1、高中数学联赛培训讲义宁波滨海学校 高建彪全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高。第一讲 集合、函数、方程例 1.集合x|1log 101，b1，且 lg(ab)lgalgb，则 lg(a1)lg(b1)的值 。 (98 年)A.等于 lg2 B.等于 1 C.等于 0 D.不是与 a、b 无关的常数设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数，且满足下列关系：f(10x)f(10x),f（20x）f(20x)，则 f(x)是 。 (92 年)A.偶函数，又是周期函数 B.偶函数，但不是周期函数C.
2、奇函数，又是周期函数 D.奇函数，但不是周期函数例 3.设 x 与 y 为实数，满足(x1) 1997(x1)1，(y1) 1997(y1)1，3 3则 xy 。 （97 年全国高中联赛）【分析】构造函数 f(t)t 1997t，将两等式变成函数值，再利用函数性质。【解】【小结】巧妙地构造函数，利用函数的奇偶性、单调性；简单的函数方程。练习已知方程|x2n|k （nN）在区间(2n1，2n1)上有两个不相等的实数根，x则 k 的取值范围是 。 (95 年)A. k0 B. 00 都成立的充要条件是 。 (94 年)A. a 与 b 同时为 0，且 c0 B. c C. c2ba2ba2ba.已
3、知 x、y , ，aR，且 ，则 cos(x2y) 40cosin423ayyx。 （提示：构造函数法） （94 年）第三讲 数列、数列递推、数学归纳法例 1.等比数列a 首项 a 1536,公比 q 。用 表示它的前 n 项之积，则n121n （nN）最大是 。 A. B. C. D. (96 年全国高中n 91213联赛)【分析】先求出 的表达式，再讨论该式的最大值问题。n【解】【小结】等比数列的通项公式、函数最值问题、分类讨论法。练习.设 xy，且两数列 x，a ，a ，a ，y 和 b ，x，b ，b ，y，b 均为等差数列，1231234那么 。 （88 年）1234ab. 设 x,
4、y,z 是实数，3x、4y、5z 成等比数列，且 、 、 成等差数列，则 x1yzzx的值是 。 （92 年）xz.设等差数列a 满足 3a 5a ，且 a 0，S 为前 n 项之和。则 S (nN)中最n8131 n大的是 。 A. S B. S C. S D. S (95 年)102021例 2.已知数列a 满足 3a a 4 (n1)，且 a 9，其前 n 项之和为 S ，则满n1n 1 n足不等式|S n6| 的最小整数 n 是 。 （94 年全国高中联赛）25【分析】先求 S【解】【小结】构造法。数列前 n 项和公式。练习.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于 3,且各项的
5、和为 97 ,则这样2的数列共有 。 A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 (97 年).对于每个自然数 n，抛物线 y(n n)x (2n1)x1 与 x 轴交于 A 、B 两点，2 n以|A B |表示该两点间距离，则|A B |A B |A B | 。 (92 年)n 1 92.一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为 。(89 年)例 3.设正数列 a ，a ，a ，a ， 满足 2a （n2） ，012n2na21na1n且 a a 1，求 a / a 的值。09【分析】将已知的代数式进行变形，构造一个新的数列使问题简化。【解】【小结】构造法。练
6、习.将正奇数集合1,3,5,由小到大按第 n 组有(2n1)个奇数进行分组：第一组1、第二组3,5,7、第三组9,11,13,15,17、。则 1991 位于第 组中。 （91 年）. 已知数列x 满足 x x x (n2)，x a，x b，记n1n1n12S x x x 。则下列结论正确的是 。 （97 年）n12nA. x a， S 2ba B. x b， S 2ba 010 00C. x b， S ba B. x a， S ba 11.已知集合 Mx,xy,lg(xy)，N0,|x|,y，并且 MN，那么(x )（x y12）（x ）（x ）的值等于 。 （87 年）21y31y2010
7、y第三讲 数列、数列递推、数学归纳法例 1.等比数列a (96 年全国高中联赛)n【分析】【解】【小结】练习.例 2.【分析】【解】【小结】练习. . 例 3.【解】【小结】练习.第三讲 数列、数列递推、数学归纳法例 1.等比数列a (96 年全国高中联赛)n【分析】【解】【小结】练习.例 2.【分析】【解】【小结】练习. . 例 3.【解】【小结】练习.2001年全国高中数学联合竞赛试题第一试(2001 年 10 月 14 日 8:009:40)一、选择题(每小题 6 分，满分 36 分)1. 已知 a 为给定的实数，那么集合 Mx|x 23xa 220，xR的子集的个数为( )A.1 B.
8、2 C.4 D.不确定2. 命题 1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；命题 2 长方体中，必存在到各棱离相等的点；命题 1 长方体中，必存在到各面离相等的点；以上三个命题中正确的有( )A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个3. 在四个函数 ysin|x|，y cos|x|，y|ctgx|，ylg|sinx| 中以 为周期、在(0 ， )上单2调递增的偶函数是( )A.ysin|x| B.ycos|x| C.y|ctgx| D.ylg|sinx|4. 如果满足ABC60 ，AC12，BCk 的ABC 恰有一个，那么 k 的取值范围是( )A.k8 B.0k 12 C.k12 D.
9、 0k12 或 k83 35. 若(1xx 2)1000 的展开式为 a0a 1xa 2x2a 2000x2000，则a0a 3a 6a 9a 1998 的值为( )A.3333 B.3666 C.3999 D.320016. 已知 6 枝玫瑰花与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元，二 4 枝玫瑰花与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22 元，则 2 枝玫瑰花的价格和 3 枝康乃馨的价格比较结果是( )A.2 枝玫瑰花价格高 B.3 枝康乃馨价格高C.价格相同 D.不确定二、填空题(每小题 9 分，满分 54 分)7. 椭圆 的短轴长等于_.cos218. 若复数 z1，z 2 满足|z 1|
10、2 ，|z 2|3，3z 12z 2 i，则 z1z2_.39. 正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，则直线 A1C1 与 BD1 的距离是_.10. 不等式 的解集为_.23xlog1211. 函数 yx 的值域为_.12. 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图) ，要求同一块种种植一种植物，相邻的两块种植不同的植物.现有 4 种不同的植物可供选择，则有_种栽种方案.三、解答题(每小题 20 分，满分 60 分)13. 设a n为等差数列， bn为等比数列，且 b1a 12， b2a 22， b3a 32(a1a 2)，又(b1b 2b n) 1，试求a n的首项与公差.lim214. 设曲线 C1： 1(a 为正常数)与 C2：y 22(x m)在 x 轴上方仅有一个公共点 P2yax(1)求实数 m 的取值范围(用 a 表示)(2)O 为原点，若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A，当 0a 时，试求OAP 的面积的最21大值(用 a 表示)15. 用电阻值分别为 a1、a 2、a 3、a 4、a 5、a 6(a1a 2a 3a 4a 5a 6)的电阻组装成一个如图的组件，组装中应该如何选取电阻，才能使该组件的总电阻值最小?证明你的结论.A BCDEF
