1、第三章 对偶理论及灵敏度分析,3.1.1 线性规划对偶问题3.1.2 对偶问题的基本性质3.1.3 影子价格3.1.4 对偶单纯形法3.2.1 灵敏度问题及其图解法3.2.2 灵敏度分析3.2.3* 参数线性规划,返回,继续,3.1.1 线性规划的对偶问题,1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法(Dual Simplex Method)。 单纯形法是从原始问题的一个基可行解通过迭代转到另一个基可行解，直到检验数满足最优性条件为止。 对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。,实例：某家电厂利用现有资源生产两种产品， 有关数据如下表：,一、对偶问题的提出,
2、如何安排生产，使获利最多？,厂家,设 产量 产量,若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机器用于接受外加工，只收加工费，那么3种设备的机时如何定价才是最佳决策？,设：设备A 元时 设备B 元时 调试工序 元时,收购,出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。,付出的代价最小，且对方能接受。,厂家,厂家能接受的条件：收购方的意愿：,出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。,厂家,对偶问题,原问题,收购,厂家,一对对偶问题,3个约束2个变量,2个约束 3个变量,一般规律,特点： 1 2限定向量b 价值向量C （资源向量） 3一个约束 一个变量。 4 的LP约束“ ” 的 LP是“ ”
3、的约束。 5变量都是非负限制。,其它形式的对偶?,二、原问题与对偶问题的数学模型,1对称形式的对偶 当原问题对偶问题只含有不等式约束时，称为对称形式的对偶。,情形一：,例1 写出线性规划问题的对偶问题,解：首先将原问题变形为对称形式,再写出对偶式,原问题,对偶问题,化为标准对称型,情形二：,证明,对偶,2、 非对称形式的对偶 若原问题的约束条件是等式，则,原问题,对偶问题,推导:,原问题,根据对称形式的对偶模型,可直接写出上述问题的对偶问题:,令 ，得对偶问题为：,证毕。,三、原问题与对偶问题的对应关系,例2:,对偶问题为,练习1 写出下列线性规划问题的对偶问题.,解：原问题的对偶问题为,mi
4、n z= 2x1+4x2-x3s.t. 3x1- x2+2x3 6 -x1+2x2-3x3 12 2x1+x2+2x3 8 x1+3x2-x3 15,max w=6y1+12y2+8y3+15y4s.t. 3y1- y2+2y3+ y4 2 -y1+2y2+ y3+3y4 4 2y1- 3y2+2y3- y4 -1 y1 0, y2 , y3 0, y4,=,Free,0,=,x10,x20,x3: Free,原始问题变量的个数(3)等于对偶问题约束条件的个数(3)；原始问题约束条件的个数(4)等于对偶问题变量的个数(4)。原始问题变量的性质影响对偶问题约束条件的性质。原始问题约束条件的性质影
5、响对偶问题变量的性质。,写对偶问题的练习2,练习3,原始问题,max z=2x1-x2+3x3-2x4s.t. x1 +3x2 - 2x3 + x412 -2x1 + x2 -3x48 3x1 - 4x2 +5x3 - x4 = 15 x10, x2:Free, x30, x40,min w=12y1+8y2+15y3s.t. y1 2y2 + 3y32 3y1 + y2 4y3=-1 -2y1 +5y33 y1 3y2 - y3-2 y10,y20, y3:Free,对偶问题,返回,继续,3.1.2 对偶问题的基本性质,引例 对称性 弱对偶性 最优性 对偶性（强对偶性） 互补松弛性,对偶问题
6、,原问题,收购,厂家,引例,原问题化为极小问题，最终单纯形表：,对偶问题用两阶段法求解的最终的单纯形表,化为极小问题,原问题最优解,对偶问题最优解,原问题化为极小问题，最终单纯形表：,两个问题作一比较:1.两者的最优值相同2.变量的解在两个单纯形表中互相包含,对偶问题最优解（决策变量）,原问题最优解（决策变量）,从引例中可见： 原问题与对偶问题在某种意义上来说，实质上是一样的，因为第二个问题仅仅在第一个问题的另一种表达而已。,理论证明：原问题与对偶问题解的关系,对偶问题的基本性质,一、对称定理： 定理： 对偶问题的对偶是原问题。,设原问题（1） 对偶问题（2）,二、弱对偶性定理： 若 和 分别
7、是原问题（1）及对偶问题（2）的可行解，则有,证明：,对偶问题的基本性质,从弱对偶性可得到以下重要结论：,（1）极大化问题（原问题）的任一可行解所对应的目标函数值是对偶问题最优目标函数值的下界。（2）极小化问题（对偶问题）的任一可行解所对应的目标函数值是原问题最优目标函数值的上界。（3）若原问题可行，但其目标函数值无界，则对偶问题无可行解。,（4）若对偶问题可行，但其目标函数值无界，则原问题无可行解。（5）若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则原问题目标函数值无界。（6）对偶问题有可行解而其原问题无可行解，则对偶问题的目标函数值无界。,原问题,对偶问题,三、最优性定理： 若 和 分别是（1）
8、和（2）的可行解，且有 则 分别是（1）和（2）的最优解 。,则 为（1）的最优解，反过来可知： 也是（2）的最优解。,证明：因为（1）的任一可行解 均满足,对偶问题的基本性质,四、对偶定理（强对偶性）： 若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。,对偶问题的基本性质,五、互补松弛性： 若 分别是原问题（1）与对偶问题（2）的可行解， 分别为（1）、（2）的松弛变量，则：即：,为最优解,原问题第i条约束,A的第i行,说明：在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对
9、偶变量一定为零。,另一方面：,对偶问题的第j条约束,互补松弛定理应用：（1）从已知的最优对偶解，求原问题最优解，反之亦然。（2）证实原问题可行解是否为最优解。（3）从不同假设来进行试算，从而研究原始、对偶问题最优解的一般性质。（4）非线性的方面的应用。,以上性质同样适用于非对称形式。,返回,继续,3.1.3 影子价格,单纯形法计算时，总选取 I 为初始基，对应基变量为 Xs。假设迭代若干步后，基变量变为XB，在初始单纯形表中对应的系数矩阵为B。B将在初始单纯形表中单独列出，而A中去掉若干列后剩下的列组成矩阵N，这样初始单纯形表可列成如下形式。,当迭代若干步后，基变量为XB时，则该步的单纯形表中
10、由XB系数组成的矩阵为I。又因单纯形法的迭代是对约束增广矩阵进行的行初等变换，对应XS的系数矩阵在新表中应为B-1。故当基变量为XB时，新的单纯形表具有如下形式。,检验数,若它是原问题的最优解,则CB B-1为对偶问题的最优解,返回,继续,在单纯形法的每步迭代中，目标函数取值 和检验数 中都有乘子 那么Y 的经济意义是什么？,当线性规划原问题求得最优解时，其对偶问题也得到最优解 ，且代入各自的目标函数后有：,是线性规划原问题约束条件的右端项，它代表第 种资源的拥有量；,（3）,对偶变量 的意义代表在资源最优利用条件下对单位第 种资源的估价，这种估价不是资源的市场价格，而是根据资源在生产中作出的
11、贡献而作的估价，为区别起见，称为影子价格（shadow price)。,影子价格的定义,1资源的市场价格是已知数，相对比较稳定，而它的影子价格则有赖于资源的利用情况，是未知数。由于企业生产任务、产品结构等情况发生变化，资源的影子价格也随之改变。,影子价格的经济意义,影子价格的经济意义,2影子价格是一种边际价格。 在（3）式中， . 说明 的值相当于在资源得到最优利用的生产条件下， 每增加一个单位时目标函数 的增量。,几何解释：引例图解法分析。,影子价格的经济意义,3资源的影子价格实际上又是一种机会成本. 在纯市场经济条件下, 当第2种资源的市场价格低于1/4时(对偶问题的最优解：y1=0, y
12、2=1/4, y3=1/2)，可以买进这种资源；相反当市场价格高于影子价格时，就会卖出这种资源。随着资源的买进卖出，它的影子价格也将随之发生变化，一直到影子价格与市场价格保持同等水平时，才处于平衡状态。 即影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺；影子价格越小，说明这种资源越充裕。,4在对偶问题的互补松弛性质中有 这表明生产过程中如果某种资源 未得到充分利用时，该种资源的影子价格为零；又当资源的影子价格不为零时，表明该种资源在生产中已耗费完毕。,5从影子价格的含义上考察单纯形表的检验数的经济意义,（4）,可见，当产品产值隐含成本（因j0, xj要变为基变量），生产该项产品有利，可生产该产品；否则
13、 ，用这些资源生产别的产品更有利，不在生产中安排该产品。检验数的经济意义,影子价格的经济意义,6一般说对线性规划问题的求解是确定资源的最优分配方案，而对于对偶问题的求解则是确定对资源的恰当估价，这种估价直接涉及到资源的最有效利用。,经济学研究如何管理自己的稀缺资源,3.1.4 对偶单纯形法,返回,继续,对偶单纯形法是求解线性规划原问题的另一个基本方法。它是根据对偶原理和单纯形法原理而设计出来的，因此称为对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶问题的单纯形法。 原来, 求解单纯形法的基本思路是： 对原问题的一个基可行解，判别是否所有检验数cj-zj 0 (j=1,n)。若是，又基变量中无非零人工变
14、量，即找到了问题最优解；若为否，再找出相邻的目标函数值更大的基可行解，并继续判别，只要最优解存在，就一直循环进行到找出最优解为止。,对偶单纯形法的基本思路,单纯形法的基本思路：原问题基可行解 最优解判断,对偶问题的可行解,对偶问题最优解判断,对偶单纯形法基本思路,一、基本思路,原单纯型迭代要求每步都是基可行解达到最优解时，检验数 cjzj 0 (max) 或 cjzj 0 (min). 但对于(min, )型所加的剩余变量无法构成初始基础可行解，因此通过加人工变量来解决. 此时, 使用的大M法和二阶段法较繁. 能否从剩余变量构成的初始基非可行解出发迭代，但保证检验数满足最优条件， cjzj 0
15、 (max) 或 cjzj 0 (min) 每步迭代保持检验数满足最优条件，但减少非可行度.,54,找出一个DP的可行基,LP是否可行（XB 0）,保持DP为可行解情况下转移到LP的另一个基本解,最优解,是,否,循环,结束,找出一个对偶问题的可行基，保持对偶问题为可行解的条件下，判断XB是否可行（XB为非负），若否，通过变换基解，直到找到原问题基可行解（即XB为非负），这时原问题与对偶问题同时达到可行解，由对偶定理可得最优解。,二、迭代步骤,1.确定出变量 找非可行解中最小者，即 min bi | bi0，设第 i*行的最小，则i*行称为主行，该行对应的基变量为出变量，xi*2.确定入变量 最
16、大比例原则,设 j* 列满足上式， j* 列称为主列，xj* 为入变量3. 以主元 ai*j* 为中心迭代4. 检查当前基础解是否为可行解, 也即XB是否为非负 若是，则当前解即为最优解 否则，返回 步骤 1,例3.5 用对偶单纯形法求解下述线性规划问题,三、举例说明对偶单纯形法的计算步骤,解: 现将问题增加剩余变量化为标准型：,约束条件两端乘“1”, 出现对偶问题的初始基.,列出单纯形表，并用对偶单纯形法求解步骤进行计算,例3.6 用对偶单纯形法求解,（P）,1 - 4/3 - -,-1 0 -5/2 1/2 1 -1/2 2 1 -1/2 3/2 0 -1/2 0 -4 -1 0 -1,-
17、 8/5 - - 2,2/5 0 1 -1/5 -2/5 1/5 11/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5 0 0 -3/5 -8/5 -1/5, , ,对偶单纯形法的优点：不需要人工变量；当变量多于约束时，用对偶单纯形法可减少迭代次数；在灵敏度分析中，有时需要用对偶单纯形法处理简化。对偶单纯形法缺点：在初始单纯形表中对偶问题是基可行解，这点对多数线性规划问题很难做到。因此，对偶单纯形法一般不单独使用。,课堂作业：用对偶单纯型法求解,解：化原问题为适合对偶解法的标准型,答：最优解为x1=14, x3=8, x2=x4=0, OBJ=14,对偶单纯型法的单纯型表(min),3.2.1 灵敏度
18、问题及其图解法,灵敏度问题灵敏度分析图解法,灵敏度问题,背景： 线性规划问题中 都是常数，但这些系数是估计值和预测值。 市场的变化 值变化； 工艺的变化 值变化； 资源的变化 值变化。,问题：当这些系数中的一个或多个发生变化时，原最优解会怎样变化？当这些系数在什么范围内变化时，原最优解仍保持不变？若最优解发生变化，如何用最简单的方法找到现行的最优解？,研究方法：图解法对偶理论分析,仅适用于含2个变量的线性规划问题,在单纯形表中进行分析,线性规划模型,灵敏度分析图解法,x2,18 16 14 12 10 8 6 4 2 0,|24681012141618,x1,4x1 + 6x2 48,2x1
19、+ 2x2 18,2x1 + x2 16,A,B,C,D,E (8,0),(0,6.8),最优解 (3,6),4x1+ 6x2=48 2x1+ 2x2 =18,灵敏度分析图解法,灵敏度分析图解法,灵敏度分析图解法,若 c1增加（c2 不变）,新的最优解,灵敏度分析图解法,若 c1减少,新的最优解,+,18 16 14 12 10 8 6 4 2 0,|24681012141618,x1,4x1 + 6x2 48,2x1 + 2x2 18,2x1 + x2 16,A,B,C,D,E,(斜率 = - 1),(斜率 = - 2/3),灵敏度分析图解法,3.2.2 灵敏度分析,一、分析 的变化 二、分
20、析 的变化 三、增加一个变量 的分析 四、增加一个约束条件的分析 五、分析 的变化,研究内容： 研究线性规划中， 的变化对最优解的影响。,常用公式：,实例： 某家电厂家利用现有资源生产两种产品，有关数据如下表：,如何安排生产，使获利最多？,厂家,设 产量 产量,原问题最优解,对偶问题最优解（相差负号）,原问题的最终单纯形表：,一、分析 的变化,的变化仅影响 的变化。,1.5,2,问题1：当 该公司最优生产计划有何变化？,最终单纯形表,21,最终单纯形表,换基后单纯形表为,最优解,问题2：设产品II利润为 ，求原最优解不变时 的范围。,方法：,c2的变化仅影响j 的变化；在最后一张单纯形表中求出
21、变化的j ；原最优解不变，即j 0 ；由上述不等式可求出的范围,产品II利润为 时的最终单纯形表,二、分析 的变化,的变化仅影响 ，即原最优解的可行性可能会变化：,可行性不变，则原最优解不变。,可行性改变，则原最优解改变，用对偶单纯形法，找出最优解。,问题3：设备B的能力增加到32小时，原最优计划有何变化？b2=24 32,B-1,代入单纯形表中,可行性改变，用对偶单纯形法换基求解。,主元,新的最优解,换基迭代得：,问题4：设调试工序可用时间为 小时，求 ，原最优解保持不变。,原最优解保持不变，则,三、增加一个变量 的分析,增加一个变量相当于增加一种产品。分析步骤：1、计算2、计算3、若 ，原
22、最优解不变； 若 ，则按单纯形表继续迭代计算找出最优解。,问题5：设生产第三种产品，产量为 件，对应的（1）分析投产该活动是否有利？（2）如果投产，最优方案是什么？,解：,c6-CBB-1P6= c6-Y*P6,最优解为： x1 =7/2, x2 =0, x6 =3/4,四、 分析参数aij 的变化,aij 的变化使线性规划的约束系数矩阵A发生变化。若变量xj在最终单纯形表中为非基变量，其约束条件中系数aij的变化分析步骤可参照本节之三增加一个变量xj的分析 ；若变量 xj 在最终单纯形表中为基变量，则aij的变化将使相应的B和B-1发生变化，因此有可能出现原问题和对偶问题均为非可行解的情况。
23、出现这种情况时，需引进人工变量将原问题的解转化为可行解，再用单纯形法求解，下面举例说明。,例3.6中， x2在三个约束中系数变分别为8、4和 1，在目标函数中价值系数为3，试重新确定最优解。,=,上表中原问题与对偶问题均为非可行解，故先设法使原问题变为可行解。上表中第1行的约束可写为 ：,因x2已变换为x2，故用单纯形算法将x2替换出基变量中的x2 ,并在下一个表中不再保留x2 。,两端乘以（-1)，再加上人工变量，替换上表的第1行 ：,因对偶问题为非可行解，用单纯形法计算得 ：,上表中x1 、 x2列不是单位向量，故需进行初等变换,-15/2-1/23/2,-15/2-1/23/2,上表中对
24、偶问题为可行解，原问题为非可行解，故用对偶单纯形法迭代,添加新的约束条件后，原规划的最优解变为： x1=4， x2 =0,5/21/31/2,灵敏度分析的步骤归纳如下：,（1）将参数的改变计算反映到最终单纯形表上；（2）检查原问题是否仍为可行解；（3）检查对偶问题是否仍为可行解；（4）按下表所列情况得出结论和决定继续计算的步骤。,总之,练习：,某厂计划生产甲、乙、丙三种产品，这三种产品单位利润及生产产品所需材料、劳动力如下表：,单位产品 甲 乙 丙 可使用资源量劳动力 1/3 1/3 1/3 1 材料 1/3 4/3 7/3 3利润（元） 2 3 1,（1）确定最优的生产方案；（2）当 增大至
25、多少时，丙产品安排生产；（3）增加3个劳动力，最优解是否改变？（4）劳动力在哪个范围内变化，对利润值的改变有利；（5）增加新的产品丁，需1个劳动力，1个单位原料，利润3元。确定最优的生产方案。（6）添加新约束：最优解是否改变？,解：初始及最终单纯形表为,结束,3.2.3 参数线性规划,参数线性规划概念,当参数 cj 或 bi 沿某一方向连续变动时，目标函数值z将随 cj 或 bi 的变动而呈线性变动，z是这个变动参数的线性函数，因而称为参数线性规划。,模型,目标函数的系数含有参数的线性规划模型,约束条件右端的常数项含有参数的LP模型,参数线性规划问题的分析步骤：,（1）令 求解得最终单纯形表；
26、（2）将 或 项反映到最终单纯形表中去；（3）随 值的增大或减小，观察原问题或对偶 问题。（4）重复第（3）步，一直到 值继续增大或减小 时，表中的解（基）不再出现变化时为止。,确定现有解（基）允许的 的变动范围；,当 的变动超出这个范围时，用单纯形法或对偶单纯形法求新的解。,举例分析目标函数的系数含有参数的线性规划问题,分析 值变化时，下述参数线性规划问题最优解的变化。,先令 求得最优 解，然后将 反映在最终单纯形表中，见下表：,最优解保持不变的条件,当1时,当 时，换基得：,当 时，由原最终单纯形表,当 时，最终单纯形表,当 时，原最终单纯形表,当 时，最终单纯形表,目标函数值 随 值变化的情况,举例分析约束条件右端的常数项含 有参数的线性规划问题,分析 值变化时，下述参数线性规划问题最优解的变化。,先令=0求得最优解，然后将C*反映在最终单纯形表中，见下表：,最优基不变条件是 最优值为,当 时,最优基不变条件是 最优值为,先令=0求得最优解，然后将b*反映在最终单纯形表中，见下表：,当 时,当 时最优值为,当 时,当 时最优值 当 时， 所在元素均为正，故原问题无可行解,结束,
