1、 2.4. 对偶单纯形法 一 、 什麽是对偶单纯形法 ？ 对偶单纯形法 是应用 对偶原理 求解原始线性规划的一种方法 在原始问题的单纯形表格上进行 对偶处理 。 注意： 不是解对偶问题的单纯形法 ！ 二 、 对偶单纯形法的基本思想 1、 对 “ 单纯形法 ” 求解过程认识的提升 从更高的角度理解单纯形法 初始可行基 （ 对应一个初始基本可行解 ） 迭代 另一个可行基 （ 对应另一个基本可行解 ） ， 直至 所有检验数 0为止 。 所有检验数 0意味着 ， CANBCCBN 01说明 原始问题的最优基也是对偶问题的可行基 。 换言之 ， 当原始问题的基 B既是原始可行基又是对偶可行基时 ， B成
2、为最优基 。 定理 2-5 B是线性规划的最优基的充要条件是 ， B是可行基 ， 同时也是对偶可行基 。 单纯形法的求解过程就是： 在保持原始可行的前提下 (b列保持 0)， 通过逐步迭代实现对偶可行 (检验数行 0)。 2、 对偶单纯形法思想： 换个角度考虑 LP求解过程 ：保持 对偶可行的前提下 （ 检验数行保持 0） ， 通过逐步迭代 实现原始可行 （ b列 0， 从非可行解变成可行解 ） 。 三 、 对偶单纯形法的实施 1、 使用条件： 检验数全部 0； 解答列至少一个元素 0 基变换： 先确定换出变量 解答列中的负元素（ 一般选最小的负元素 ） 对应的基变量出基 ； 即 出基，则选
3、lliiixbBbBbB ,)(0)()(m i n 111 相应的行 为主元行 。 然后确定换入变量 原则 是：在 保持对偶可行的前提 下 ， 减少原始问题的不可行性 。 如果 0m i nlkkkljljjjj azcaazc (最小比值原则 ),则选 为换入变量 , 相应的列为 主元列 , 主元行和主元列交叉处的元素 为主元素 。 kxlka按主元素进行换基迭代 （ 旋转运算 、 枢运算 ） ， 将主元素变成 1， 主元列变成单位向量 ， 得到新的单纯形表 。 继续以上步骤 ， 直至求出最优解 。 对偶单纯形法举例 (例 1-1) 1 2 3231 2 31 2 315 24 562.
4、. 5 2 1, , 0M in w y y yyys t y y yy y y 例 1：用对偶单纯形法解下列线性规划 解 : 先将原问题化为标准形式 1 2 32 3 41 2 3 51 2 3 4 5m a x 15 24 562. . 5 2 1, , , , 0w y y yy y ys t y y y yy y y y y 再将标准形式改为下列形式： 1 2 32 3 41 2 3 51 2 3 4 5a x 15 24 562. . 5 2 1, , , , 0M w y y yy y ys t y y y yy y y y y 对偶单纯形法举例 (例 1-2) 则第一个基为 B1
5、=(P4,P5)=I 基变量为 y4,y5 第一个对偶可行基对应的单纯形表如下 XB b Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y4 Y5 -2 -1 0 -6 -1 1 0 -5 -2 -1 0 1 -w 0 -15 -24 -5 0 0 T(B1) Y2 Y5 -w 1/3 0 1 1/6 -1/6 0 -1/3 -5 0 -2/3 -1/3 1 8 -15 0 -1 -4 0 T(B2) 对偶单纯形法举例 (例 1-3) T(B2) Y2 Y5 -w 1/3 0 1 1/6 -1/6 0 -1/3 -5 0 -2/3 -1/3 1 8 -15 0 -1 -4 0 T(B3) 对偶单纯形法举例 (
6、例 1-4) XB b Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y2 Y3 -w -5/4 1 0 -1/4 1/4 15/2 0 1 1/2 -3/2 1/4 1/2 17/2 -15/2 0 0 -7/2 -3/2 最优解 Y*=(0,1/4,1/2,0,0)T 最优值 W*=-17/2 对偶单纯形法举例 (例 2-1) 0,36342322121212121yyyyyyyytsyywM i n例 2：用对偶单纯形法解下列线性规划 解 : 先将原问题化为下列形式 121 2 31 2 41 2 51 2 3 4 5in 2 324363, , , , 0M w y yy y yy y ysty y
7、yy y y y y 对偶单纯形法举例 (例 2-2) 则第一个基为 B1=(P3,P4,P5)=I 基变量为 y3,y4,y5 第一个对偶可行基对应的单纯形表如下 T(B1) Y3 Y4 w -4 -2 -1 1 0 0 -6 -1 -3 0 1 1 0 -2 -3 0 0 0 XB b Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y5 -3 -1 -1 0 0 1 对偶单纯形法举例 (例 2-3) T(B1) Y3 Y4 w -4 -2 -1 1 0 0 -6 -1 -3 0 1 1 0 -2 -3 0 0 0 XB b Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y5 -3 -1 -1 0 0 1 Y3 Y2 Y5
8、 w -2 -5/3 0 1 -1/3 -1/3 2 1/3 1 0 -1/3 -1/3 -1 -2/3 0 0 -1/3 2/3 6 -1 0 0 -1 -1 对偶单纯形法举例 (例 3-1) 5,4,3,2,10422213in52142132121jxxxxxxxxxxtsxxwMj例 3：用对偶单纯形法解下列线性规划 解 : 取 B1=(P3， P4， P5)=I 为对偶可行基 因此其对应的单纯形表如下 对偶单纯形法举例 (例 3-2) x3 x4 x5 -w -1 3 -1 1 0 0 -2 -1 1 0 1 0 4 2 2 0 0 1 0 -1 -1 0 0 0 x3 x4 x5
9、x1 x2 T(B1) x3 x1 x5 -w -7 0 2 1 3 0 2 1 -1 0 -1 0 0 0 4 0 2 1 2 0 -2 0 -1 0 T(B2) 由于基变量 X3所在行的变量系数全大于等于 0， 则原问题无可行解 对偶单纯形法适用范围 对偶单纯形法的适用范围： 对偶单纯形法适合于解如下形式的线性规划问题 njxmibxacxcfjnjijijnjjjj,2,1,0,2,10m i n11是 是 是 是 否 否 否 否 得到 最优解 典式对应原规划的基本解是可行的 典式对应原规划的基本解的检验数 以为中心元素进行迭代 以为中心元素进行迭代 停 没有最优解 没有可行解 单纯形法 对偶单纯形法 所有 0j 所有 0ib计算 0m a x jjk 计算 0m in iie bbb所有 0ika所有 0lja计算 ekeikikiabaab 0m in计算
