1、 高中数学联赛几何定理梅涅劳斯定理一直线截ABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线于 D,E,F 则 。1BDCEAF逆定理：一直线截ABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线于 D,E,F 若 ，则 D,E,F 三点共线。塞瓦定理在ABC 内任取一点 O,直线 AO、BO、CO 分别交对边于 D、E、F，则 =1。FBAEC逆定理：在ABC 的边 BC，CA，AB 上分别取点 D，E，F，如果 =1，那么直线 AD，BE，CF 相交于同一点。托勒密定理ABCD 为任意一个圆内接四边形，则 。BACCAB逆定理：若四边形 ABCD 满足 ，则 A、B、C、D 四点共圆D西姆松定理过三角形
2、外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 （此线常称为西姆松线） 。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。相关的结果有： （1）称三角形的垂心为 H。西姆松线和 PH 的交点为线段 PH 的中点，且这点在九点圆上。（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 (3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点 P 对应两者的西姆松线的交角，跟 P的位置无关。 （4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。斯特瓦尔特定理设已知ABC 及其底边上 B、C 两点间的一点 D，则有 AB2DC+
3、AC2BD-AD2BCBCDCBD。三角形旁心 1、旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。 2、与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆。费马点在一个三角形中，到 3 个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。 (1)若三角形 ABC 的 3 个内角均小于 120，那么 3 条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。 (2)若三角形有一内角不小于 120 度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。判定（1）对于任意三角形ABC，若三角形内或三角形上某一点 E,若 EA+EB+EC 有最小值,则 E 为费马点。费马点的计算 （2）如果三角形有一个内
4、角大于或等于 120，这个内角的顶点就是费马点；如果 3 个内角均小于 120，则在三角形内部对 3 边张角均为 120的点，是三角形的费马点。九点圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point circle） ，欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。几何不等式1 托勒密不等式:任意凸四边形 ABCD，必有 ACBDABCD+ADBC，当且仅当ABCD 四点共圆时取等号。2 埃尔多斯莫德尔不等式: 设 P 是 ABC 内任意一点，P 到 ABC 三
5、边BC,CA,AB 的距离分别为 PD=p,PE=q,PF=r，记 PA=x,PB=y,PC=z。则 x+y+z2(p+q+r) 3 外森比克不等式:设 ABC 的三边长为 a、b、c,面积为 S,则 a2+b2+c24 S34 欧拉不等式:设ABC 外接圆与内切圆的半径分别为 R、r，则 R2r,当且仅当ABC 为正三角形时取等号。圆幂 假设平面上有一点 P，有一圆 O，其半径为 R，则 OP2-R2 即为 P 点到圆 O 的幂； 可见圆外的点对圆的幂为正，圆内为负，圆上为 0；根轴 1 在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。 2 另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴。相关定理1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线； 2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线； 3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线； 4，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆心不共线的圆，它们两两的根轴或者互相平行，或者交于一点，这一点叫做它们的根心；
