1、第二章 点和直线,2,章节目录,第一节,第二节,第三节,第四节,第五节,第六节,第七节,第八节,点的两面及三面投影,点的投影与直角坐标的关系,直线的投影,线段的实长及其对投影面的倾角,特殊位置直线,直线上的点,无轴投影图,两直线的相对位置,第九节,直角的投影,3,学习内容及学习重点,学习内容： 点的两面投影 点的三面投影 学习重点： 投影面的展开 点的投影特性,第一节 点的两面及三面投影,21 点的两面及三面投影,4,21 点的两面及三面投影,一、点的两面投影,空间点A的单面投影,由单面投影定空间点的位置,只根据点在一个投影面上的投影，不能确定该点在空间的位置。,5,一、点的两面投影,H,V,
2、水平投影面H,正立投影面V,投影轴OX,a- A点的水平投影（ H面投影）,a- A点的正面投影（V 面投影）,21 点的两面及三面投影,6,一、点的两面投影,H,V,aax =Aa= A点到H面的距离（高度）,aax =Aa = A点到V面的距离（深度）,ax,21 点的两面及三面投影,7,1、投影面的展开,H,V,规定：V面不动，H面向下旋转90,ax,V,H,O,X,21 点的两面及三面投影,8,2、点的两面投影特性,H,V,（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴（aaOX),ax,V,H,O,X,（2）点的正面投影到OX轴的距离等于空间点到H面的距离（a ax =Aa); 水平
3、投影到OX轴的距离等于空间点到V面的距离（ aax =Aa),21 点的两面及三面投影,9,二、点的三面投影,H,V,水平投影面H,正立投影面V,投影轴OX,a- A点的水平投影（H面投影）,a- A点的正面投影（V面投影）,W,侧立投影面W,OY,OZ,a”,a”- A点的侧面投影（W面投影）,21 点的两面及三面投影,10,二、点的三面投影,H,V,Aa =aax=a”ay= azO,W,a”,ax,Aa=a”az=aax= ayO,Aa”=aay=aaz= axO,21 点的两面及三面投影,11,1、投影面的展开,规定：V面不动，H面向下旋转90，W面向右旋转90,V,H,O,X,H,V
4、,W,a”,ax,Z,W,YH,YW,21 点的两面及三面投影,12,2、点的三面投影特性,（1）点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴（aaOX),（3）点的侧面投影到OZ轴的距离等于点的水平投影到OX轴的距离（ a”a z=a a x),H,V,W,a”,ax,V,H,O,Z,W,YH,YW,a”,ay,ay,az,（2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（aa”OZ),X,21 点的两面及三面投影,13,2、点的三面投影特性,（1）点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴（aaOX),（3）点的侧面投影到OZ轴的距离等于点的水平投影到OX轴的距离（ a”a z=a a x),H,
5、V,W,a”,ax,O,Z,YH,YW,a”,ay,ay,az,（2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（aa”OZ),X,21 点的两面及三面投影,14,例题1：已知点B的水平投影b和正面投影b，求侧面投影b”。,步骤：,1.过b作OZ轴的垂线bbz；,2.在bbz的延长线上取b”bz = bbx,O,Z,YH,YW,b”,bz,X,21 点的两面及三面投影,15,例题2：已知点C的正面投影c和侧面投影c”，求水平投影c。,步骤：,1.过c作OX轴的垂线ccx；,2.在ccx的延长线上取cc x= c”cz,O,Z,YH,YW,cx,c”,cz,X,21 点的两面及三面投影,16,小结
6、,1,2,两个投影面的展开,点的两面投影特性,V面不动，H面向下旋转90,（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴（aaOX),（2）点的正面投影到OX轴的距离等于空间点到H面的距离（a ax =Aa); 水平投影到OX轴的距离等于空间点到V面的距离（ aax =Aa),21 点的两面及三面投影,17,小结,3,三个投影面的展开,V面不动，H面向下旋转90，W面向右旋转90,4,点的三面投影特性,（1）点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴（aaOX),（2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（aa”OZ),（3）点的侧面投影到OZ轴的距离等于点的水平投影到OX轴的距离（ a”a
7、 z=a a x),21 点的两面及三面投影,18,学习内容及学习重点,学习内容： 点的投影与直角坐标的关系 投影面上的点学习重点： 点的投影与直角坐标的关系,22 点的投影与直角坐标的关系,第二节 点的投影与直角坐标的关系,19,一、点的投影与直角坐标的关系,H,V,W,a”,ax,A点到W面的距离(Aa”)=A点的x坐标（Oax)A点到V面的距离(Aa)=A点的y坐标（Oay)A点到H面的距离(Aa)=A点的z坐标（Oaz),22 点的投影与直角坐标的关系,20,例题：已知A点的坐标：x=20mm、y=10mm、z=15mm，试作出A点的三面投影图。,步骤：,1.作投影轴，并取Oax=20
8、mm；,2.过ax作OX的垂线，向前截取a ax =10mm，向上截取a ax =15mm;,O,Z,YH,YW,ax,a”,az,X,3.过a作OZ的垂线，截取a ”az =10mm.,22 点的投影与直角坐标的关系,21,二、投影面上的点,22 点的投影与直角坐标的关系,当空间的点位于某一个投影面内时，则它的三个坐标中必有一个为零。,H,V,D(d),d,W,d”,O,Z,YH,YW,d,d,d”,X,22,小结,1,2,点的投影与直角坐标的关系,A点到W面的距离=A点的x坐标A点到V面的距离=A点的y坐标A点到H面的距离=A点的z坐标,投影面上的点,当空间的点位于某一个投影面内时，则它的
9、三个坐标中必有一个为零。,22 点的投影与直角坐标的关系,23,学习内容及学习重点,第三节 直线的投影,23 直线的投影,学习内容： 直线投影的作图 直线在空间的趋势 学习重点： 直线投影的作图,24,一、直线投影的作图,直线的投影，一般情况下是直线。作图分为两步：（1）作出直线上两个点的各个投影；,（2）分别连接这两个点的同面投影。,23 直线的投影,25,二、直线在空间的趋势,1、上行直线,H,V,O,X,B,A,a,b,a,b,O,X,a,a,b,b,投影特点：两个投影对OX轴向同一方向倾斜。,23 直线的投影,26,二、直线在空间的趋势,H,V,O,X,C,D,d,c,d,c,O,X,
10、d,d,c,c,投影特点：两个投影对OX轴向不同方向倾斜。,2、下行直线,23 直线的投影,27,例题：已知直线AB的水平投影ab和正面投影ab，作直线AB的侧面投影。,步骤：,1.作a”；,2.作b”;,3.连接a”b”.,O,Z,YH,YW,a,a,a”,X,b,b,b”,23 直线的投影,28,小结,直线的投影,直线的投影，一般情况下是直线。作图分为两步：（1）作出直线上两个点的各个投影；（2）分别连接这两个点的同面投影。,1,直线在空间的趋势,2,1、上行直线：两个投影对OX轴向同一方向倾斜。2、下行直线：两个投影对OX轴向不同方向倾斜。,23 直线的投影,29,学习内容及学习重点,第
11、四节 线段的实长及其对投影面的倾角,24线段的实长及其对投影面的倾角,学习内容： 直线的倾角 一般位置直线 一般位置直线的实长和倾角 学习重点： 直角三角形法求一般位置直线的实长和倾角,30,一、直线的倾角,a-直线与H面的倾角,a,b-直线与V面的倾角,g-直线与W面的倾角,g,24线段的实长及其对投影面的倾角,31,二、一般位置直线,一般位置直线-对各投影面都倾斜的直线。,ab =ABcosa,ab=ABcosb,a”b”=ABcosg,一般位置直线的三个投影都小于实长。,24线段的实长及其对投影面的倾角,32,三、一般位置直线的实长和倾角,H,B,A,a,b,O,X,a,a,b,b,C,
12、b0,步骤：,1.过b作ab的垂线；,2.在垂线上截取bb0=m;,3.连接ab0， ab0=AB，bab0= a.,b0,24线段的实长及其对投影面的倾角,33,三、一般位置直线的实长和倾角,O,X,a,a,b,b,a0 ,步骤：,1.过a作a b 的垂线；,2.在垂线上截取aa0 =n;,3.连接a0 b ， a0 b =AB，aba0 = b.,24线段的实长及其对投影面的倾角,34,三、一般位置直线的实长和倾角,作图方法：,以线段在某个投影面上的投影为一直角边，以线段的两端点到这个投影面的距离差为另一直角边，作一个直角三角形，此直角三角形的斜边就是线段的实长，此斜边和投影的夹角，等于线
13、段对该投影面的倾角。,24线段的实长及其对投影面的倾角,35,例题1：试用直角三角形法确定直线CD的实长及对投影面V的倾角b 。,分析：,求直线对V面的倾角，必须以V面投影作一直角边，另一直角边是直线两端点到V面的距离差。,O,X,d,d,c,c,c0,24线段的实长及其对投影面的倾角,36,例题2：已知直线CD对投影面H的倾角a =30，试补全正面投影cd 。,分析：,由倾角作投影的问题。已知a =30，必须以水平投影为一直角边，可以作出直角三角形。因此，能确定CD的高度差，补全正面投影。,O,X,d,d,c,c,步骤：,1.过c作OX的平行线，与过d向上作出的铅垂线相交于d0,并延长至c0
14、，使c0d0=cd；,2.自c0对c0d0作30角的斜线，与过d的铅垂线相交于d;,3.连接cd.,d0,c0,24线段的实长及其对投影面的倾角,37,例题3：在已知直线上截取线段AB等于定长L 。,步骤：,1.在直线上任取一点K，得线段AK；,2.用直角三角形法求AK的实长;,3.在ak0上取ab0=L，求出b和b.,X,a,a,k,k,k0,L,b0,b,b,24线段的实长及其对投影面的倾角,38,小结,1,2,直线的倾角,-直线与H面的倾角-直线与V面的倾角-直线与W面的倾角,直角三角形法求一般位置直线的实长和倾角,作图方法：以线段在某个投影面上的投影为一直角边，以线段的两端点到这个投影
15、面的距离差为另一直角边，作一个直角三角形，此直角三角形的斜边就是线段的实长，此斜边和投影的夹角，等于线段对该投影面的倾角。,24线段的实长及其对投影面的倾角,39,学习内容及学习重点,第五节 特殊位置直线,25 特殊位置直线,学习内容： 投影面平行线 投影面垂直线 学习重点： 特殊位置支线的投影特性,40,一、投影面平行线,水平线-平行于水平投影面的直线,投影面平行线,正平线-平行于正立投影面的直线,对一个投影面平行或垂直的直线，叫做特殊位置直线。,侧平线-平行于侧立投影面的直线,25 特殊位置直线,41,1、水平线 ABH,投影特性： 1、水平投影反映实长，并反映倾角b和g 2、ab OX，
16、a”b” OYW,25 特殊位置直线,42,2、正平线 CDV,投影特性： 1、正面投影反映实长，并反映倾角a和g 2、cd OX，c”d” OZ,25 特殊位置直线,43,3、侧平线 EFW,投影特性： 1、侧面投影反映实长，并反映倾角a和b 2、ef OZ，ef OYH,25 特殊位置直线,44,投影面平行线的投影特性：,1、直线在它所平行的投影面上的投影反映实长，并且这个投影与投影轴的夹角等于空间直线对相应投影面的倾角； 2、其它两个投影都小于实长，并且平行于相应的投影轴。,25 特殊位置直线,45,二、投影面垂直线,铅垂线-垂直于水平投影面的直线,正垂线-垂直于正立投影面的直线,侧垂线
17、-垂直于侧立投影面的直线,25 特殊位置直线,46,1、铅垂线 ABH,投影特性： 1、水平投影积聚成一点a(b) 2、ab OX，a”b” OYW ，并且都反映实长,25 特殊位置直线,47,2、正垂线 CDV,投影特性： 1、正面投影积聚成一点c(d) 2、cd OX，c”d” OZ ，并且都反映实长,25 特殊位置直线,48,3、侧垂线 EFW,投影特性： 1、侧面投影积聚成一点e”(f”) 2、ef OYH，ef OZ ，并且都反映实长,25 特殊位置直线,49,1、直线在它所垂直的投影面上的投影积聚为一点； 2、其它两个投影垂直于相应的投影轴，并且反映实长。,投影面垂直线的投影特性：
18、,25 特殊位置直线,50,小结,1,投影面平行线,水平线平行于水平投影面的直线,投影特性 (1)直线在它所平行的投影面上的投影反映实长，并且这个投影与投影轴的夹角等于空间直线对相应投影面的倾角； (2)其它两个投影都小于实长，并且平行于相应的投影轴。,正平线平行于正立投影面的直线,侧平线平行于侧立投影面的直线,25 特殊位置直线,51,小结,2,投影面垂直线,铅垂线垂直于水平投影面的直线,投影特性 (1)直线在它所垂直的投影面上的投影积聚为一点； (2)其它两个投影垂直于相应的投影轴，并且反映实长。,正垂线垂直于正立投影面的直线,侧垂线垂直于侧立投影面的直线,25 特殊位置直线,52,学习内
19、容及学习重点,第六节 直线上的点,26直线上的点,学习内容： 直线上点的投影特性 判断点是否在直线上 直线的迹点 学习重点： 直线上点的投影特性 判断点是否在直线上的方法 求直线迹点的方法,53,（1）点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上；,H,V,O,X,B,A,a,b,a,b,C,（2）点分线段成某一比例，则该点的各个投影也分该线段的同面投影成相同的比例。,c,c,一、直线上点的投影特性,26直线上的点,54,若点的各个投影在该直线的同面投影上，则点在直线上。,a,b,a,b,O,X,c,d,c,d,1、一般情况，只需要看两面投影就可以。,C点在AB上,D点不在AB上,二、判断
20、点是否在直线上,26直线上的点,55,2、对于侧平线，还需要看侧面投影。,E点不在CD上,O,X,YW,YH,Z,c,d,c,d,e,e,c”,d”,e”,二、判断点是否在直线上,26直线上的点,56,步骤：,X,a,a,b,b,O,1.过a作任意辅助线ab0，使ac0:c0b0=3:4；,2.连bb0，再过c0作c0cb0b;,3.求出c.,c0,b0,c,c,例题1：试把已知线段AB分成AC:CB=3:4 。,26直线上的点,57,第一种方法：,1.过d作任意辅助线dc0，使de0:e0c0=de:ec=m:n；,2.连cc0，再过e0作e0ec0c.,O,X,YW,YH,Z,c,d,c,
21、d,e,e,c”,d”,e”,O,X,c,d,c,d,e,e,e0,c0,第二种方法：,1.作CD的侧面投影c”d”；,2.求作e”；,3.求作e。,例题2：已知侧平线CD上一点E的正面投影e，作出E点的水平投影e 。,26直线上的点,58,直线与投影面的交点叫做直线的迹点；,直线与H面的交点，叫水平迹点；,直线与V面的交点，叫正面迹点；,直线与W面的交点，叫侧面迹点。,三、直线的迹点,26直线上的点,59,H,V,O,X,A,a,B,b,M-水平迹点,N-正面迹点,迹点是直线和投影面的公共点，投影特性：,（1）作为投影面上的点，则它在该投影面上的投影必与它本身重合，而另一个投影必落在投影轴上
22、；,（2）作为直线上的点，则它各个投影必落在该直线的同面投影上。,(m),m,(n),n,三、直线的迹点,26直线上的点,60,H,V,O,X,A,a,B,b,根据直线的投影求其迹点的作图方法：,（1）求水平迹点：应延长直线的正面投影与OX轴相交，再从所得的交点，作 OX轴的垂线与直线的水平投影相交，所得交点即为水平迹点。,(m),m,(n),n,（2）求正面迹点：应延长直线的水平投影与OX轴相交，再从所得的交点，作 OX轴的垂线与直线的正面投影相交，所得交点即为正面迹点。,三、直线的迹点,26直线上的点,61,步骤：,X,a,a,b,b,O,1.延长ab与OX轴相交，得m,再从m作OX轴的垂
23、线与ab交于m,即为所求水平迹点M；,m,n,m,2.延长ab与OX轴相交，得n,再从n作OX轴的垂线与ab交于n,即为所求正面迹点N；,n,例题：求作直线AB的水平迹点和正面迹点 。,26直线上的点,62,小结,1,直线上点的投影特性,（1）点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上；,（2）点分线段成某一比例，则该点的各个投影也分该线段的同面投影成相同的比例。,2,判断点是否在直线上,若点的各个投影在该直线的同面投影上，则点在直线上。,（1）一般情况，只需要看两面投影就可以；,（2）对于侧平线，还需要看侧面投影。,26直线上的点,63,小结,3,直线的迹点,直线与H面的交点，叫水平迹
24、点；,直线与V面的交点，叫正面迹点；,根据直线的投影求其迹点的作图方法：,（1）求水平迹点：应延长直线的正面投影与OX轴相交，再从所得的交点，作 OX轴的垂线与直线的水平投影相交，所得交点即为水平迹点。,（2）求正面迹点：应延长直线的水平投影与OX轴相交，再从所得的交点，作 OX轴的垂线与直线的正面投影相交，所得交点即为正面迹点。,直线与W面的交点，叫侧面迹点。,26直线上的点,64,学习内容及学习重点,第七节 无轴投影图,27无轴投影图,学习内容： 绘制无轴投影图的方法 学习重点： 绘制无轴投影图的方法,65,投影的形状、大小不受物体和投影面之间的距离影响。,正投影法,一、无轴投影图,27无
25、轴投影图,66,H,V,O,X,B,A,a,b,a,b,O,X,a,a,b,b,当投影面平行移动时，只能引起投影轴的移动，而不能引起投影图的形状和大小的变化。,H1,O1,X1,a1,b1,O1,X1,a1,b1,一、无轴投影图,27无轴投影图,67,H,V,O,X,B,A,a,b,a,b,O,X,a,a,b,b,H1,O1,X1,a1,b1,O1,X1,a1,b1,在工程上，一般只要求投影图能够表达空间形体的形状和大小，而不需考虑对投影面的距离。因此，可以不必画投影轴。,一、无轴投影图,27无轴投影图,68,H,V,O,X,B,A,a,b,a,b,O,X,a,a,b,b,H1,O1,X1,a
26、1,b1,O1,X1,a1,b1,不画出投影轴的正投影图就叫做无轴投影图。,一、无轴投影图,27无轴投影图,69,a,a,b,b,b0,a0 ,例题1：求直线AB的实长和倾角（无轴投影图） 。,27无轴投影图,70,a,a,b,b,步骤：,1.在ab右侧适当位置，画一条45辅助线；,2.求出a”；,a”,3.求出b”；,b”,4.连a”b”.,例题2：求直线AB的侧面投影（无轴投影图） 。,27无轴投影图,71,学习内容及学习重点,第八节 两直线的相对位置,28两直线的相对位置,学习内容： 平行的两直线 相交的两直线 交错的两直线 学习重点： 平行两直线的投影特性和判断方法 相交两直线的投影特
27、性和判断方法 交错两直线的投影特性和判断方法 重影点及其可见性的判断,72,两直线在空间所处的相对位置可分为三种：,平行,相交,交错,两直线的相对位置,28两直线的相对位置,73,一、平行的两直线,28两直线的相对位置,74,两直线在空间互相平行，则它们的同面投影也互相平行。,1、平行两直线的投影特性,28两直线的相对位置,75,（1）对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，就可断定它们在空间互相平行。,AB/CD,若两直线的各同面投影互相平行，则两直线在空间互相平行。,2、判断两直线是否平行,28两直线的相对位置,76,（2） 对于侧平线，必须画出它们的侧面投影，才可以断定它们在空间是
28、否平行。,AB与CD不平行。,O,X,YW,YH,Z,a,b,a,b,a”,b”,c,d,c,d,c”,d”,2、判断两直线是否平行,28两直线的相对位置,77,互相平行的两直线，如果垂直于某一投影面，则在该投影面上的投影积聚为两点，且反映它们在空间的真实距离。,a,b,a(b),c,d,c(d),H,A,B,C,D,a(b),c(d),一、平行的两直线,28两直线的相对位置,78,二、相交的两直线,k,k,k”,28两直线的相对位置,79,两直线在空间相交，则它们的同面投影也相交，而且各对同面投影的交点的连线必符合空间一点的投影特性。,1、相交两直线的投影特性,b,a,c,d,a,b,c,d
29、,a”,b”,c”,d”,k,k,k”,28两直线的相对位置,80,（1）对于一般位置直线，只要看任意两个同面投影，就可判别它们在空间是否相交。,AB与CD相交,若两直线的同面投影相交，且各同面投影的交点的连线符合空间一点的投影特性，则两直线在空间相交。,e,e,2、判断两直线是否相交,28两直线的相对位置,81,（2） 两直线中有一条是侧平线，需要画出它们的侧面投影，才可以断定它们在空间是否相交。,AB与CD不相交。,O,X,YW,YH,Z,a,b,a,b,a”,b”,c,d,c,d,c”,d”,2、判断两直线是否相交,28两直线的相对位置,82,a,a,当两相交直线同时平行于某一投影面时，
30、该相交直线的夹角在该投影面上的投影反映出夹角的真实大小。,a,b,a,c,c,H,A,B,C,b,a,c,b,a,二、相交的两直线,28两直线的相对位置,83,H,V,O,X,A,a,B,a,b,b,C,c,c,D,d,d,O,X,a,b,c,d,c,b,d,三、交错的两直线,28两直线的相对位置,84,交错两直线的各同面投影不可能都平行；可能相交，但各同面投影的交点的连线不符合空间一点的投影特性。,H,V,O,X,A,a,B,a,b,b,C,c,c,D,d,d,O,X,a,b,c,d,c,b,d,1、交错两直线的投影特性,28两直线的相对位置,85,（1）对于一般位置直线，只要看任意两个同面
31、投影，就可判别它们在空间是相交还是交错。,AB与CD相交,k,k,2、判断两直线是否交错,EF与MN交错,g,g,（2） 两直线中有一条是侧平线，需要画出它们的侧面投影，才可以断定它们在空间是否交错。,28两直线的相对位置,86,空间位于同一条投影线上的两个点，因为它们有一对同面投影相重合，叫做重影点。,H,V,O,X,A,a,B,a,b,b,C,c,c,D,d,d,O,X,a,b,c,d,c,b,d,a,1(2),1,2,1(2),3(4),3,4,3(4),H面重影点可见性：上挡下,V面重影点可见性：前挡后,3、重影点,28两直线的相对位置,87,小结,1,平行的两直线,投影特性：两直线在
32、空间互相平行，则它们的同面投影也互相平行。,判断方法：若两直线的各同面投影互相平行，则两直线在空间互相平行。,（1）对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，就可断定它们在空间互相平行。,（2） 对于侧平线，必须画出它们的侧面投影，才可以断定它们在空间是否平行。,28两直线的相对位置,88,小结,2,相交的两直线,投影特性：两直线在空间相交，则它们的同面投影也相交，而且各对同面投影的交点的连线必符合空间一点的投影特性。,判断方法：若两直线的同面投影相交，且各同面投影的交点的连线符合空间一点的投影特性，则两直线在空间相交。,（1）对于一般位置直线，只要看任意两个同面投影，就可判别它们在空间是
33、否相交。,（2） 两直线中有一条是侧平线，需要画出它们的侧面投影，才可以断定它们在空间是否相交。,28两直线的相对位置,89,小结,3,交错的两直线,投影特性：交错两直线的各同面投影不可能都平行；可能相交，但各同面投影的交点的连线不符合空间一点的投影特性。,判断方法：,（1）对于一般位置直线，只要看任意两个同面投影，就可判别它们在空间是相交还是交错。,（2） 两直线中有一条是侧平线，需要画出它们的侧面投影，才可以断定它们在空间是否交错。,28两直线的相对位置,90,小结,4,重影点,空间位于同一条投影线上的两个点，因为它们有一对同面投影相重合，叫做重影点。,重影点可见性的判断：,H面重影点可见
34、性：上挡下,V面重影点可见性：前挡后,W面重影点可见性：左挡右,28两直线的相对位置,91,学习内容及学习重点,第九节 直角的投影,29直角的投影,学习内容： 直角投影特性 判断两直线是否垂直 学习重点： 直角投影特性 判断两直线是否垂直,92,两直线（相交或交错）之间的夹角，可以是锐角、钝角或直角。,要使一个角不变形地投射在某一投影面上，必须使此角的两边都平行于该投影面。,对于直角，只要有一边平行于某一投影面，则此直角在该投影面上的投影仍是直角。,直角投影特性,一、直角投影特性,29直角的投影,93,H,A,B,C,b,a,c,90,直角有一边平行于某一投影面，则此直角在该投影面上的投影仍是
35、直角。,90,证明：,已知：ABH ABBC,因ABBC，AB Bb,所以ABBCcb平面,因AB ab,所以ab BCcb平面,所以ab bc 即abc=90,注意：H面投影互相垂直，V面投影不垂直。,90,一、直角投影特性,29直角的投影,94,两条互相垂直的直线，如果其中有一条是水平线，那么它们的水平投影必互相垂直。,上述结论既适用于互相垂直的相交两直线，又适用于互相垂直的交错两直线。,两条互相垂直的直线，如果其中有一条是正平线，那么它们的正面投影必互相垂直。,两条互相垂直的直线，如果其中有一条是侧平线，那么它们的侧面投影必互相垂直。,一、直角投影特性,29直角的投影,95,若两直线中的
36、一条是某投影面的平行线，且它们在该投影面上的投影互相垂直，则两直线垂直。,a,b,c,a,b,c,e,f,m,e,f,m,n,n,ABCD,EFMN,相交垂直,交错垂直,二、判断两直线是否垂直,29直角的投影,96,若两直线中的一条是某投影面的平行线，且它们在该投影面上的投影互相垂直，则两直线垂直。,a,b,c,a,b,c,e,f,m,e,f,m,n,n,ABCD,EFMN,相交垂直,交错垂直,二、判断两直线是否垂直,29直角的投影,97,(b),分析：,过点向直线作垂线，点到垂足的距离就是点到直线的距离。由于CD是铅垂线，所以过A作CD的垂线AB一定是水平线，其水平投影反映实长。,a,c,d
37、,a,c(d),b,例题1：确定点A到铅垂线CD的距离。,29直角的投影,98,分析：,因为CDV,作ABCD,根据直角投影特性，即作ab cd。,c,a,d,c,d,a,步骤：,1.过a作ab cd，与cd交于b;,b,2.求b;,b,3.连接ab;,4.用直角三角形法求AB的实长，即为所求距离.,b0,例题2：确定点A到正平线CD的距离。,29直角的投影,99,分析：,因为CD H ，所以CD的垂线都平行与H面（水平线），根据直角投影特性，可知所作水平线的水平投影必垂直于ab。,a,c,d,a,c(d),步骤：,1.确定直线与CD的交点M的水平投影m;,b,2.过m作mk与ab垂直，并交于k;,b,3.求k;,4.过k作km垂直于cd,KM即为所求.,(m),k,k,m,例题3：作一直线与AB和CD相交，并与它们垂直。,29直角的投影,100,小结,1,直角投影特性,直角有一边平行于某一投影面，则此直角在该投影面上的投影仍是直角。,若两直线中的一条是某投影面的平行线，且它们在该投影面上的投影互相垂直，则两直线垂直。,上述结论既适用于互相垂直的相交两直线，又适用于互相垂直的交错两直线。,2,判断两直线是否垂直,29直角的投影,第二章结束,
