处理的设备。, 模拟信号处理系统,指输入和输出均为模拟信号的系统。, 数字信号处理系统,指输入和输出均为数字信号的系统。,3.数字信号处
2、理的优点：,数字信号处理技术与模拟处理技术相比较，具有非常突出的优点，所以在无线电电子学的各个技术领域内，人们往往将信号的模拟处理方式改用数字方式去处理。 其主要优点表现为：（1）精度高（2）灵活（3）稳定性强。,4. 数字信号处理的应用, 机械振动噪声研究中的DSP技术, 通信系统中的信号变换处理：, 地震信号处理, 语音信号处理,包括四个方面：, 图像信号处理：, 生物医学信息处理：, DSP在网络上有众多的应用,数字信号处理系统的基本组成,采样器（每隔T秒采集一次输入信号的幅度）,采样的过程实际是对模拟信号的时间量化过程，采样后的信号称为离散时间信号。,以上是数字信号处理系统的基本组成的
3、方框图。,作用？,LPF,1单位脉冲序列,2.单位阶跃序列,3矩形序列,常用序列,4指数序列,有界序列： kZ |x k| Mx 。 Mx是与 k无关的常数,akuk： 右指数序列,|a| 1序列有界,aku-k： 左指数序列,|a| 1序列有界,5虚指数序列(单频序列),角频率为w 的模拟信号,数字信号角频率W=T w,虚指数序列 x k=exp( jW k) 是否为周期的?如是周期序列其周期为多少？,即W / 2p为有理数时，信号才是周期的。,如果W / 2p=m / L , L, m 是不可约的整数，则信号的周期为L。,6正弦型序列,例 试确定余弦序列xk = cosW0k 当(a) W
4、0=0 (b) W0=0.1p (c) W0=0.2p (d) W0=0.8p (e) W0=0.9p (f) W0=p 时的基本周期。,解： (a) W0 /2p= 0/1， N=1。 (b) W0 /2p=0.1/2=1/20， N=20。 (c) W0 /2p=0.2/2=1/10， N=10。 (d) W0 /2p=0.8/2=2/5， N=5。 (e) W0 /2p=0.9/2=9/20, N=20。 (f) W0 /2p=1/2, N=2。,1、序列的运算,移位 翻褶 和 积 累加 差分 时间尺度变换 卷积和,8）卷积和（重点）,设两序列x(n)、 h(n)，则其卷积和定义为：,1
5、）翻褶：,2）移位：,3）相乘：,4）相加：,举例说明卷积过程,二、线性移不变系统,一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。,1、线性系统,若系统满足叠加原理：或同时满足：可加性：比例性/齐次性：其中：则此系统为线性系统。,实数 复数,例：证明由线性方程表示的系统,是非线性系统,2、移不变系统,若系统响应 与激励 加于系统的时刻无关，则称为移不变系统（或时不变系统）,y(n),x(n),例：试判断,是否是移不变系统,同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变系统 LSI：Linear Shift Invariant,4、LSI系统的性质,(1)交换律,(2)结合律(级联)
6、,(3)分配律(并联),5、因果系统,若系统 n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。,LSI系统是因果系统的充要条件：,6、稳定系统,稳定系统是有界输入产生有界输出的系统 若,LSI系统是稳定系统的充要条件：,则,例1：已知常系数线性差分方程若边界条件求其单位抽样响应 h(n)。,第三章 z变换,一Z变换的定义 序列 的Z变换定义为,二Z变换的收敛域（ROC）,Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心的环形区域。,称为收敛半径。收敛半径与序列有密切关系，对于不同形式的序列其收敛域不同。,结 论：,1）Z变换存在着收敛的问题，不是
7、任何信号都存在Z变换，也不是任何复数Z都能使 收敛。 2）仅仅由 的表达式不能唯一确定一个信号，只有 连同相应的ROC一道，才能与信号建立一一对应的关系。 3）Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心的环形区域。,4）如果 ，则其ROC是各个 的ROC的公共区域。如果没有公共区域则表达式 的Z变换不存在。 5）当 是有理函数时，其ROC的边界总是由 的极点所在的圆周界定的。 6）若 的ROC包括单位圆，则有,1. 有限长序列,其Z变换为,如果 选择不同，收敛域可以进一步扩展。,当 时,当 时,2.右边序列 指 只在 时有值， 时，,右边序列 的收敛域,右边序列总是收敛的，右边序列的Z变换的R
8、OC一定位 于最外部极点的外部，但可能不包含 点。右边序列 收敛域是 。 右边序列不一定是因果序列，只有在 时，ROC包 含 点时才是因果序列。因此，因果序列的收敛域一 定包括 点。 因果序列的收敛域为：,3.左边序列,左边序列 只在 时有值， 时， 。 左边序列的Z变换为：,左边序列的Z变换的收敛域一定位于最内部极点的内部， 其收敛域为：,左边序列 的收敛域,4.双边序列双边序列可看作左边序列和右边序列之和，其Z变换为：,双边序列的收敛域应该是左边序列和右边序列的公共部分。双边序列的收敛域一定是环形区域，其收敛域为：,双边序列 的收敛域,时 是左边序列,且是反因果的,其傅氏变换不存在。,时
9、是双边序列,傅氏变换存在。,若其ROC为：,1,则 为右边序列,且是因果的,但其傅氏变换不存在。,2,3,ROC是否包括 ，是 是否因果的标志。ROC是否包括 ，是 是否反因果的标志。,3.3 Z反变换,Z反变换的一般数学表达式为,式中积分表示对X(z)Zn-1进行的围线积分，积分路径C是一条在X(z)收敛域 以内，逆时针环绕原点一周的单围线，如图所示:,反变换的求取方法：1. 部分分式展开法： 当 是有理函数时,步骤：1.求出 的所有极点 ，并展开为部分分式；2.收敛域是每一部分分式收敛域的公共部分。,3.利用常用变换对和Z变换性质求出每项的反变换。 如果为右边序列，则 若为左边序列，则,Z
10、变换的许多性质与DTFT的性质相似，其推论方法也相同，主要讨论其ROC的变化。,则,：包括,3.4 Z变换的基本性质：,1. 线性：,信号时移时可能会改变其因果性，故 ROC在 ， 有可能改变。,但在 和 可能会有增删。,2. 时移：,3. Z域尺度变换：,时移特性小结：,4.频移性质：,信号 乘以复指数，在Z平面 所有的零极点将旋转一个 。,5.时域反转：,信号在时域反转，会引起 的零极点分布按倒量对称发生改变。如果 是 的零/极点, 则 就是 的零/极点。,即： 与 的零极点呈共轭倒量对称。,例：,的ROC为,则 的ROC为,6.时间扩展:,为 的整数倍,其他,若,则,7.共轭对称：,当
11、是实信号时， 于是有,表明 如果有复数零极点，必共轭成对出现。,证明：,8.卷积性质：,包括,如果在相乘时出现零极点抵消的情况则ROC 可能扩大。,该性质是LTI系统Z变换分析法的理论基础。,9.Z域微分：,利用该性质可以方便地求出某些非有理函数 的反变换或具有高阶极点的 的反变换。,例1.,解：,拉氏变换、傅氏变换与Z变换的关系, 与 的关系(指s平面实轴与z平面模的关系),根据关系式 我们很容易得出以下结论,即,一个离散时间非周期信号及其频谱之间的关系，可用序列的傅立叶变换（DTFT)表示为,以上级数收敛的条件是,序列的傅氏变换就是序列 的Z变换在单位圆上的值。,由此推出几点结论:,2 ,
12、 单位圆上的z变换就是序列的傅氏变换；,3 , 单位圆上的z变换也是数字序列的频谱；,1 , 采样信号在s平面虚轴的拉氏变换就是序列的傅氏变换；,离散系统的系统函数、系统的频率响应,一个线性时不变系统，其输入输出关系可以用卷积和表示为：,系统函数 或,若在单位圆上的系统函数就是系统的频率响应，即,通常我们设计的数字系统应该是一个因果稳定的系统。一个LTI系统满足系统稳定的充要条件是单位脉冲响应h(n)必须满足绝对可和。即：,因此，一个因果稳定系统的系统函数H(z)的收敛域应该包括单位圆和 点。即：,如果系统稳定，系统函数H(z)的收敛域一定包括单位圆|Z|=1。如果单位脉冲响应h(n)是因果序
13、列，其系统函数H(z)的收敛域应包括 。,一个因果稳定系统的H(z)的全部极点必须位于单位圆内。,第四章 离散傅立叶变换（DFT） DFTDiscrete Fourier Transform,四种傅立叶变换形式表明这样一个结论：,周期序列的离散傅立叶级数,其中 称为旋转因子或W因子。,W因子具有如下特性：,周期序列的离散傅立叶级数的物理意义在于： 尽管是无限长序列，但只要知道一个周期的内容就等于知道了整个序列的内容。因此，无限长序列实际上只有N个序列值是含有独立信息的，它的频域也一定只有N个独立变量。,有限长序列的离散傅立叶变换，简称DFT,正变换,反变换,离散傅立叶变换（DFT）,有限长序列
14、 是非周期的，其傅立叶变换是连续的、周期的频谱，而 则是离散的、有限长序列。我们可以这样来理解：,4.离散傅立叶变换的主要性质,(1) 线性：满足可加性和齐次性 (2) 圆周位移（Circular Shift of a Sequence）一个有限长序列 的圆周位移是这样定义的：,(3) 圆周卷积（Circular Convolution）,设 均为长度为N的有限长序列,如果 ，求：,令 分别为 的周期延拓,举例说明圆周卷积的过程 设 、 长度均为N=8，求：f(n)=x(n) y(n),圆周卷积过程是将两个长度相同的有限长序列使其周期化，然后进行周期卷积，卷积的结果取其主值序列，就是所求的圆周
15、卷积的结果。,从分析两种卷积过程我们得到启示：如果把 、 均作扩展(补零)，使其长度 ，这时圆周卷积和线性卷积的结果完全一样。因此，如果圆周卷积要替代线性卷积，首先要将,长度为N的 ，补零补到 LN+M-1 长度为M的 ，补零补到 LN+M-1,作L点的DFT，这时,圆周卷积等于线性卷积的条件是序列的长度 LN+M-1,（5）共轭对称性,如果 为 的共轭复数序列，且则,（4）线性卷积用圆周卷积运算的条件,（6）序列实部与虚部的DFT变换,复习共轭对称的概念 对于实序列 共轭偶对称满足 偶对称序列满足 共轭奇对称满足 奇对称序列满足,二频率采样,1长度为M的有限长序列 与采样周期N（采样点数）的
16、关系,如果序列长度 MN 采样周期，那么我们可以从 中不失真地恢 复出原始信号 。这时可以得到：,频率采样不失真的条件是 NM，,如果满足NM 的条件， 乘上一个时窗函数，就可以不失真地恢复出原始的, 如果 MN 时，说明频率采样间隔不够密， 在被周期重复的过程中，就会出现某些序列值交叠在一起，产生混叠现象，这时就不能从 中不失真地恢复出原信号序列 。, 如果 为无限长序列，时域的周期延拓必然会造成混叠现象， 将不能够完全消除误差，无论N取何值 ，它只能是随着采样 点数N的增加，使 逐步逼近 。,第五章 快速傅里叶变换（FFT）,考察DFT的运算特点发现,利用以下两个特性可减少运算量： 1）系
17、数 是一个周期函数，利用它的周期性和对称性可改进运算，提高计算效率。,DFT的运算特点,周期性,对称性,我们利用系数 的周期性和对称性，考察它是如何简化DFT运算的过程。,2) 因为DFT的计算量正比于N2，N小计算量也就小。因此可以把长度为N点的大点数的DFT运算依次分解为若干个小点数的DFT来运算。FFT算法正是基于以上两点基本思想来提高DFT的 运算速度。FFT算法基本上可分为两大类：按时间抽取FFT算法和按频率抽取FFT算法。,结论：,1) 利用系数 的周期性和对称性可以提高DFT的 运算速度。上例中作一次DFT需 N2=16次乘法运 算，而FFT只需6次乘法运算。,按时间抽取的蝶形运
18、算流图：,时间抽取法FFT的运算特点：,（1）蝶形运算,（2）原位运算结构,（3）码位倒置变换,（4）蝶形类型随迭代次数成倍增加,（1）蝶形运算,复乘： 复加：而直接进行DFT运算时则与N2 成正比。,（2）原位运算结构（同址运算） （3）码位倒置变换,观察N=23=8点FFT的蝶形系数 ： 第一级：有一种类型的蝶形运算系数 第二级: 有二种类型的蝶形运算系数 、 第三级: 有四种类型的蝶形运算系数、 、 、 第L级: 有 种蝶形运算系数,（4）蝶形图的系数,N8点按时间抽取的FFT运算流图,第一级蝶形,第二级蝶形,第三级蝶形,按频率抽取的FFT,频率抽取法是N=2M情况下的另外一种FFT算法
19、,按时间抽取FFT算法的基本思路,按频率抽取FFT算法的基本思路,x(n)按奇、偶一级级分开， X(k)按前一半、后一半一级级分开。,X(k)按奇、偶一级级分开， x(n)按前后对半一次次分开。,按频率抽取的蝶形运算流图：,（1）输入按奇、偶分解：,（2）输入按前、后分解：,第六章 数字滤波器的基本结构,数字滤波器实现的方法有两种 硬件实现设计专用数字信号处理器或通用数字信号处理器来实现，通常称为DSP芯片，这类芯片主要是解决实时处理要求的单片可编程处理器芯片。 计算机软件实现利用计算机把滤波器要完成的运算编成程序，通过计算机来执行，称为软件实现。 运算过程中必然会引入种种误差，这些误差来源主
20、要有三个方面：1、采样信号的量化误差：2、系数的量化误差：3、算术运算误差：,三 数字滤波器的分类,1、按h(n) 的长短,IIR DF 无限长单位脉冲响应的滤波器 （h(n)有无限个样点值）,FIR DF 有限长单位脉冲响应滤波器 （h(n)有有限个样点值）,2、按实现的方法和形式,递归型（IIR DF利用递归型比较容易实现，但也不排除混合型结构）,非递归型（FIR DF用非递归型易于实现，但有时也采用混合型结构）,3、按频率特性,低通 LP (Low pass) 高通 HP (High pass),带通 BP(Band pass) 带阻 BS (Band stop),递归方法系数 、 不全
21、为零，输出序列y(n)取决于现在的输入序列x(n)和过去的输入x(n-1),x(n-2)及过去的输出序列y(n-1),y(n-2).。 非递归方法 0,现在输出序列仅与现在和过去的输入序列有关，而与过去的输出序列无关，不需要将计算结果重新作为输入，称为非递归方法。,IIR滤波器的基本结构1、直接I型结构N阶IIR滤波器传递函数可以表示为 ：,H(Z)= =,2、正准型（直接型） 把直接型中的两个N阶延时链合二为一，变成一个N 阶延时链 。,直接，型的缺点： 系统零，极点调整困难。由系统函数可知：分子系数对零点有影响，分母系数对极点有影响。调整滤波器的零、极点时可只调整 ， 系数，而不能直接调整
22、零、极点。所以系数对滤波器的性能作用不明显（因为 、 与系统函数的零、极点关系不是直接的关系，而是间接关系。）。 系统的变化过于灵敏（是指对有限精度运算过于灵敏）。因为 、 系数对所有的零、极点有关，所以对 、 的精度要求比较高。当阶数越高时，要求精度就越高。由于有限字长效应的影响，造成这种结构容易产生较大误差，甚至系统会出现不稳定的情况。,3、级联型（链接型）,为零点； 为极点,优点： 每个二阶节仅决定一对共轭的零极点，而不影响其它的零极点，系数灵敏度低，调整起来相互影响不大，所以这种结构比较方便和准确的实现数字滤波器的零，极点。便于调整滤波器的频率响应特性。 级联结构硬件简单，结构规则，具
23、有最少存储器，所以是实际中使用最多的结构形式。 缺点： 存在计算误差累积,4、并联型 系统函数H(Z)用部分分式展开：,Q的阶数P的阶数， 为因果系统,对于其中的共轭极点和零点可合并为二阶实系数多项式,并联型优点： 极点可独立控制，但零点不易控制。因为基本节的零点并非整个系统的零点。如果要求有准确的传输零点，采用级联型最合适。精度高，运算快，各基本节点的运算误差互不影响。并联型结构的总误差级联型结构的总误差。因为级联型的误差经过后面的几环的叠加累积，越来越大，而并联型各级误差互不影响，所以要求不很严格的情况下用并联型结构较好。IIR滤波器四种滤波结构比较：直接、型结构简单直观；级联型零极点控制
24、方便；并联型精度高。,6.3 FIR滤波器的结构,这就是说，它有(N-1)阶极点在z=0处，有(N-1)个零点位于有限Z平面的任何位置，所以FIR滤波器有时也称为全零点滤波器。,1、横截型结构（FIR的直接型，卷积型）,3、频率采样型 FIR滤波器的传输函数 在单位圆上的等间隔采样值是的离散傅立叶变换值 ，即 。,2、级联型,把H(z)因式分解为M个二阶实系数因子相乘的形式，这样就可用二阶节级联起来构成:,优点：这种结构每一节控制一对零点，因而在需要控制传输零点时，可以采用它。但这种结构方式不如横截型结构经济（只要是指系数 比 要多，因而所需乘法运算多）。,例题：画出系统函数 所对应的数字滤波
25、器的结构,解：1. 直接型：根据公式,2. 级联形式：将 分解成,因此 可以分解成 和两个一阶系统:,3. 并联形式：将 展开成部分分式得,其结构为,第七章 IIR滤波器的设计方法,说明一下符号表示的含义：DF - 数字滤波器 AF - 模拟滤波器,时域单位脉冲响序列 时域的单位脉冲响应AF的采样序列DF的传递函数 AF的传递函数DF的频率响应 AF的频率响应,.1 IIR滤波器设计的特点,IIR 指单位脉冲响应为无限长的滤波器，也就是指滤波器的 有无限个离散值。,一. IIR滤波器的一般设计方法：,1巴特沃思滤波器（butterworth） 最平响应滤波器巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数定义
26、为：,N 为整数，表示滤波器的阶次； 为截止频率。,当 时， 当 时，又称为滤波器的3bB带宽,巴特沃斯低通滤波器的特点： 在 处，即靠近零频处，衰减为0 ，所以巴特沃斯滤波器通带内具 有最大平坦的振幅特性，故得名为最平坦响应滤波器。 巴特沃思低通滤波器没有有限零点,零点出现在 处，它属于“全极点型滤波器”。,2切比雪夫滤波器 (chebychev)切比雪夫滤波器也是一种全极点型滤波器，它的幅度平方函数,其中： 表示通带波纹大小，是小于1的正数， 越大，波纹越大。,为滤波器的截止频率，但 并不是3db带宽）。,切比雪夫低通滤波器的特点： 通带内等起伏，通带外衰减快； 由于过渡带较窄，因此相位特
27、性较差。,3考尔滤波器(cauer),考尔滤波器的特点：通带内、外都是等起伏。由于过渡带较窄，因此相位特性较差。,四S平面到Z平面的映射变换,利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器的传递函数 设计数字滤波器的传递函数 ，即,这种变换归根结底是一个由S平面到Z平面的变换，并且通常是复变函数的映射变换，这种映射变换应该满足两个基本的要求：,的频响应该模仿 的频响即要求,是因果稳定的映射指 的因果稳定性通过映射后， 仍保持因果稳定。,脉冲响应不变法,根据容限设计好一个模拟滤波器后，就可对此模拟系统进行模仿。数字滤波器从什么角度去模仿模拟滤波器呢？第一种方法是脉冲响应不变法。,1. 脉
28、冲响应不变法,模拟 系统,LTI系统特性可以完全由它的冲激响应决定,数字 系统,脉冲响应不变法让数字滤波器的脉冲响应和模拟滤波器的脉冲响应在采样点上完全一样。即：,单位脉冲响应不变法的设计思想是： 使数字滤波器从时域去模仿模拟滤波器。,下面我们举例说明脉冲响应不变法的应用：,例：已知AF的系数函数用脉冲响应不变法求出相应的数字滤波器的系数函数,解：,模拟滤波器在 处有一个零点；在 处有一对共轭极点。,数字域中 有两个零点 和 ，有一对共轭极点。可见，脉冲响应不变法对零点没有一一对应的关系。,从幅频特性频谱图中可以看出：由于频谱混叠带来明显的失真。很显然， 在 处比 在 处下降的慢，这主要是因为
29、“混叠”造成的。混叠的主要原因是由于模拟信号频域的不充分带限。,5脉冲响应不变法的特点 脉冲响应不变法是一种时域设计法，数字滤波器是从时域进行模仿。即 。,但是S平面 Z平面的零点并没有这种单值映射的关系,这种时域模仿使得S平面的极点 Z平面的极点为,双线性变换法,为了寻求S平面与Z平面的一一对应关系，我们先把S平面压缩到某一个中介的 平面的横带内（宽度从 到 ），然后把此横带再变换到整个Z平面，这时S平面与Z平面就建立了一一对应的单值的映射关系，可以消除混叠现象。如下图所示：,1. 双线性变换法,令 ， ，则,得到 的映射关系, 映射到,将标准变换关系 代入 ， 从而得到 到 的双线性 变换
30、的单值映射关系,现在来验证上式中S和Z的变换关系是否满足“映射变换”的两个总要求：,通过验证得到以下结论： 如果模拟滤波器是稳定的，通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也一定是稳定的。 如果给定模拟滤波器的传递函数 ，变量S与Z之间有简单的代数关系，只要用代数置换就可以得到数字滤波器的传递函数。,双线性变换的映射关系为：,2双线性变换的频率响应 S平面到 平面虚轴的映射关系为：,模拟域与数字域的频率关系为：,可以看出：模拟域与数字域的频率变换关系不是线性的，而是非线性关系。,数字滤波器的频响,3双线性变换的优缺点, 没有频谱混叠双线性变换的最大优点是避免了频响的混叠效应，因为S平面的虚轴单值
31、对应着Z平面单位圆的一周。, 和 的关系是非线性变换, 数字频率和模拟频率之间的关系是, 设计简单 双线性变换是IIR滤波器设计中使用最普遍、最有成效的一种设计方法。,例.1 要求用脉冲响应不变法及双线性变换设计一个三阶Butterworth低通滤波器。设采样周期 (即采样频率 )，3dB截止频率,解：第一步: 的设计Butterworth滤波器的传递函数为：,三阶Butterworth滤波器N=3，有2N=6个极点，分布在半径为 的圆上，将S平面分成6等份。为了保证设计的系统是稳定的， 的极点应该取S左半平面的极点，因此，S左半平面的传递函数 是,其中：,当N=3时，可直接确定三阶Butte
32、rworth滤波器的传递函数 为：,第二步：变换法设计滤波器脉冲响应不变法将 用部分分式展开为：,将 直接变换为数字滤波器的传递函数：,将上式中共轭复根合并得：,其中数字滤波器的截止频率为 可以看出 只与临界频率 与采样频率 的相对值 有关，而与 、 的绝对大小无关，所以只要 一定，所设计的数字滤波器则具有同一个传递 函数，这个结论适用于所有的数字滤波器。,例.2 1kHz 4kHz 则在数字域中的1MHz 4MHz 设计是相同的。,将 代入 中：,以上得到的是数字三阶Butterworth滤波器的传递函数 ，采用一个一阶基本节和一个二阶基本节并联的结构实现比较方便。,二高通变换在模拟滤波器的
33、高通设计中，低通至高通的变换就是S变量的倒置变换，只 要把双线性变换中 即可。,低通为 高通为,将 代入上式复变量S中,数字域与模拟域的频率映射关系为,由右图中看出： 当 ，Z平面是映射在 上 当 ，Z平面是映射在 上,第八章 FIR滤波器的设计方法,IIR滤波器优点是利用模拟滤波器的成果，可以简单、有效地完成滤波器设计，尤其是双线性变换法，没有频响混叠现象，效果很好，但它却是以牺牲相位特性为代价而获得的，因此IIR滤波器存在有明显的缺点：相位的非线性。 相位不是线性的,如果要求线性相位，例如：图 像处理、数据传输或要求传输的信道具有线性相位特性，则必须要加一全通网络进行相位校正。有不稳定问题
34、。因为极点靠近单位圆，所以极点必须在单位圆内，如果由量化误差引起极点偏离的话，有可能造成系统的不稳定。,采用递归结构。 因为递归结构的误差是累计的，累计误差比较大时，有可能产生极限环振荡。,针对以上这些不足，FIR滤波器有它独到的优点： 相位严格线性。在满足一定条件下，可以保证精确的、严格的线性 相位特性。 采用非递归结构。 非递归结构误差小。不存在输出对输入的反馈。 无不稳定问题。FIR滤波器的h(n)是有限长序列，除了Z=0有极点外，有限长序列的Z变换在整个Z平面收敛，所以没有不稳定问题。 可用延时实现非因果系统。 因为任何一个非因果有限长序列，总可 以通过一定的延时转变为因果序列。 可采
35、用FFT方法过滤信号。 有限长序列可以用FFT实现快速卷积，从而大大地提高运算效率。,偶对称 或 奇对称,FIR滤波器才具有线性相位特性。,FIR滤波器具有线性相位的充要条件是：,正交变换通过一个网络的所有信号将产生 相移，这种在所有频率上都产生 相移的变换我们称为信号的正交变换，具有这种特性的网络称为正交变换网络。,小结： 第一种：适合设计各种滤波器 ； 第二种：不适合设计高通、带阻滤波器， ； 第三种：只适合设计带通滤波器， ； 第四种：不适合设计低通、带阻滤波器， 。,三. 零点特性1线性相位FIR滤波器 的特点FIR滤波器是全零点滤波器，由于线性相位条件要求滤波器的单位脉冲响应 必须具
36、有：,偶对称 ， 或奇对称 ，,因而线性相位FIR滤波器的零点分布具有特殊的规律。,对于线性相位FIR滤波器的零点分布特性，它的传递函数应满足：,如果 处是 的零点，即 ，,其中“”为偶对称，“”为奇对称,它的倒数 处也必定是 的零点， 。,因为：,当 是实序列时， 的零点必定是共轭成对的出现。,如果 为零点，则 也必定是零点，那么 和 也为零。即, 既不在实轴上也不在单位圆上那么零点必然是四个互为倒数的两组共轭对。 这四个零点是：,在单位圆上则有 ， ，即共轭对的倒数就是它们本身，所以它们的零点必然是一对共轭对。,2线性相位FIR滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对,线性相位FIR滤波器的零点
37、分布有四种可能的情况：,这时 为实数零点，实数零点没有共轭部分， 只有倒数部分， 的共轭就是其本身。即，因此，零点则是两两成对出现。, 在实轴上, 既在实轴上又在单位圆上这时两组四个互为倒数的共轭零点四个合为 一点，此时只存在单根，有两种可能：a) ,位于 处有单根。如上面讨论过的第三和第四种线性相位滤波器。b) ，位于 处有单根。如上面讨论过的第二和第三种线性相位滤波器。,3常用的窗口函数因为主瓣与旁瓣的关系只决定于窗口函数的形状，所以我们可以对矩形窗的形状稍作改变，来获得更好性能的滤波器。在窗口法中，往往是用加宽过渡带来换取阻带的衰减。,a) 矩形窗,b) 升余弦窗（也称海宁（Hannin
38、g）窗）,c) 改进的升余弦窗（也称汉明（Hamming）窗）,d) 二阶升余弦窗（也称布拉克曼（Blackman）窗）,下图给出四种窗口函数的频谱，图中以相对衰减为纵坐标，可以看出这四种函数的旁瓣衰减逐步得到提高，但与此同时主瓣宽度也相应加宽了。,IIR滤波器与FIR滤波器的比较,前面我们介绍过了IIR和FIR两种滤波器传递函数的设计方法，在实际运用中应该如何去选择？下面我们对这两种滤波器的优劣做一个简单的比较。, 性能（滤波器在相同的阶数下）FIR滤波器有严格的线性相位。,IIR滤波器的幅度特性较好，尤其适合设计幅度特性是分段常数的选频滤波器。但IIR滤波器的相位是非线性的。, 经济性,F
39、IR滤波器的极点在原点，只能用较高阶数达到较好的选择性。相对IIR而言，需要用较多的存储器和较多的运算次数。,IIR滤波器可以用较少阶数获得较高选择性，所用存储单元及运算次数少，经济而效率高，但却是以牺牲相位特性为代价，选择性愈好，相位失真愈严重。, 传递函数,FIR滤波器的传递函数是 的多项式，在S平面找不到与它相对应的 。,IIR滤波器的传递函数是 的有理分式，在S平面有与它相对应的 。, 结构,FIR滤波器采用非递归型结构，不存在稳定性的问题，运算误差也较小。另外，FIR滤波器可以采用FFT快速算法，在相同阶数下，运算速度快。,IIR滤波器采用递归型结构，极点必须在单位圆内，否则系统将不
40、稳定。另外，由于运算过程中对序列的舍入处理，会引起极限环震荡。,FIR滤波器不能借用模拟滤波器的现成设计方法。往往需要凭借经验或借助计算机进行设计。但FIR滤波器的设计较灵活，尤其频率采样设计法 。,设计工作,IIR滤波器可以借助于模拟滤波器的成果，一般都可以利用AF的现成公式、数据和表格，因而运算工作量较小。,由以上的简单比较可以看到IIR滤波器和FIR滤波器各有所长，所以在实际应用时应从多方面考虑加以选择。例如，从使用角度，在对相位要求不敏感的场合，如语音通讯等，选用IIR滤波器可以充分发挥其经济高效的特点。而对于图像信号处理、数据传输等以波形携带信息的系统，则对线性相位要求较高，采用FIR滤波器较好。,
