1、第五讲 立体几何立体几何作为高中数学的重要组成部分之一，当然也是每年的全国联赛的必然考查内容。竞赛数学当中的立几题往往会以中等难度试题的形式出现在一试中，考查的内容常会涉及角、距离、体积等计算。解决这些问题常会用到转化、分割与补形等重要的数学思想方法。一、立体几何中的排列组合问题。例一、 （1991 年全国联赛一试）由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为（A）4； （B）8； （C）12； （D）24。分析：一个正方体一共有 8 个顶点，根据正方体的结构特征可知，构成正三角形的边必须是正方体的面对角线。考虑正方体的 12 条面对角线，从中任取一条可与其他面对角线构成两个等边三角形，即
2、每一条边要在构成的等边三角形中出现两次，故所有边共出现 次，而每一个三角形由三边构成，故一共可构成的等边三角124C形个数为 个。83例二、 （1995 年全国联赛一试）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有 5 种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是 。分析：就四棱锥 PABCD 而言，显然顶点 P 的颜色必定不同于 A、B、C、D 四点，于是分三种情况考虑： 若使用三种颜色，底面对角线上的两点可同色，其染色种数为： （种）3560 若使用四种颜色，底面有一对对角线同色，其染色种数为： （种）142A 若使用五种颜色，则各顶点的颜色各不相同，其染色种数为
3、： （种）5故不同染色方法种数是：420 种。二、与角有关的计算。立体几何中的角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角三种。其中两条异面直线所成的角通过作两条异面直线的平行线找到表示异面直线所成角的相交直线所成的角，再构造一个包含该角的三角形，解三角形即可以完成；直线和平面所成的角则要首先找到直线在平面内的射影，一般来讲也可以通过解直角三角形的办法得到，其角度范围是 ；二面角在求解的过程当中一般要先找到0,9二面角的平面角，三种方法：作棱的垂面和两个半平面相交；过棱上任意一点分别于两个半平面内引棱的垂线；根据三垂线定理或逆定理。另外还可以根据面积射影定理 得到。式中 表示射影多边形的
4、面积， 表示原多边形的cosSS S面积， 即为所求二面角。例三、直线 和平面 斜交于一点 ， 是 在 内的射影， 是平面 内OAOBAOC过 点的任一直线，设 ,.C求证： coscos分析：如图，设射线 任意一点 ，过 作AA于点 ，又作 于点 ，连ABBO接 。有：C所以， 。cos,cs,cos;OCAcoscos评注：上述结论经常会结合以下课本例题一起使用。过平面内一个角的顶点作平面的一条斜线，如果斜线和角的两边所成的角相等，那么这条斜线在平面内的射影一定会落在这个角的角平分线上。利用全等三角形即可证明结论成立。从上述等式的三项可以看出 值最小，于是可得结论：平面的一条斜线cos和平
5、面内经过斜足的所有直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角最小。例四、 （1997 年全国联赛一试）如图，正四面体 ABCD 中，E 在棱 AB 上，F 在棱 CD 上，使得： ，记 ，其中 表示 EF 与 AC 所0AECFBDfO C BA成的角，其中 表示 EF 与 BD 所成的角，则：（A） 在 单调增加；f0,（B） 在 单调减少；（C） 在 单调增加；在 单调减少；f,11,（D） 在 为常数。0分析：根据题意可首先找到与 对应的角。作 EGAC，交 BC 于 G，连 FG。显然,FGBD，GEF= ，GFE= 。ACBD，EGFG 90例五、 （1994 年全国联赛一试）已知一个平
6、面与一个正方体的 12 条棱的夹角都等于，则 。sin分析：正方体的 12 条棱可分为三组，一个平面与 12条棱的夹角都等于 只需该平面与正方体的过同一个顶点的三条棱所成的角都等于 即可。如图所示的平面 就是合乎要求的平面，于是：ABD3sin例六、设锐角 满足： 。,222coscos1求证： 。tata分析：构造长方体模型。构造如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1，连接 AC1、A 1C1、BC 1、DC 1。过同一个顶点的三条棱 AD、AB、AA 1与对角线AC1所成的角为锐角 ，满足：,FEDCBAGODC BAD1C1 B1A1DC BA222coscos1不妨设长方体过同一个顶
7、点的三条棱 AD、AB、AA 1的长分别为 。则：,abc2 2 2tan,tan,tnbccacab以上三式相乘即可。证明二：因为 为锐角，故：,，2222sin1coscoscosin2cos，同理： ，三式相乘。sis,ins 例七、 （1994 年全国联赛一试）在正 n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（A） ； （B） ； （C） ； （D） 2,n1,n0,2。1,分析：根据正 n 棱锥的结构特征，相邻两侧面所成的二面角应大于底面正 边形的内n角，同时小于 ，于是得到（A） 。例八、 （1992 年全国联赛一试）设四面体四个面的面积分别为 S1、S 2、S 3、S 4，它
8、们的最大值为 S，记 ，则 一定满足1234S（A） ； （B） ； （C） ； （D） 24.5.。3.5.分析：因为 iS1,234i所以 。特别的，当四面体为正四面体时取等号。1234S另一方面，构造一个侧面与底面所成角均为 的三棱锥，设底面面积为 S4，则：45，1231231234 cos12.545SSS若从极端情形加以考虑，当三棱锥的顶点落在底面上时，一方面不能构成三棱锥，另外此时有 ，也就是 ，于是必须 。故选（A） 。1234SS2三、有关距离的计算。例九、 （2003 年全国联赛一试）将八个半径为 1 的小球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱
9、的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 。分析：立体几何问题的处理常需要抓住其主要特征，作为球体其主要特征无疑为球心与球半径，将八个小球的球心独立出来即可得到一个如图所示的几何体。ACEGB1D1F1H1,此几何题每相邻两点间的距离为 2，显然，两底面 ACEG 与 B1D1F1H1间的距离加上 2 即为所求符合条件的圆柱体的高。于是将该几何体补形成为如图所示的正八棱柱求其高，也就是求其中一个部分，三棱锥 B1ABC 的高，然后加上 2 即可。取 AC 的中点 O，连接 BO、B 1O，易知：B 1O= 3在等腰三角形 ABC 中，AC=2， ABC= ，BO=15，2sin4ta81co（
10、线段 BO 的长度也可以通过正八边形外接圆半径 减去正方形边长的一半 1 得到）2H1 G1 F1 E1C1B1A1 H G EDCBA D1FO在直角三角形 B1BO 中：BB1= 所求圆柱体的高：22438482h例十、 （2001 年全国联赛一试）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则直线 A1C1与BD1的距离是 。分析：在立体几何中求距离，最常用的解题思想是转化。线线距转化为线面距、线面距转化为面面距、面面距转化为点面距、点面距转化为点线距，最终常常化为在一个平面内求一点到一条直线的垂线段的长度。连接 B1D1交线段 A1C1于点 F，取 BB1的中点 E，连接 A1E、C
11、 1E，显然，BD 1平面A1C1E。于是，将两条异面直线之间的距离转化为直线与平面之间的距离，易知，所求距离为 。34例十一、 （1997 年全国联赛一试）已知三棱锥 SABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设 S、A、B、C 四点都在以 O 为球心的某个球面上，则点 O 到平面 ABC 的距离为 。分析：作 SD平面 ABC 于 D，连接 BD，因为 SA=SB=SC=2，所以点 D 为底面三角形 ABC 的外心，即 D 为 AB 的中点，同时，球心 O 必在线段 SD 上。所求点 O 到平面 ABC 的距离即为线段 OD 的长。设球半径 ，OD
12、= ，则：rx解得： 。213rx3x例十二、 （1996 年全国联赛一试）高为 8 的圆台内有一个半径为 2 的球 O1，球心 O1在圆台的轴上，球 O1与圆台的上底面、侧面都相切。圆台内可再放入一个半径为 3的球 O2，使得球 O2与球 O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点。除球 O2，圆台D1 C1B1A1D CBAFEODBCAS内最多还能放入半径为 3 的球的个数是（A） 1 ； （B） 2 ； （C） 3； （D） 4 。分析：根据所放球的特点，加入的小球和球 O2应该都与球 O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，即加入小球的球心与 O2均匀分布在与底面距离为 3，圆台轴的
13、周围。如图：作 O2O轴 OO1于 O，则：22238594O原问题即需考查在半径为 4 的圆周上，均匀分布着几个半径为 3 且不相交的圆。设：AOO 2=BOO 2= ，则 ，显然， ，故可排列 3 个圆。即可加sin460入两个小球。例十三、 （1996 年全国联赛一试）已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为 2，则最远的两点间的距离是 。分析：设正三棱锥的底面边长为 ，侧棱长为 ，则：ab即：2234ab 23化简得： 32ba所以， 。于是可求得线段 的长： 。于是有最远,P243p距离为底边长 3。O1O BAO2
14、OO2A CBD EFO PP例十四、 （1992 年全国联赛一试）设 l、m 是两条异面直线，在 l 上有 A、B、C 三个点，且 AB=BC，过 A、B、C 分别作 m 的垂线 AD、BE、CF，垂足依次为 D、E、F，已知AD=，BE= ，CF= 。求 l 与 m 的距离。157210分析：设 的公垂线段为 LM，过点 M 作,lm，另作如图所示的垂线段。lA若点 A、B、C 在点 L 的同侧，设所求距离为 ，d解得： ，2227150d 6若点 A、B、C 在点 L 的两侧，如图所示有 ，即有等式：EHDIFG， 2227150dd解得： 。6四、体积和体积法。例十五、 （2003 年
15、全国联赛一试）在四面体 ABCD 中，设 ，直线1,3ABCD与 的距离为 2，夹角为 ，则四面体 ABCD 的体积等于ABCD3313 ; ; ; BC分析：根据锥体的体积公式我们知道： 。1V=Sh从题目所给条件看，已知长度的两条线段分别位于两条异面直线上，而已知距离是两条异面直线之间的距离而非点线距。显然需要进行转化。作 BECD,且 BE=CD，连接 DE、AE，显然，三棱锥 ABCD 与三棱锥 ABDE 底面积ED CBAGAECMLIDF mllHBFC B AH IMDG N Elm和高都相等，故它们有相等的体积。于是有： 11sin362ABCDEDABDEVVShABEh例十
16、六、 （2002 年全国联赛一试）由曲线 围成的图224,4xyx形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V1，满足y的点 组成的图形绕 轴旋转222216,4,xxy,y一周所得旋转体的体积为 V2，则：（A）V 1= V2； （B）V 1= V2； （C）V 1=V2； （D）V 1= V2；3分析：我国古代数学家祖暅在对于两个几何体体积的比较方面作出了卓越的贡献，祖暅原理告诉我们：对于两个底面积相同，高相等的几何体，任做一个平行于底面的截面，若每一个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。运用祖 原理的思想我们可以将不规则的几何体的体积计算转化为规则几何体的体积计算。如计算球的体积时我们可
17、以将半球转化为圆柱与圆锥的组合体。显然，本题中的两个几何体符合祖暅原理的条件，比较其截面面积如下：取 ，则：4ya216164Sa当 时：0222 164a当 时：a2 显然， ，于是有： 。12S12V例十七、 （2000 年全国联赛一试）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为 ，则这个球的体积是 。a分析：由正四面体的图象的对称性可知，内切球的球心必为正四面体的中心，球与各棱相切，其切点必为各棱中点，考查三组对棱中点的连线交于一点，即为内切球的球心，所以每组对棱间的距离即为内切球的直径，于是有： 2ra 33424Va练习：同样可用体积法求出棱长为 的正四面体的外接球和内切球的
18、半径。分析可知，正四面体的内切球与外接球球心相同，将球心与正四面体的个顶点相连，可将正四面体划分为四个全等的正三棱锥，于是可知内切球的半径即为正四面体高度的四分之一，外接球半径即为高度的四分之三。故只要求出正四面体的高度即可。又： ，所以， 。222363haa 6,412Rar例十八、 （1999 年全国联赛一试）已知三棱锥 S-ABC 的底面为正三角形，A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是 SBC 的垂心，二面角 H-AB-C 的平面角等于 30 ，SA= 。3那么，三棱锥 S-ABC 的体积为 。分析：在求解立体几何问题时，往往需要首先明白所要考查对象的图形特点。连接 BH 并延长交
19、SC 于 D，连 AD。H 为 SBC 的垂心BDSC， 且 HDSC ，故 ADSC ，SC平面 ABCSCAB作 SO平面 ABC 于 O，连接 CO 并延长交 AB 于 E，易知：CEAB，连 DE。ROE DCAPrBOEDHCASBAB=ACHB=HC，即 A 在平面 SBC 内的射影 H 在线段 BC 的垂直平分线上，而点 H 是 SBC 的垂心，可知 SBC 为 SB=SC 的等腰三角形。S 在平面 ABC 内的射影 O 在线段 BC 的垂直平分线上。故射影 O 为 ABC 的中心，三棱锥 SABC 为正三棱锥。设底面边长为 ，则 CE=2a，3aSA=SB=SC= 2SO=3，
20、OC= CE= 3a 1139324SABCABVh例十九、 （1998 年全国联赛一试） 中， ， 是ABC0,2BACM的中点。将 沿 折起，使 A、B 两点间的距离为 ，此时三棱锥MABCM 的体积等于 。分析：关于折叠问题，弄清折叠前后线段之间的变与不变的关系往往是我们解决问题的关键，问题中经常会涉及折叠图形形成二面角，在折叠前作一条直线与折叠线垂直相交，于交点的两侧各取一点形成一个角，于是在折叠过程中，此角始终能代表图形折叠所形成的二面角的大小。此外，通过分析可知解决本例的另一个关键是需要得到棱锥的高，其实只要能找到二面角，高也就能迎刃而解了。如图，作 BDCM 的延长线相交于 D，
21、AFCM 于 F，并延长到 E，使 EF=BD，连 BE。显然，AF=EF=BD= ，EB=DF=2,所以： AE2=AB2-EB2=8-4=43FF MM EE DD BB CC AA三棱锥 ABCM 的高即点 A 到平面 BCM 的距离也就是等腰 AEF 中点 A 到边 EF 的距离。根据面积相等可求得：.2316h 233V例二十、 （1995 年全国联赛一试）设 O 是正三棱锥 PABC 底面ABC 的中心，过 O的动平面与 PABC 的三条侧棱或其延长线的交点分别记为 Q、R、S，则和式1QRS（A）有最大值而无最小值； （B）有最小值而无最大值；（C）既有最大值又有最小值，且最大值
22、与最小值不等；（D）是一个与平面 QRS 位置无关的常量。分析：借助于分割思想，将三棱锥 PQRS划分成三个以 O 为顶点，以三个侧面为底面的三棱锥 OPQR，OPRS，OPSQ。显然三个三棱锥的高相等，设为 ，又设h，于是有：QPRSPQ13SOROSPQRSPQVVh1sin6又： ，PQRSPS 其中 为 PQ 与平面 PRS 所成的角。sinsinQhPRSO SRQCBAP于是得： 1PQRSsinh例二十一、 （1993 年全国联赛一试）三棱锥 SABC 中，侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直，M 为三角形 ABC 的重心，D 为 AB 中点，作与 SC 平行的直线 DP。证明：
23、（1）DP 与 SM 相交；（2）设 DP 与 SM 的交点为 ，则 D 为三棱锥 SABC 的外接球的球心。分析：根据题中三棱锥的特点，可将三棱锥补形成为一个如图所示的长方体，因为C、M、D 三点共线，显然，点 C、S、D、M在同一平面内。于是有 DP 与 SM 相交。又因为： ，而点 D 为长12S方体的底面 SAEB 的中心，故必有点 为对角线 SF 的中点，即为长方体的也是三棱锥的外接球的球心。例二十二、 （1992 年全国联赛一试）从正方体的棱和各个面的面对角线中选出 k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则 k 的最大值是 。分析：本题可以采用构造法求解。考查图中的四
24、条线段：A 1D、AC、BC 1、B 1D1，显然其中任意两条都是异面直线。另一方面，如果满足题目要求的线段多于 4 条，若有 5 条线段满足要求，因为 5 条线段中任意两条均为异面直线，所以其中任意两条没有公共点，于是产生这些线段的端点几何体的顶点的个数必定大于或等于 10 个，这与题中的正方体相矛盾。故： 。4k例二十三、 （1991 年全国联赛一试）设正三棱锥 PABC 的高为 PO，M 为 PO 的中点，过 AM 作与棱 BC 平行的平面，将三棱锥截为上、下两个部分，试求此两部分的体积GFMEDDCBASHA1D CBAD1 C1B1FEOMDCBAPHG比。分析：取 BC 的中点 D，连接 PD 交 AM 于 G，设所作的平行于 BC 的平面交平面 PBC 于 EF，由直线与平面平行的性质定理得：EFBC，连接AE，AF，则平面 AEF 为合乎要求的截面。作 OHPG，交 AG 于点 H，则：OH=PG。；5112BCPDGDGADEFPO故： ；于是： 。245AEFPBCVS4PEFABCV
