1、七年级（上）-有理数运算讲义1有理数的运算一、有理数基本加、减混合运算有理数加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 一个数同 0 相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： 确定和的符号； 求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律： 两个加数相加，交换加数的位置，和不变. (加法交换律)ab 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. (加法结合律)()abcc有理数加法的运算技巧
2、： 分数与小数均有时，应先化为统一形式. 带分数可分为整数与分数两部分参与运算. 多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零. 若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加. 若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起. 符号相同的数可以先结合在一起.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数. ()ab有理数减法的运算步骤： 把减号变为加号（改变运算符号） 把减数变为它的相反数（改变性质符号） 把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.有理数加减混合运算的步骤： 把算式中的减法转化为加法； 省略加号与括号； 利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减
3、法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和 0 的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.例如： ，它的含义是正 3，负 0.15，负 9，正 5，负 11 的(3)0.15)9(5)13.591和.【例 1】 计算： 6(2.)(.7)()(27.)(2)(1.57)676七年级（上）-有理数运算讲义2【例 2】 计算： ； 计算：3135143122.75346【例 3】 计算： ； 计算：4134.572 212(738)(.6)(53)(.64)(3)【巩固】
4、若 ， ，则 0 若 ， ，则 00abab0abab【巩固】 若 ， ，则 0； 若 ， ，且 ，则 0.() |【例 4】 (第 14 届希望杯)有一串数： ， ， ， ，按一定的规律排列，那 2319519么这串数中前 个数的和最小【例 5】 设三个互不相等的有理数，既可分别表示为 的形式，又可分别表示为 的形式，则ab， ， 0ba， ，2041ab【例 6】 给出一连串连续整数： ，这串连续整数共有 个；它们的和是 203.2034， ， ， ，【例 7】 个不全相等的有理数之和为 ，则这 个有理数中( )9 197A至少有一个是零 B至少有 998 个正数 C至少有一个是负数 D至
5、多有 995 个是负数【巩固】 若 ，则以下四个结论中，正确的是( )0abcdA 一定是正数 B 可能是负数 dcabC 一定是正数 D 一定是正数【例 8】 北京市 2007 年 5 月份某一周的日最高气温（单位： C）分别为：25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为（ ）A. 28C B. 29C C. 30C D. 31C【例 9】 超市新进了 10 箱橙子，每箱标准重量为 50kg，到货后超市复秤结果如下（超市标准重量的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）：+0.5，+0.3，-0.9，+0.1，+0.4，-0.2，-0.7，+0.8，+0.3，+0.1
6、.那么超市购进的橙子共多少千克？七年级（上）-有理数运算讲义3【巩固】 电子跳蚤在数轴上的某一点 ，第一步 向左跳 个单位到点 ，第二步由点 向右跳 个单位到点0K011K1K2，第三步有点 向左跳 个单位到点 ，第四步由点 向右跳 个单位到点 ， ，按以上2K233344规律跳了 步时，电子跳蚤落在数轴上的点 所表示的数恰好是 求电子跳蚤的初始位置点1010K9.所表示的数0二、有理数基本乘法、除法：有理数乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同 0 相乘，都得 0.有理数乘法运算律： 两个数相乘，交换因数的位置，积相等. (乘法交换律)ab 三个数相乘，先
7、把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. (乘法结合律)abc 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. (乘法分配律)abc有理数乘法法则的推广： 几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数. 几个数相乘，如果有一个因数为 0，则积为 0. 在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.【例 10】 计算：345826
8、 112462【例 11】 计算： 计算：413(3)55921998124666七年级（上）-有理数运算讲义4【巩固】 计算： 计算： .735(1)361246 1136()2469【例 12】 积 的值的整数部分是 1111.3243598090【例 13】 设 个正整数 ，任意改变他们的顺序后，记作 ，若2n 123.naa， ， ， ， 123.nbb， ， ， ，则（ ）13.nPabbA 一定是奇数 B 一定是偶数PC当 是奇数时， 是偶数 D当 是偶数时， 是奇数nPP【例 14】 若 ， ， ， 是互不相等的整数，且 则 的值为( )abcd9abcdbcdA0 B4 C D
9、无法确定8【巩固】 如果 4 个不同的正整数 ， ， ， 满足 ，那么 的值是多少？mnpq(7)(7)4mnpqmnpq【例 15】 如果 均为正数，且 ，那么 的值等于 abc， ， 152162170abcacab， ， abc【例 16】 若 ，则 是（ ）1980A. 正数 B. 非正数 C. 负数 D. 非负数【巩固】 奇数个负数相乘，积的符号为 ， 个负数相乘，积的符号为正.【巩固】 如果 ，则一定成立的是( )22()()4abA 是 的相反数 B 是 的相反数 C 是 的倒数 D 是 的倒数ababab【巩固】 、 、 为非零有理数，它们的积必为正数的是（ ）cA ， 、 同
10、号 B ， 、 异号 0ab0cC ， 、 异号 D 、 、 同号七年级（上）-有理数运算讲义5【巩固】 若 三个数互不相等，则在 中，正数一定有( )abc， ， abcab， ，A 个 B 个 C 个 D 个0123：有理数除法有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数. ，( )1ab0两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.【例 17】 计算： 计算：11325 112035【巩固】 计算： ； 计算： .11()(2345605315()(.25)(3.4
11、()243【例 18】 用“”或“”填空 如果 ， 那么 0 ； 如果 ， 那么 0 .0abcb0abcac(3) 如果 ， ，试确定 的符号.ac【例 19】 观察下面的式子：2424;3131;245535116644， ， 小明归纳了上面各式得出一个猜想：两个有理数的积等于这两个有理数的和，小明的猜想正确吗？为什么？ 请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想七年级（上）-有理数运算讲义6【例 20】 已知 、 互为相反数， 、 互为负倒数， 的绝对值等于它相反数的 倍.abcdx2求 的值.3xcd【例 21】 计算： 11111()()()()()()2468035
12、79三、有理数的混合运算顺序（1） “先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。四、有理数的乘方：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power） 。a n中，a 叫做底数（base number） ，n叫做指数（exponent） 。根据有理数的乘法法则可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是 0。五、有理数常考经典计算题型一、应用定律【例 22】 计算： 1317105.2495.243.602 七年级（上）-有理数运算
13、讲义7二、应用公式【例 23】 计算： 计算：10397 248163212三、整体代换【例 24】 计算： 11111 2304203204230四、裂项【例 25】 计算： 111( )28824802684五、分离法【例 26】 计算： 131258642538【例 27】 1, 数轴的原点 上有一个蜗牛，第 次向正方向爬 个单位长度，紧接着第 次反向爬 个单位长度，O112第 次向正方向爬 个单位长度，第 次反向爬 个单位长度，依次规律爬下去，当它爬完第 次334 10处在 点B 求 、 两点之间的距离（用单位长度表示） 若点 与原点相距 个单位长度，蜗牛的速度为每分钟 个单位长度，需
14、要多少时间才能到达？C502 若蜗牛的速度为每分钟 个单位长度，经过 小时蜗牛离 点多远？21O七年级（上）-有理数运算讲义8【例 28】 2, 在数学活动中，小明为了求 的值（结果用 表示） ，设计了如图所示的几23411.2nn何图形图2图1124 1231212 请你用这个几何图形求 的值23411.n 请你用图 2，再设计一个能求 的值的几何图形23.n【例 29】 3, 11()()().(1)_987960【例 30】 4, 如果 均为正数，且 ，那么 的值等于 abc， ， 5262170abcacab， ， abc【例 31】 5, 如果 ， ，且 ，试确定 、 、 的符号.0()0【例 32】 6, 计算： 5678432678432567【例 33】 7, 已知 ，试求 的2(1)|0ab11()(2)abab 1(204)()ab值
