1、轴对称： 课题学习 最短路径问题( 第 1 课时)一、内容和内容解析1内容从生活中抽象出、转化数学问题，利用轴对称研究某些最短路径问题2内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“ 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短” (或“三角形两边之和大于第三边”)问题2、教学目标和重难点知识与技能：利用两点之
2、间线段最短和轴对称知识解决简单的最短路径问题过程与方法：体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想情感态度与价值观：体会数学与生活的关系，在小组合作学习中培养数学的兴趣重难点：会用转化思想解决简单的最短路径问题三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少在几何中涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手解答“当点 A， B 在直线 l 的同侧时，如何在 l 找到点 C，使 AC 与 CB 的和最小”，需要将其转化为“ 直线 l 异侧的两点，与 l 上的点的线段和最小值问题 ”，为什么需要这样
3、转化、怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难在证明“最短”时，需要在直线上任取一点(与所求作的点不重合 )，证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到教学时，教师可以让学生首先思考“直线 l 异侧的两点，与 l 上的点的线段和最小值问题”，为学生搭建 “脚手架” 在证明“最短”时，教师要适时点拨学生，让学生体会“任意”的作用本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题四、教学过程设计引言前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“ 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现
4、实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用说学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”1将实际问题抽象为数学问题问题 1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图 1 中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题” 你能将这个问题抽象为数学问题吗？图 1 图 2(1)这是一个实际问题，你打算首先做什么？师生活动：学生回答将 A，B 两地抽象为两个点，将河 l
5、抽象为一条直线(图 2)(2)你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生先互相交流，尝试回答，并相互补充，最后达成共识：(1)从 A 地出发，到河边 l 饮马，然后到 B 地； (2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与 A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从 A 地到饮马地点，再回到 B 地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线 l 上的点设 C 为直线 l 上的一个动点，上面的问题就转化为：当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小(图 3)图 3设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题
6、抽象为“线段和最小问题” 2尝试解决数学问题问题 2 如图 3，点 A，B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线l上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和BAlBAlCBAlB图 4lA最小？师生活动：学生独立思考，互相交流，画图分析，并尝试回答，相互补充如果学生有困难，教师可作如下提示：(1)如图 4，点 A，B 分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点分别到点 A 与点 B 的距离和最短？(2)对于问题 2，如何将点 B“移”到 l 的另一侧 B处，满足直线 l 上的任意一点 C，都保持 CB 与 CB的长度相等？(3)你能利用轴对称的有关
7、知识，找到(2)中符合条件的点 B吗？对于(1)，学生利用已经学过的知识，很容易解决这个问题即：连接 AB，与直线 l 相交于一点，根据“ 两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求；对于(2)(3)，学生独立思考后，尝试画图，寻找符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，师生共同补充得出：只要作出点 B 关于 l 的对称点 B，就可以满足 CBCB(图 5)再利用(1)的方法，连接 AB，则 AB与直线 l 的交点即为所求学生叙述，教师板书，并画图(图 5)，同时学生在自己的练习本上画图作法：(1)作点 B 关于直线 l 的对称点 B；(2)连接 AB，与直线 l 相交于点 C则点
8、C 即为所求设计意图：通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架” ，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想3证明“最短”问题 3：你能用所学的知识证明 ACBC 最短吗？先小组讨论十分钟师生活动：师生共同分析，然后学生说明证明过程，教师板书：证明：如图 6，在直线 l 上任取一点 C(与点 C 不重合)，连接 AC，BC ，BC 由轴对称的性质知，BCBC，BCBC ACBCAC BC AB， ACBCACBC 在ABC中，AB ACBC，ABlBC图 5AlBCCB图 6 ACBCACBC即 ACBC 最短追问 1：证明 ACBC 最短时，为什么要在直线 l 上任
9、取一点 C(与点 C 不重合)，证明ACBCAC BC？这里的 “C”的作用是什么？师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线 l 上任意一点(与点C 不重合 )与 A，B 两点的距离和都大于 ACBC ，就说明 ACBC 最小设计意图：让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力追问 2: 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？师生活动：学生回答，并相互补充设计意图：让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验练习如图 7，一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC 上，最后
10、回到 P 处，请画出旅游船的最短路径师生活动：学生分析解题思路，并相互补充，然后独立完成画图其基本思路为：由于两点之间线段最短，所以首先可连接 PQ，线段 PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线 BC，这样问题就转化为“ 点 P，Q 在直线 BC 的同侧，如何在BC 找到一点 R，使 PR 与 QR 的和最小” 设计意图：让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法4小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：(1)本节课研究问题的基本过程是什么？(2)轴对称在所研究问题中起什么作用？设计意图：引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法，体
11、会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值 5. 思考题 如图，一牧民需要从 P 处把羊赶去草地吃草，后去水渠喝水，最后回到营地 Q 处，牧民该如何规划路钱? m 草地河岸大桥山A BCQP图 7.P .Q水渠 n设计意图：这个问题学生们肯定有多种方案，让他们课后自己讨论，用自己的知识去说服别人，通过这种互相竞争的方式，培养他们对数学的兴趣 这节课知识点虽然比较单一，内容也比较少，但是最短路径问题也不是那么好理解的，要光靠讲能讲清并不容易，索性我就把课堂教给学生，自己充当一个解惑答疑者。这节课我每一个环节都让学生小组间讨论完成，既经过自己独立思考，又培养他们互相学习互相帮组的习惯，稳扎稳打把问题弄清，确实学生掌握的比老师讲的要透彻，教师将千万道，不如学生独立弄懂一道。教学还是不能急，要根据学生的能力，掌握情况及时调整教学方式方法。太平狮峰学校：黄龙
