1、1优学小班提分更快、针对更强、时效更高名师堂学校优学小班讲义 轴对称最短路径问题现在的数学教学遵循标准的理念，以“生活 数学”, “活动 思考”为主线展开课程内容，注重体现生活与数学的联系，其中最短路径问题就是这一方面知识与能力的综合运用，其原型来自于“饮马问题” 、 “造桥选址问题” ，出题背景有角、三角形、平行四边形、坐标轴、抛物线等。下面就对上述类型做一个简单的归纳。例 1如图，牧童在 A 处放马，其家在 B 处，A、B 到河岸的距离分别为 AC 和 BD，且 AC=BD，若点 A 到河岸 CD 的中点的距离为 500 米，则牧童从 A 处把马牵到河边饮水再回家，最短距离是多少米？分析：
2、根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接AB，得到最短距离为 AB，再根据全等三角形的性质和A 到河岸 CD 的中点的距离为 500 米，即可求出 AB 的值AB=1000 米故最短距离是 1000 米例 2如图，正方形 ABCD，AB 边上有一点 E，AE=3，EB=1，在 AC 上有一点 P，使 EP+BP 为最短求：最短距离 EP+BP分析：此题中，点 E、B 的位置就相当于例 1 中的点 A、B，动点 P 所在有直线作为对称轴相当于例1 中的小河。故根据正方形沿对角线的对称性，可得无论 P 在什么位置，都有 PD=PB；故均有EP+BP=PE+PD 成立；所以原题可以转化为求 PE
3、+PD 的最小值问题，分析易得连接 DE 与 AC，求得交点就是要求的点的位置名师堂 校区地址： 南充 咨询电话：2例 3如图，XOY 内有一点 P，在射线 OX 上找出一点 M，在射线 OY 上找出一点 N，使 PM+MN+NP 最短分析：此题的出题背景就是角。本题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对称图形的性质确定三角形的另两点分别以直线 OX、OY 为对称轴，作点 P 的对应点 P1与 P2，连接 P1P2交 OX 于 M，交 OY 于 N，则 PM+MN+NP最短例如图，荆州古城河在 CC处直角转弯，河宽均为 5 米，从 A 处到达 B 处，须经两座桥：DD，EE（桥宽不计），设护
4、城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B 在东西方向上相距 65 米，南北方向上相距 85 米，恰当地架桥可使 ADDEEB 的路程最短，这个最短路程是多少米？分析：由于含有固定线段“桥”，导致不能将 ADDEEB 通过轴对称直接转化为线段，常用的方法是构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答这就是“造桥选址问题”解：作 AFCD，且 AF=河宽，作 BGCE，且 BG=河宽，连接 GF，与河岸相交于 E、D作 DD、EE即为桥证明：由作图法可知，AFDD，AF=DD，则四边形 AFDD 为平行四边形，于是 AD=FD，同理，BE=GE，由两点之间线段最短可知，GF 最小；即当桥建于
5、如图所示位置时，ADDEEB 最短例（2008内江）如图，当四边形 PABN 的周长最小时，a= 。分析：因为 AB，PN 的长度都是固定的，所以求出 PA+NB 的长度就行了问题就是 PA+NB 什么时候最短把 B 点向左平移 2 个单位到 B点；作 B关于 x 轴的对称点 B，连接 AB，交 x 轴于 P，从而确定 N点位置，此时 PA+NB 最短再求 a 的值3此题中的 PN 就相当于“造桥选址问题”中的桥，其思路与上题是一样的。通过构造平行四边形和轴对称将折线转之和最短转化为两点之间线段最短至于“抛物线”这一类型的问题，由于综合性较强，这里就不介绍了。但中纵观上述几题我们不难发现，这一
6、类题型的解题思路是一样的：找到关于线的对称点实现“折”转“直” ，再利用“两点之间线段最短”这一性质来解决。 攀登高峰综合提升1、 （一定点两线型）如图，AOB=30，AOB 内有一定点 P, 且 OP=10.在 OA 上有一点 Q,OB 上有一点 R.画出周长最小的PQR，并求出最小周长。、 （两定点两线型）已知：MON 和MON 内两点 A，B求作：点 C 和点 D，使得点 C 在OM 上，点 D 在 ON 上，且 AC+CD+BDAB 最短提示：用 1 题的解答可以帮助分析出 2 题的解答谈谈收获自我反思想一想这节课你有什么收获?答：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问
7、题课堂检测如图:在边长为 2 的正三角形 ABC 中,E、F、G 分别为AB、AC、BC 的中点，点 P 为线段 EF 上一个动点，连接 BP，GP，则BPG 的周长的最小值是 如图，A 为马厩，B 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。O BAPNOMABAEG CBP F4巩固训练：1.如图，在直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（1,4）和（3，0） ，点 C 是 Y 轴上一个动点，且A、B 、 C 三点不在同一条直线上，当三角形 ABC 的周长最小时， AC+BC=( )2.如图，AOB=60，点 P 在A
8、OB 的角平分线上，OP=10cm，点 E、F 是AOB 两边 OA，OB上的动点，当PEF 的周长最小时，点 P 到 EF 距离是（ ）2.如图，等边ABC 的边长为 4，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 边上的动点，E 是 AC 边上一点，若 AE=2，当 EF+CF 取得最小值时，则ECF 的度数为（ ）3.如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为 ( )54.如图，四边形 ABCD 中，BAD120 ，BD90，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使AMN 周长最小时，则AMNANM 的度数为( ) A.130 B.120 C.110 D.100 5.如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN，使从 A 到 B 得路径 AMNB 最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直） （ ）
