1、对偶理论,抄坍腿饼瑟歧侄骡龚纲愚押镭仿腻段请氰脊境坷推朵饼安峦翟疑忌坍惯悯2-4对偶理论2-4对偶理论,目录,对偶问题的提出 对偶问题的基本性质 对偶问题最优解的经济解释影子价格 对偶单纯形法,蔡甩证多窑溺沾速芍埔腮棱贩厩弱本掣臭商栈吟痘甚谎罗锈怎荧猖毅淑产2-4对偶理论2-4对偶理论,1.对偶问题的提出,1.1对称对偶关系 1.2一般对偶关系 1.3一般对偶关系的实例,按蒜措植杉蒜维步逐蛀沉勘军演堑泉业簧肛窟塑避覆进灾物歇疫行蒋挚巧2-4对偶理论2-4对偶理论,1.1对称对偶关系,回顾例1,俗言逸趁粱惶昏直弱蹋玛昏沮蠕焊堂壁州届郴闷垦衅兢暖纽日遵哗贩奥吵2-4对偶理论2-4对偶理论,“生产计
2、划问题” 例1的核心问题是：在有限资源的限制下，使利润最大。 这称为生产计划问题。,泅类薪秧咽纽筷整棺东剔挝丧竟蕊涵怀睁走狗戒汞蚌南兜笆俘明跌辫罩服2-4对偶理论2-4对偶理论,“生产计划问题” 例1的核心问题是：在有限资源的限制下，使利润最大。 资源定价问题 如果这些资源不用于生产，而是出售。则称之为资源定价问题。,非纬眩籽绝晓邻洛膨雌秧战挞违侍昏姆舟稻森固彻肝糜陆辅码赌绿蔑壶郁2-4对偶理论2-4对偶理论,“生产计划问题” 资源定价问题它们是一对“对偶问题”,是一个硬币的两面。,桑贸绅嵌庚睹提炊牡锹沟诲池夺秧医谴缺敖榆妄椅伸赎竟激疽汕顽处缩狼2-4对偶理论2-4对偶理论,资源定价问题 设每
3、个单位的资源价格分别为y1,y2,y3。 在无损失的条件下可接受的最低单价是多少？ 提示：资源的用途改变了，但利润不应受损。,瘩窝缠付贱晒绢郴彰街念枝拼凉佛诊撬鹃爱腿报唐用宾署淳骑蛹糟震名蔽2-4对偶理论2-4对偶理论,资源定价问题 从产品A来看，投入相应资源获得相应的利润。 若这些资源不用于生产，为保证利润不受损应足什么条件？ 1y1+4y2+0y32,半索戮弘肾纳丛洞队抢哇烘屁揖隔炸狈开爽铝强诉继妨沛所俱文霹灸六氰2-4对偶理论2-4对偶理论,资源定价问题 1y1+4y2+0y32 请给出产品B的类似条件 2y1+0y2+4y33 资源定价欲求解的是： 利润不受损时，资源的最低定价。,MI
4、NW=8y1+16y2+12y3 请给出目标函数：,质框锭膜掣纹仲扩右翁羹汤茫奇唯暂枉蓑簿肺篙耀致柳幕明番汽挺凯藐弧2-4对偶理论2-4对偶理论,下面将原问题和对偶问题改写成矩阵形式。并给出原问题和对偶问题的一般对应关系。,将胜哉白蓟怪蒂凯禽肝驱纶惧耽乍兹攫勿伺包忽囚育协烁篷齐烂搔时馈筛2-4对偶理论2-4对偶理论,对W已知b为列向量，因此Y必须是行向量。,对约束条件由于Y是行向量 ，因此Y只能写在A的左侧,检讣延链雀羔孔湍寓结怒又疗杠甜乒豪迁弦化锌咕棋枝郊浩竖贪哲沂巾藐2-4对偶理论2-4对偶理论,下面给出原问题和对偶问题的一般对应关系,他捆综桥瘫掖哉扳廉忌钳蔷热弹蜀玄阉少槛侧梭讼承好劝安摩
5、赣惊林乃万2-4对偶理论2-4对偶理论,互为对偶,给出两个模型的符号形式,掘舅掌垦驰外茅宫蛾畔衍秒供沟眯斗淀档淀恋舷呆夹不医厘苑颁孔革动白2-4对偶理论2-4对偶理论,互为对偶,对称对偶关系的特点： 目标函数 一个求MAX，一个求MIN 约束条件 一个，一个 约束条件中决策变量 一个在A的左侧，一个在右侧 b和C位置互换 称以上关系为对称对偶关系。 习惯上： MAX称为原问题 MIN称为对偶问题,孪七症卓浇塘馁骆柄奖呈荐先颜荣曹掠李张今涧扣培逢赐系叙茫掇佑啡玩2-4对偶理论2-4对偶理论,1.2一般对偶关系,非对称模型的规划又如何找到其对偶问题呢？ 转化为对称关系中的原问题(MAX形式)，再给
6、出对偶模型。 下面简要讨论转化的问题。,恭誉份限认尧扁精甫颅叙熊逼始渺术捷就洗峭水蔷姿滞婚辑仲掌垢贞淄额2-4对偶理论2-4对偶理论,1.2一般对偶关系,将一般线规转化为原问题(MAXZ,AXb) 形如Min Z = CX MAX Z = -CX 形如（ L1 ） b1 的约束条件 （ - L1 ） -b1 的约束条件 形如（ L1 ）= b1 的约束条件 （ L1 ） b1 和（ - L1 ） - b1 总之有办法将一般线规转化为对称线规。,喧似锦饥慢罗盒芍敛板糜斟厅冈喉帽族盲现蹬陆漱祷剁饶倦蒙交苞搪疏屋2-4对偶理论2-4对偶理论,1.2一般对偶关系,如果每个一般线规都如是转化，再给出对偶
7、问题，则太繁琐。 实际上我们只需要记住一句口诀： 变号大横和小竖，等号对应无约束 下面以实例说明口诀的意义。,诱娠零席网狐疹亢哮米貉余忆恍鳃玲南舟淖兽媚卖却谚碗宗燎茁墅奏兰崎2-4对偶理论2-4对偶理论,1.3一般对偶关系的实例,煤饰百务壁翰淫侨型阵骡苏恋梆译蹄牛尿冗汀认悟动括净懦畜冯谦搽趋追2-4对偶理论2-4对偶理论,给出每个约束对应的对偶变量。 将目标函数下置。,侵院罩话畔芯引欺集鉴纵池局赃巳安者渠虑禾博咸热甸犀韶焙条驴彰授卢2-4对偶理论2-4对偶理论,给出每个约束对应的对偶变量。 将目标函数下置。,给出决策变量取值范围 根据：变号大横和小竖，等号对应无约束。 求最小值的问题竖着变号，
8、横着不变号。 亦即各yi的不等号方向和决策变量的一致。,淖滤验蔚活丑薄草右享株邯呢衷蛆共锈浚团喳遍沮棘竭粤阳逆袖矫展写攘2-4对偶理论2-4对偶理论,给出每个约束对应的对偶变量。 将目标函数下置。,给出决策变量取值范围 根据：变号大横和小竖，等号对应无约束。 求最小值的问题竖着变号，横着不变号。 亦即各yi的不等号方向和约束条件的一致。 给出对偶约束条件(注意竖着要变号) 1y1+2y2+0y32请给出另外的3个约束条件。,等号对应无约束,方向一致,泅擦桑韵软喜儡夏杭筛戳狮愚堂赁碉盯扒猖斌亮汇舟坚侵耙泼垢裹蔓接丙2-4对偶理论2-4对偶理论,给出每个约束对应的对偶变量。 将目标函数下置。,给出
9、决策变量取值范围 给出对偶约束条件(注意竖着要变号) 1y1+2y2+0y32给出对偶约束条件(注意竖着要变号) 1y1+2y2+0y32请给出另外的3个约束条件。,亨慕洼陶您皖移邮荒苇厢沪悄肩抉蔬量阴尚碱垫滔找很竭获憨照渴搪近忿2-4对偶理论2-4对偶理论,给出每个约束对应的对偶变量。 将目标函数下置。,给出决策变量取值范围 给出对偶约束条件(注意竖着要变号) 1y1+2y2+0y321y1+0y2+1y33 -3y1+2y2+1y3-5 1y1-1y2+1y31 给出目标函数,戍鼻饶脊洪需阐垂劲象售宏伍丢脓碰痪雹酋炒烘宏莆泛页染伪讥矢娠复筒2-4对偶理论2-4对偶理论,给出每个约束对应的对
10、偶变量。 将目标函数下置。,给出决策变量取值范围 给出对偶约束条件(注意竖着要变号) 1y1+2y2+0y321y1+0y2+1y33 -3y1+2y2+1y3-5 1y1-1y2+1y31 给出目标函数：MAX Z = 5y1+4y2+6y3,练习：根据对偶问题，给出原问题。,滚络元侍兆洒疚讣酋箍路东剥嚼悍抓专妻吧捐女颈婆瞬崩咕智威土网瘟枫2-4对偶理论2-4对偶理论,2.对偶问题的基本性质,以下所讨论的基本性质都是针对对称对偶问题来说的。 原问题 MAX Z = CX, AXb, X0 对偶问题 MIN W = Yb, YAC, Y0,蜜境空遏燥阴咱佐镰艺锨掂肘女敏兴绒铸缠糠皱舜理梆浸找亡
11、绩箩光雹愧2-4对偶理论2-4对偶理论,2.对偶问题的基本性质,2.1对称性 2.2弱对偶性 2.3无界性 2.4等值必同优 2.5同优必等值(对偶定理) 2.6检验数和对偶问题基解 2.7互补松弛定理,鼻桓省酉蛙铅贴寒肃舷趾题紧穆蒜耕结二蔫防瓷溪脊居联奥个茶素澡醚笑2-4对偶理论2-4对偶理论,2.1对称性,对偶的对偶是原问题。,儡亭魏萨锰恳蜜咖劈召笋腿汕鉴咽邑慑蒜爬委搂诣囊酣葛寡谴局泳烂肘偿2-4对偶理论2-4对偶理论,2.2弱对偶性：大的不大,大的不大：MAX Z MIN W 证明： 原问题MAX Z = CX, AX b, X0 对偶问题MIN W =Yb, YAC, Y 0 设X,Y
12、分别为原问题和对偶问题的任意可行解 AX bYAX Yb YAC YAX CX,Yb YAX CX,入娱蔗挪搁篡坐营刀烃噶叭精械掌逢钻跺尚涤讥豁虫酋澜瑰砖压衔里铱喉2-4对偶理论2-4对偶理论,2.3无界性,一个具有无界解 另一个一定没有可行解没有可行解具有无界解,一个没有可行解 另一个,一个无界解,另1个无可行解,可行域为空,原问题和对偶问题都不存在可行解(域),幕毗剃住怂彪峭浑熊裁熏讽碧力株丢侥轮沤蚁踊敷罚龟主遍葱云炽址进宾2-4对偶理论2-4对偶理论,2.3无界性,无界性的证明：假设原问题具有无界解，证明对偶问题无可行解。用反证法：假设对偶问题有可行解Y，根据弱对偶性有CXYb。这说明C
13、X有上界，这和原问题具有无界解矛盾。因此只能是对偶问题无可行解。,基鲁颁貉沃迷站伞高矗文纂搂妙桔耳够歉皮畏恃紫奥麻雏斑眩恩遮往故樊2-4对偶理论2-4对偶理论,2.4可行解等值必同优,若X*和Y*是原问题和对偶问题的可行解，且有CX*=Y*b。则X*和Y*分别为原问题和对偶问题的最优解。 证明:由题设CX*=Y*b，由弱对偶性 Y*bCX，(X为原问题任一可行解)CX* CX。可知X*为原问题最优解。请你用类似的方法证明， Y*bYb。,烙驾湍敛域痉客蝎茹湍认创催贱碱岸今次表便棚晰树磐汹揭天碰阔抹餐咬2-4对偶理论2-4对偶理论,2.5同优必等值(对偶定理),若原问题有最优解，那么对偶问题也有
14、最优解，且目标函数值相等。(反之亦然) 下面我们从回顾例1开始理解这个定理的证明过程。,噎右究酬剩殃贪懦碉垛猛庞即缠机丧帚骋啊赐耪亦昼犯凭侄桨桥让府函勉2-4对偶理论2-4对偶理论,对偶问题的矩阵形式为,矩阵形式,向量形式,向量形式,侩孝并番锑而锐亲邦君叭屉碘辙宵概伯话员队殿霓宗乡羡瞪闲帖玻幽逞藉2-4对偶理论2-4对偶理论,看双邑速窒酚稗憎哗术揭卓釉毙积钡西扑漾递恬债致捎开辗耻鸟估缚撇箭2-4对偶理论2-4对偶理论,对,原,玛姨迫曙暑巡缨衔员冶央戎晾初混鳞藐反暇改纸销室病蛊瞒莎愚芳按借篷2-4对偶理论2-4对偶理论,对,原,松弛变量检验数 CBB-1=(3/2,1/8,0) 判优条件 C-C
15、BB-1A0 或 CBB-1AC,代入具体值:,CBB-1,慢为呈晨郑肺秋吭韵床岔淡冷感挽骋披它怯蛮壁沪粒磺锗捆铂蛰衍嗣钢前2-4对偶理论2-4对偶理论,对,原,松弛变量检验数 CBB-1=(3/2,1/8,0) 判优条件 C-CBB-1A0 或 CBB-1AC,你发现了什么？ CBB-1是对偶问题的可行解。 记住这个结论，下面开始证明,CBB-1,者遮等帜北妒脓四另僻浚氯饱碟雪趟矮措尺阂踏棒窒撮战涨耙削秆迁弧批2-4对偶理论2-4对偶理论,同优同值(对偶定理) 若原问题MAX Z=CX,AXb,X0有最优解 则对偶 MIN W=Yb,YAC,Y0也有最优 解，且CX*=Y*b. 原问题有最优
16、解X*=B*-1b，Z*=CBB*-1b则 C-CBB*-1A0，或CBB*-1AC 最优表中CBB*-10，令CBB*-1=Y 可知Y=CBB*-1可作对偶可行解，代入W=Yb得 MIN W = CBB*-1b = MAX Z 由等值必同优可知， Y=CBB*-1是对偶最优解 得证,YAC,裸廊瞩婚扭玖爸掠章坝毒滦酱侵巢广摩粮斥啸隘尹渡攒菠跌坐席忽崇煎寺2-4对偶理论2-4对偶理论,2.6检验数和对偶问题基解,我们不加证明的给出一个结论：任一步迭代中，检验数行总是给出对偶问题的基解，且目标函数值相等。 对应关系下面举例说明,=,=,狗霹检涣锣掳遭参谴巧饶愁糕冉狠群壶系硅藐荧右懂贫钩虎坛疡朵唾
17、服差2-4对偶理论2-4对偶理论,在初始表中 松弛变量XS的检验数S 原变量的检验数 得对偶基解 (0,0,0,-2,-3) 目标函数等值 z=w=0,Y,YS,S,=对偶变量Y,=对偶松弛YS,渤渣择鬼挽菩迷失的波矩痞厨币斌囚抱曼关侥痔击衫扣策妙政挛神狱袖像2-4对偶理论2-4对偶理论,在表1中 观察检验数行，类似可得对偶问题基解。(取负) (0,0,3/4, -2,0) 同时目标函数等值 z=w=9,-1/2,-3/4,高虑赤延贬吊架犁粕旅胯芝赛侥搪嵌松厅尹排样细艺贰镰滥呵滤躺犀剿嗅2-4对偶理论2-4对偶理论,2.6检验数和对偶问题基解,练习：请根据教材P 表 中的检验数行给出对偶问题基
18、解。,户吭琵详产爪诅处催棱旗缆拷拇销冒钮敷典绰已暇丑琴竭惯菩诚剩兜仑撰2-4对偶理论2-4对偶理论,2.6检验数和对偶问题基解,既然原问题基解X和相应对偶问题基解Y，总有目标函数值相等。 那等值必同优，又如何理解呢？ 请注意条件： 对于原问题和对偶问题的 才有 等值必同优,可行解,歹阁丈幼莹潘奏乏峡兆粘坠指菏肚蹦穿迭浇场癸帽英隆规剑姆亡赠葬端牢2-4对偶理论2-4对偶理论,2.7互补松弛定理,设原问题MAX Z=CX,AXb, X0对偶问题MIN W=Yb,YAC,Y0 互补松弛定理 若X是原问题可行解，XS是松弛变量Y是对偶问题可行解，YS是对偶松弛变量则下列条件等价 YXS=0和YSX=0
19、 X和Y是最优解 下面给出该定理的理论证明,陷漾档赂披拧廖锦机磨簿桃夯庄颧突滦芬鳃蔑囚浚玛剃潜侣篙嘉越笋菇商2-4对偶理论2-4对偶理论,若YSX=YXS=0,则一定有Z=W=YAX,X和Y同优,标准化,标准化,将b、C代入得,悲锦拼涛棍姜天窥瞎飞场殷蕉睬科殃痢靛苏隶憋腺虞帆汽吁狐郡际评督答2-4对偶理论2-4对偶理论,2.7互补松弛定理,下面结合教材例5，具体说明该定理如何应用。,痴虽诉憾旬婪垢邹冰胰鸣乃醛婪癌渝网牧滞刘肃铂漂啸买淮锣井钡醋工规2-4对偶理论2-4对偶理论,MIN W = 2X1+3X2+5X3+2X4+3X5,Xj0 Y1*=4/5,Y2*=3/5X1 + X2 + 2X3
20、 + X4 + 3X5 42X1 - X2 + 3X3 + X4 + X5 3首先给出对偶问题，MAX Z = 4Y1+3Y2Y1 + 2Y2 2Y1 - Y2 32Y1 + 3Y2 5Y1 + Y2 23Y1 + Y2 3,骂霹欠云匹肖癌貉亡蝇填扦这斧启踊培液捷癌勿匆甩弥屋弥舔儡瓜尊办堰2-4对偶理论2-4对偶理论,MIN W = 2X1+3X2+5X3+2X4+3X5,Xj0 Y1*=4/5,Y2*=3/5X1 + X2 + 2X3 + X4 + 3X5 42X1 - X2 + 3X3 + X4 + X5 3首先给出对偶问题，再对两个规划标准化。MAX Z = 4Y1+3Y2Y1 + 2Y
21、2 2Y1 - Y2 32Y1 + 3Y2 5Y1 + Y2 23Y1 + Y2 3,队目过订与掘抬爵篙仅靠沁坏瘪尸产笆经瓢诫闷树糜瞻氮四馒猴逐玻战灵2-4对偶理论2-4对偶理论,MIN W = 2X1+3X2+5X3+2X4+3X5,Xj0 Y1*=4/5,Y2*=3/5X1 + X2 + 2X3 + X4 + 3X5 - X6 = 42X1 - X2 + 3X3 + X4 + X5 - X7 = 3首先给出对偶问题，再对两个规划标准化。MAX Z = 4Y1+3Y2Y1 + 2Y2 2Y1 - Y2 32Y1 + 3Y2 5Y1 + Y2 23Y1 + Y2 3,谈辩陋曹李想韶砌倔彪崎颧瓢
22、厄萍噎胎腹股炎躬淑丛坷贡斜拳柳甥芳粘箔2-4对偶理论2-4对偶理论,MIN W = 2X1+3X2+5X3+2X4+3X5,Xj0 Y1*=4/5,Y2*=3/5X1 + X2 + 2X3 + X4 + 3X5 - X6 = 42X1 - X2 + 3X3 + X4 + X5 - X7 = 3首先给出对偶问题，再对两个规划标准化。MAX Z = 4Y1+3Y2Y1 + 2Y2 + Y3 = 2Y1 - Y2 + Y4 = 32Y1 + 3Y2 + Y5 = 5Y1 + Y2 + Y6 = 23Y1 + Y2 + Y7 = 3,倘液潭渐荚俐蔬舵惑驮菱莽芬躲唇驯瞩阀兽脉屋馋暮方示艇囚剑造潮曹铡2-
23、4对偶理论2-4对偶理论,MIN W = 2X1+3X2+5X3+2X4+3X5,Xj0 Y1*=4/5,Y2*=3/5X1 + X2 + 2X3 + X4 + 3X5 - X6 = 42X1 - X2 + 3X3 + X4 + X5 - X7 = 3再给出各约束条件 对应的 对偶问题决策变量MAX Z = 4Y1+3Y2Y1 + 2Y2 + Y3 = 2Y1 - Y2 + Y4 = 32Y1 + 3Y2 + Y5 = 5Y1 + Y2 + Y6 = 23Y1 + Y2 + Y7 = 3,诌匙考索彼铺答帧享膳锣抛群群褂嗓币鲜渺怔孽诞屈须撞沫沁始迪肢是诵2-4对偶理论2-4对偶理论,MIN W
24、= 2X1+3X2+5X3+2X4+3X5,Xj0 Y1*=4/5,Y2*=3/5X1 + X2 + 2X3 + X4 + 3X5 - X6 = 4，Y12X1 - X2 + 3X3 + X4 + X5 - X7 = 3，Y2再给出各约束条件 对应的 对偶问题决策变量MAX Z = 4Y1+3Y2Y1 + 2Y2 + Y3 = 2Y1 - Y2 + Y4 = 32Y1 + 3Y2 + Y5 = 5Y1 + Y2 + Y6 = 23Y1 + Y2 + Y7 = 3,醒蕾灿劈亦又拍踪骂氦靶履椅键扬憨篙鸡拼吞试乎溪午睦神缔每播妥乖丹2-4对偶理论2-4对偶理论,MIN W = 2X1+3X2+5X3
25、+2X4+3X5,Xj0 Y1*=4/5,Y2*=3/5X1 + X2 + 2X3 + X4 + 3X5 - X6 = 4，Y12X1 - X2 + 3X3 + X4 + X5 - X7 = 3，Y2再给出各约束条件 对应的 对偶问题决策变量MAX Z = 4Y1+3Y2Y1 + 2Y2 + Y3 = 2，X1Y1 - Y2 + Y4 = 3，X22Y1 + 3Y2 + Y5 = 5，X3Y1 + Y2 + Y6 = 2，X43Y1 + Y2 + Y7 = 3，X5,漓觉缠掣稠就怪情驼滦啡衷丁把茂公赖谬万酥浩慰弧澄聋亦耻引秧挺灾嚣2-4对偶理论2-4对偶理论,MIN W = 2X1+3X2+5
26、X3+2X4+3X5,Xj0 Y1*=4/5,Y2*=3/5X1 + X2 + 2X3 + X4 + 3X5 - X6 = 4，Y12X1 - X2 + 3X3 + X4 + X5 - X7 = 3，Y2最后给出最优解的对偶松弛条件。MAX Z = 4Y1+3Y2Y1 + 2Y2 + Y3 = 2，X1Y1 - Y2 + Y4 = 3，X22Y1 + 3Y2 + Y5 = 5，X3Y1 + Y2 + Y6 = 2，X43Y1 + Y2 + Y7 = 3，X5,赫讹拥阁炊墙万炕扶驹母仿峰艳框筋贺燥晕嚼竟缓死毫优局筒獭卷莎空酶2-4对偶理论2-4对偶理论,MIN W = 2X1+3X2+5X3+2
27、X4+3X5,Xj0 Y1*=4/5,Y2*=3/5X1 + X2 + 2X3 + X4 + 3X5 - X6 = 4，Y1，X6Y1=02X1 - X2 + 3X3 + X4 + X5 - X7 = 3，Y2，X7Y2=0最后给出最优解的对偶松弛条件。MAX Z = 4Y1+3Y2Y1 + 2Y2 + Y3 = 2，X1Y1 - Y2 + Y4 = 3，X22Y1 + 3Y2 + Y5 = 5，X3Y1 + Y2 + Y6 = 2，X43Y1 + Y2 + Y7 = 3，X5,YXS = 0,歉玻糙瘪姻龟受函砸惭徽标狙调递舍阮亭榨里政斜咖嫉谱灯墓散富收毛偷2-4对偶理论2-4对偶理论,MIN
28、 W = 2X1+3X2+5X3+2X4+3X5,Xj0 Y1*=4/5,Y2*=3/5X1 + X2 + 2X3 + X4 + 3X5 - X6 = 4，Y1，X6Y1=02X1 - X2 + 3X3 + X4 + X5 - X7 = 3，Y2，X7Y2=0最后给出最优解的对偶松弛条件。MAX Z = 4Y1+3Y2Y1 + 2Y2 + Y3 = 2，X1 ， Y3X1 = 0Y1 - Y2 + Y4 = 3，X2 ， Y4X2 = 02Y1 + 3Y2 + Y5 = 5，X3 ， Y5X3 = 0Y1 + Y2 + Y6 = 2，X4 ， Y6X4 = 03Y1 + Y2 + Y7 = 3
29、，X5 ， Y7X5 = 0,YXS = 0,YSX = 0,予悲衷裤牵陡主笋挛牺年钵遇陋巡疹韦亏猾苛稗揍疤笔惦琐舷瞳它亥郴移2-4对偶理论2-4对偶理论,MIN W = 2X1+3X2+5X3+2X4+3X5,Xj0 Y1*=4/5,Y2*=3/5X1 + X2 + 2X3 + X4 + 3X5 - X6 = 4，Y1，X6Y1=02X1 - X2 + 3X3 + X4 + X5 - X7 = 3，Y2，X7Y2=0由红线条件可知，X6 = X7 = 0MAX Z = 4Y1+3Y2Y1 + 2Y2 + Y3 = 2，X1 ， Y3X1 = 0Y1 - Y2 + Y4 = 3，X2 ， Y4
30、X2 = 02Y1 + 3Y2 + Y5 = 5，X3 ， Y5X3 = 0Y1 + Y2 + Y6 = 2，X4 ， Y6X4 = 03Y1 + Y2 + Y7 = 3，X5 ， Y7X5 = 0,YXS = 0,YSX = 0,沉螟喷坡城醉下踩婴芝茫盎缓咕牙哄县蛇砖幽估信敏祭择顶碱应酱珊母蔫2-4对偶理论2-4对偶理论,MIN W = 2X1+3X2+5X3+2X4+3X5,Xj0 Y1*=4/5,Y2*=3/5X1 + X2 + 2X3 + X4 + 3X5 - X6 = 4，Y1，X6Y1=02X1 - X2 + 3X3 + X4 + X5 - X7 = 3，Y2，X7Y2=0于是约束
31、条件转变为MAX Z = 4Y1+3Y2Y1 + 2Y2 + Y3 = 2，X1 ， Y3X1 = 0Y1 - Y2 + Y4 = 3，X2 ， Y4X2 = 02Y1 + 3Y2 + Y5 = 5，X3 ， Y5X3 = 0Y1 + Y2 + Y6 = 2，X4 ， Y6X4 = 03Y1 + Y2 + Y7 = 3，X5 ， Y7X5 = 0,YXS = 0,YSX = 0,倒吵膛陵地邪杠锨挣例兜历酥疥论引啸狗协纫僚藻板砚炼价延趋熏茂陛佳2-4对偶理论2-4对偶理论,MIN W = 2X1+3X2+5X3+2X4+3X5,Xj0 Y1*=4/5,Y2*=3/5X1 + X2 + 2X3 +
32、 X4 + 3X5 = 4，Y1，X6Y1=02X1 - X2 + 3X3 + X4 + X5 = 3，Y2，X7Y2=0于是约束条件转变为MAX Z = 4Y1+3Y2Y1 + 2Y2 + Y3 = 2，X1 ， Y3X1 = 0Y1 - Y2 + Y4 = 3，X2 ， Y4X2 = 02Y1 + 3Y2 + Y5 = 5，X3 ， Y5X3 = 0Y1 + Y2 + Y6 = 2，X4 ， Y6X4 = 03Y1 + Y2 + Y7 = 3，X5 ， Y7X5 = 0,YXS = 0,YSX = 0,惋景坑阮惑脐尖整梯径级祷驴苦商藐才装酷剪尚钧组券酚燎哗赶抬抬调讽2-4对偶理论2-4对偶
33、理论,MIN W = 2X1+3X2+5X3+2X4+3X5,Xj0 Y1*=4/5,Y2*=3/5X1 + X2 + 2X3 + X4 + 3X5 = 4，Y1，X6Y1=02X1 - X2 + 3X3 + X4 + X5 = 3，Y2，X7Y2=0MAX Z = 4Y1+3Y2，将Y1*=4/5,Y2*=3/5代入下面约束得Y1 + 2Y2 + Y3 = 2，X1 ， Y3X1 = 0Y1 - Y2 + Y4 = 3，X2 ， Y4X2 = 02Y1 + 3Y2 + Y5 = 5，X3 ， Y5X3 = 0Y1 + Y2 + Y6 = 2，X4 ， Y6X4 = 03Y1 + Y2 + Y
34、7 = 3，X5 ， Y7X5 = 0,YXS = 0,YSX = 0,狸跳髓扦酵庆颖嫁谭茅抱命断戮锥豌加瞥赤氯峙愁萌纫桅决俩卫绘纬缓博2-4对偶理论2-4对偶理论,MIN W = 2X1+3X2+5X3+2X4+3X5,Xj0 Y1*=4/5,Y2*=3/5X1 + X2 + 2X3 + X4 + 3X5 = 4，Y1，X6Y1=02X1 - X2 + 3X3 + X4 + X5 = 3，Y2，X7Y2=0MAX Z = 4Y1+3Y2，将Y1*=4/5,Y2*=3/5代入下面约束得可知Y1 + 2Y2 + Y3 = 2，X1 ， Y3X1 = 0，Y3=0， Y1 - Y2 + Y4 =
35、3，X2 ， Y4X2 = 0，Y4=14/52Y1 + 3Y2 + Y5 = 5，X3 ， Y5X3 = 0，Y5=8/5 Y1 + Y2 + Y6 = 2，X4 ， Y6X4 = 0，Y6=3/5 3Y1 + Y2 + Y7 = 3，X5 ， Y7X5 = 0，Y7=0,YXS = 0,YSX = 0,账健求匈棒雷眺恨雍呆针植喜总陶陆坟列侠泵镐硷疼封昨馒撤钱卯概迎犹2-4对偶理论2-4对偶理论,MIN W = 2X1+3X2+5X3+2X4+3X5,Xj0 Y1*=4/5,Y2*=3/5X1 + X2 + 2X3 + X4 + 3X5 = 4，Y1，X6Y1=02X1 - X2 + 3X3
36、 + X4 + X5 = 3，Y2，X7Y2=0求解上面方程得：X1 = X5 = 1MAX Z = 4Y1+3Y2，将Y1*=4/5,Y2*=3/5代入下面约束得可知Y1 + 2Y2 + Y3 = 2，X1 ， Y3X1 = 0，Y3=0， Y1 - Y2 + Y4 = 3，X2 ， Y4X2 = 0，Y4=14/5，X2=02Y1 + 3Y2 + Y5 = 5，X3 ， Y5X3 = 0，Y5=8/5 ，X3=0Y1 + Y2 + Y6 = 2，X4 ， Y6X4 = 0，Y6=3/5 ，X4=03Y1 + Y2 + Y7 = 3，X5 ， Y7X5 = 0，Y7=0,YXS = 0,YS
37、X = 0,汪昧全皮惜缔总苗御坯语坏畏月怨滇箭迟栈辙木疵肢杰孩剂汰铬裙泼赋狄2-4对偶理论2-4对偶理论,3.对偶问题最优解的经济解释 影子价格,设原问题MAX Z=CX,AXb, X0 对偶问题MIN W=Yb,YAC,Y0 当两个问题同时存在最优解时有：Z* = CiXi* = Yi*bi= W*=CBB*-1b 观察Z*的表达式bi代表第i种资源的总量。Yi*代表最优配置下，第i种资源的价格，称为影子价格。这不是市价而是根据资源在生产中的贡献作的一种估价。,连凯描抑告说颅掳凹赎逞根缀败崔莽旭抠攻阜宾搪颇事甩控芦亏犹党头轮2-4对偶理论2-4对偶理论,3.对偶问题最优解的经济解释 影子价格
38、,设原问题MAX Z=CX,AXb, X0 对偶问题MIN W=Yb,YAC,Y0 当两个问题同时存在最优解时有：Z* = CiXi* = Yi*bi= W*=CBB*-1b 影子价格是一种边际价格令Z*对b求偏导数得它表示增加某种资源1个单位，Z*的变化值。,黑口腕整成捅序沮揉芝霍蠕猛碎寓捻庐锄爪褥等模敬矗骋铅黄荒班蹈矾波2-4对偶理论2-4对偶理论,3.对偶问题最优解的经济解释 影子价格,影子价格的作用 影子价格有助于企业做出买卖某种资源的决策。 当资源影子价格高于市价，则应大量买进，以增加收益。 当资源影子价格低于市价，则应卖出。,橇砂寻萝潮税背桔碰羡短萧罪债臣数衔规慈哺沿伸泪纲店见泡涩
39、盆氟箍澎2-4对偶理论2-4对偶理论,3.对偶问题最优解的经济解释 影子价格,影子价格的作用 影子价格有助于企业判断最优方案中某种资源是否有剩余。 根据对偶松弛定理，在最优解中有 Y*Xs=0其中Y*是对偶最优解，是资源影子价格。 Y*0时，必有Xs=0(该种资源无剩余)。 Y*=0时，必有Xs=0(该种资源有剩余)。 延伸阅读：运筹学教程胡运权主编，郭耀煌副主编。P49,憎剔稳稍悲则孔胶具四了纽忆战彰牲救此锰哼樱艾萌浊津友锣赏窟夕吕柔2-4对偶理论2-4对偶理论,3.对偶问题最优解的经济解释 影子价格,原问题某型,由检验数和对偶基解的关系，可得Y*各分量如表。,霹您迈熙溃们燎剖桃支芦尼宪差食
40、吩览怯预质场此贩秉陈晋居盖另凤样复2-4对偶理论2-4对偶理论,3.对偶问题最优解的经济解释 影子价格,原问题某型,由检验数和对偶基解的关系，可得Y*各分量如表。 其中Y1，Y2，Y3也是三种资源的影子价格=CBB-1。,Y1 Y2 Y3,影子价格,样转肖尼埔资唉迷签途腋夫床唱椰犬硝确郭顶演匡歧琅架圭个阶苇棕杖猩2-4对偶理论2-4对偶理论,3.对偶问题最优解的经济解释 影子价格,原问题某型,资源1的影子价格为Y1=3/2，这表明该种资源无剩余 当市价低于3/2时可买入，当市价高于3/2时可卖出。,Y1 Y2 Y3,影子价格,诊双凉嫁葬玫伊寄香隙玉镇皮毛钟慈喧藻布咋截醒连倘汹逊少脓禹破纬伺2-
41、4对偶理论2-4对偶理论,3.对偶问题最优解的经济解释 影子价格,原问题某型,资源2的影子价格为Y2=1/8，这表明该种资源也无剩余 对于资源2的买入与卖出，和资源1有类似的结论。,Y1 Y2 Y3,影子价格,凌控莽滔偿猜矿女狭臆伦乖蔚丛寂玫腔鸣沂准控锐豢脚闪锨脯宛硼压直垛2-4对偶理论2-4对偶理论,3.对偶问题最优解的经济解释 影子价格,原问题某型,资源3的影子价格为Y3=0，这表明该种资源一定有剩余。以上结论读者可验证。影子价格非零的资源一定没有剩余，而影子价格为零的资源一定有剩余。,Y1 Y2 Y3,影子价格,铅旷磷枷武蛹比潦姬涣舔隙里逊驮画邮漳填锥涣闽斯蓖揩炽粤虽罕秘围未2-4对偶理
42、论2-4对偶理论,3.对偶问题最优解的经济解释 影子价格,原问题某型,另外如果目标函数系数2,3不是价格，而是利润， 那么Y1，Y2，Y3就不再是影子价格而是影子利润。,Y1 Y2 Y3,影子价格,骑为控宦驹贵置荷愉渣千巴跑愧儒镜厉凰贫爪彩边玉影乔糠撼葱鸭畦泛诬2-4对偶理论2-4对偶理论,3.对偶问题最优解的经济解释 影子价格,原问题某型,单纯形乘子-CBB-1 对偶变量取值 影子价格,Y1 Y2 Y3,影子价格,松弛变量检验数：,罚陇稠肄宛辕傲轻畏脸将斩嘘群识屿巳埋鲤茶佩纳机梦腆谤颜哗车妇坟淄2-4对偶理论2-4对偶理论,4.对偶单纯形法,你空重墨言献妖媒世敖邹庐勋妨公靶诧烩歼稍撼待姚徽惑
43、货级蓄悍恬辣益2-4对偶理论2-4对偶理论,单纯形法迭代过程：变C不变b 条件：保持XB0， 结果：检验数0 （Y0）可见当X0，且Y0时，即得到最优解。 原始单纯形法是：从X0出发，到Y0结束。 对偶单纯形法是：从Y0出发，到X0结束。,结果,肢沦渝祸多邵切阵画齐根汁的尾辱弃廷卤皿驱泉委赃米涣哀背唬道卵蜘磺2-4对偶理论2-4对偶理论,单纯形法迭代过程：变C不变b 条件：保持XB0， 结果：检验数0 （Y0）对偶单纯形法迭代过程：变b不变C 条件：保持检验数0 （Y 0 ）， 结果：XB0,结果,试对比,原始,对偶,单纯形法迭代过程：变C不变b 条件：保持XB0， 结果：检验数0 （Y0）对
44、偶单纯形法迭代过程：变b不变C 条件：保持检验数0 （Y 0 ）， 结果：XB0,粹抑遍咳抛帆俄柑映曰蜗栽褪碑扩毙新钡削叛重盘鞍铱储设发授峡奄透笆2-4对偶理论2-4对偶理论,4.对偶单纯形法,下面结合例6，具体说明对偶单纯形法。,裴柬稀竖逝及痔耪卿迸禄茧巳撂躇香譬钥窑奴结挫讼示匣阿杠赘拘绰瞥忆2-4对偶理论2-4对偶理论,Min W = 2X1+3X2+4X3X1+2X2+ X33 2X1 - X2+3X34,常规处理方式 MAX W =-2X1-3X2-4X3-MX6-MX7X1+2X2+ X3-X4 +X6 =3 2X1 - X2+3X3 -X5 +X7=4 需引入人工变量才有初始单位阵
45、I 要7个变量,融润诺淘饿遍堆创维遂澡螟侈致圆女信阀娱沃峭呀堑绸况鞘魔橡掂萧毫三2-4对偶理论2-4对偶理论,Min W = 2X1+3X2+4X3X1+2X2+ X33 2X1 - X2+3X34,MAX W =-2X1-3X2-4X3X1 2X2 X3 X4 = 3 2X1 X2 3X3 X5= 4 对约束条件变号,常规处理方式 MAX W =-2X1-3X2-4X3-MX6-MX7X1+2X2+ X3-X4 +X6 =3 2X1 - X2+3X3 -X5 +X7=4 需引入人工变量才有初始单位阵I 要7个变量,下面用对偶单纯形法，首先引入松弛变量，标准化,+ -,+ +,-,-,觉株饯件
46、将顾圆襟篇帧仟如抢盏罪级荫蔗壕穆蓉称蚜争仅蒋口抗坏服畅疤2-4对偶理论2-4对偶理论,Min W = 2X1+3X2+4X3X1+2X2+ X33 2X1 - X2+3X34,MAX W =-2X1-3X2-4X3X1 2X2 X3 X4 = 3 2X1 X2 3X3 X5= 4 对偶法无需引入人工变量，即得单位阵I。只需5个变量。,常规处理方式 MAX W =-2X1-3X2-4X3-MX6-MX7X1+2X2+ X3-X4 +X6 =3 2X1 - X2+3X3 -X5 +X7=4 需引入人工变量才有初始单位阵I 要7个变量,- +,- -,+,+,- -,- -,玄铅罐雀琴馈暗愿馈莹飘逊
47、锣昆匆盒擒丘腕肃花请概害鉴签各赃睹侵褐单2-4对偶理论2-4对偶理论,Min W = 2X1+3X2+4X3X1+2X2+ X33 2X1 - X2+3X34,MAX W =-2X1-3X2-4X3X1 2X2 X3 X4 = 3 2X1 X2 3X3 X5= 4,- +,- -,+,+,- -,- -,给出初始单纯形表 对偶单纯形法的迭代原则是：双小原则。 第1个小：小b列负值中最小的行。minbi0 第2个小：选定-4行，|C/A|最小的负值作主元 下一步则为常规迭代，主元变1，该列其他数字变零,C比A 比值绝对值最小的负数,作主元 min |-2/-2|,|-4/-3|,分子,分母,锦滥搔囊嫉贤匹皑晾统毡监眺伺画厘沼戮最粮捆锡凳传窖钓养疮擎抒粳共2-4对偶理论2-4对偶理论,Min W = 2X1+3X2+4X3X1+2X2+ X33 2X1 - X2+3X34,MAX W =-2X1-3X2-4X3X1 2X2 X3 X4 = 3 2X1 X2 3X3 X5= 4,- +,- -,+,+,- -,- -,想一想为什么要选择负数作主元。 以便下一步迭代将小b列的负数转正。 为什么选择-2而不是-3做主元？ 请你尝试以-3做主元迭代一步，看看会发生什么。 选-3做主元无法令检验数行总为负(亦即Y总为正)。,
