1、12010 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：1评阅试卷时，请依据本评分标准填空题只设 8 分和 0 分两档；第 9 小题 4 分一档，第 10、11 小题 5 分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分一、填空题（本题满分 64 分，每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ） 1设集合 ，则 E 的真子集的个数为 15 )34,(,21|sin| xxE2已知函数 的最大值为 ，则实数 5 46)(bf 9b3若 ，则使函数 为奇函数的 的
2、个数为 1|lg)cos()sin()xxf3 4在 中，已知 的平分线交 AC 于 K若 BC=2，CK=1， ，则ABC23BK 的面积为 16755数列 满足： ，且 记 的前 项na3,2a)(| *12Nnanna和为 ，则 89 nS106已知 ， ，过 作直线 的垂线，垂足为 若 ，OAbBOABP3|,|b， ，则 -2 ByaxPx7已知实数 满足 ， ，则 的最小值为 z,34zy|zyx12 8将总和为 200 的 10 个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于 58所有满足上述要求的 10 个数中最大数的最大值为 26 二、解答题（本大题满分 56 分，
3、第 9 题 16 分，第 10 题 20 分，第 11 题20 分）9已知二次函数 的图象经过点 ，且不等式cbxaxf2)( )0,2(2对一切实数 都成立21)(2xfxx（1）求函数 的解析式；)(f（2）若对一切 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围1,x)2(xftft解（1）由题设知， 024cba令 ，解得 ，由题意可得 ，即2 21)(f，所以 ，即 )(4f)(f 4由、可得 4 分1,42bac又 恒成立，即 恒成立，所以 ，且xf)(0)2(2cx0a，即 ，所以 ，从02cb4a41而 14ac因此函数 的解析式为 8 分)(xf 1)(2xf（2）由 得 ，2(ftf
4、 124)(42 xttx整理得 0)38)(xt当 即 时， ，此不等式对一切 都成立2t382txt 1,x的充要条件是 ，此不等式组无解138t当 即 时， ，矛盾 12 分2tt0)2(tx当 即 时， ，此不等式对一切 都成立38t381,x的充要条件是 ，解得 12t 215t综合可知，实数 的取值范围是 16 分t ,10已知数列 中， ，且na41,21a3),432()1(1 nan（1）求数列 的通项公式；n（2）求证：对一切 ，有 *N6712nka解 （1）由已知，对 有 ，1)()(1 nan两边同除以 n，得 ，)()(1ann即 ， 5 分)(1ann 于是， ，
5、 )1(1)1(1212 nkknkk即 ，,)1(2nan所以 ， 123)1()(2n 2,3nan又 时也成立，故 10 分1*,Nna（2）当 ，有k，15 分)134(1)3(4)3(2 kka所以 时，有n )()85()2(1212 nankk .673n又 时，1n.672a故对一切 ，有 20 分*N12nk411设 ，求使 为完全平方数的整数 的值316234xxPPx解 )0()1(2所以，当 时， 是完全平方数 5 分0x2下证没有其它整数 满足要求（1）当 时，有 ，22)13(xP又 ，所以 ，0)3(2xxP 2)3(xP从而 222 )(又 ，所以此时 不是完全平方数 10 分ZP（2）当 时，有 令 ，10x22)13(xZy,2则 ，即 ，|3|2y |y所以 ，22)(|x即 01|)10(x解此不等式，得 的整数值为 ，但它们对应的 均不是完全平6,543,2P方数综上所述，使 为完全平方数的整数 的值为 10. 20 分Px
