1、 1【基础知识巩固】知识点 1. 一元二次方程概念只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程。1、判别下列方程是不是一元二次方程，(1)2x -x-3=0. (2) -y =0. (3) t =0. (4) x -x =1. (5) x -2y-1=0. 24y22322(6) -3=0. (7) =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1) . (9)3x - +6=0. (10)3x = -3. 2xx3 424x2、判断下列方程是否为一元二次方程： )0(0).7(6)213.5)4(.1)(.22的 常 数为 不 等 于mxcbaxyxx3、下列方程中
2、，关于 的一元二次方程是 （ ）x（A） （B） 21 210x（C） （D）0axbc 214、下列方程中，不是一元二次方程的是 （ ）（A）2x 2+7=0 （B）2x 2+2 x+1=03（C）5x 2+ +4=0 （D）3x 2+(1+x) +1=0x15、若关于 x 的方程 a(x1) 2=2x22 是一元二次方程，则 a 的值是 （ ）（A）2 （B）2 （C）0 （D）不等于 26、已知关于 的方程 ，当 时，方程为一次方程；当312pnm时，两根中有一个为零 。7、已知关于 的方程 ：x20x（1） m 为何值时方程为一元一次方程；（2） m 为何值时方程为一元二次方程。知识点
3、二.一元二次方程的一般形式2一元二次方程的一般形式是： ，其中 是二次项， 叫二次项系数； 是一次项，20axbca2xabx叫一次项系数， 是常数项。bc特别警示：（1） “ ”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；（2）二次项系数、一次项系数及0常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.2()09x2()510.x2(3)150x2(4)30x(5) (6)3)(32、关于 的方程 是一元二次方程，则 （ ）x2ax（A） （B） （C） （D）001a0a3、将下列一元二次方
4、程化成一般形式，并找出a、b、c的值.(1) ；245x(2) 831x4、方程（m 21）x 2mx 50 是关于 x 的一元二次方程，则 m 满足的条件是（ ）（A）m1 （B）m0 （C）|m|1 （D）m15、关于 的方程 中 是 ； 是 ； 是 。632xabc6、方程 的一般形式为 。49525x7、方程(m-5)(m-3)x +(m-3)x+5=0 中，当 m 为何值时，此方程为一元二次方程?2m知识点三.一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。1、已知方程 的一个根是 1，则 m 的值是 。2390xm2、已知 是一元二次方程 的一个解，则 m 的值
5、是 （ ）20x（A）1 （B）0 （C）0 或 1 （D） 0a3、若 是一元二次方程 的一个根，则 。x2abb4、实数 是方程 的根 （ ）cb24（A） （B）0xa 02cbxa（C） （D） 35、设 是一元二次方程 的较大根， 是 较小根，那么a052xb0232xba的值是 （ ）（A）-4 （B）-3 （C ）1 （D ）26、已知关于 的一元二次方程 的一个解与方程 的解相同。x2k13x（1） 求 的值；k（2） 求方程 的另一个解。207、设 是关于 的一元二次方程 的两个根， 是关于 的一元二次方程12,xx20xpq12,xx的两个根，则 的值分别等于多少？20qp
6、,q知识点四.一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：（1）直接开平方法：如果 ，则 .20xkxk利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知， 是 b 的平方根，当 时， ，bax2)( ax0bbax，当 b0 时，方程没有实数根。（2）配方法：要先把二次项系数化为 1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；配方法的理论根据是完全平方公式 ，把公式中的 a 看做未知数 x，并用 x 代替，则有222)(baa。222)(bxbx配方
7、法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为 1，再同时加上 1 次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式4（3）公式法：一元二次方程 的求根公式是 ；20axbca24bacx20b公 式 法 适 用 于 任 何 一 元 二 次 方 程 （ 有 人 称 之 为 万 能 法 ） ， 在 使 用 公 式 法 时 ， 一 定 要 把 原 方 程 化 成 一 般 形 式 ，以 便 确 定 系 数 ， 而 且 在 用 公 式 前 应 先 计 算 根 的 判 别 式 的 值 ， 以 便 判 断 方 程 是 否 有 解 。 （4）因式分解法：如果 则 。0xab12,xab分解因式法的步骤
8、：把方程右边化为 0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。1、方程 的解是： （ ）250x（A） （B） 12 125x（C） （D）,x ,2、方程 的解是： （ ）20（A） （B） 12x 12,3x（C） （D）, 03、方程 的较简便的解法应选用 。2515xx4、解下列方程：（1） （2） （3）23230x230x5开平方法解下列方程：012x 289)3(169x 03612y50)31(2
9、m85)13(22x6配方法解方程：052x 0152y 342y7公式法解下列方程：2632xp32y1722592n 3)12(xx8因式分解法解下列方程：09412x 0452y 03182x0217x 62362xx 1)5(2)(x608)3(2)3(2xx9用适当方法解下列方程：128)72(x 22)(1mm)3(2)(6xx 3)1(2)3(2 yy22)3(14)5(8xx10、解下列方程：yy321231x225)3(x722263yy223mxx12122xx 230x02412mxx知识点五.一元二次方程根的判别式对于一元二次方程 的根的判别式是 ：20axbca24b
10、ac（1） 当 时，方程有两个不相等的实数根；24b（2） 当 时，方程有两个相等的实数根；0ac（3） 当 时，方程无实数根。2温馨提示：若方程有实数根，则有 。240bac1、已知方程 有两个不相等的实数根，则 k= 。230xk2、关于 的一元二次方程 两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 （ ）21x（A） （B） （C） （D）k0k10k且3、在下列方程中，有实数根 的是 （ ）（A） （B） 210x4x（C） （D）3 14、当 m 满足何条件时，方程 有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？0912mxx85、关于 的方程 无实根，试解关于 的方程 。x0522mxx0
11、252mxxm6、已知关于 的一元二次方程 ，求证：不论 m 为任何实数，方程总有两个不相等的实x24120xmx数根。7、将一条长 20m 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。（1） 要使这两个正方形的面积之和等于 17 平方米，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2） 两个正方形的面积之和可能等于 12 平方米吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。知识点六.一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程 的两个实数根为 ，则 。 （韦达定理）20axbca12,x1212,bcxa温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。1、关于 的一
12、元二次方程 的两个实数根分别是 ，且满足 ，则 k 的值为： x22430xk12,x121x（ ）（A） （B） （C） （D）不存在34或 12、已知 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则,x2230xmx1m 的值是 （ ）9（A）3 或-1 （B） 3 （C）1 （D）-3 或 13、关于 的一元二次方程 有两个实数根 ，且 ，则 m 的取值范围是 x20xm12,x224x（ ）（A） （B） （C） （D）5m53534、方程 与方程 的所有根的乘积是 2360x2630x5、两个不相等的实数 m,n 满足 ，则 mn 的值为 。24,6mn6、设 是关于 的
13、方程 的两个根，且满足 ，求 m 的值。12,xx210x123x7、已知：ABC 的两边 AB、AC 的长是关于 的一元二次方程 的两个实数根，第x2230xkxk三边 BC 的长为 5，问：k 取何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？知识点七.一元二次方程的实际应用列一元二方程解应用题的一般步骤：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案。在检验时，应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。1、某商品原价每件 25 元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件 16 元，则该玩具平均每次降价的百分率是 。2、有一个两位数，十位数字比个位数字大 3，而此两
14、位数比这两个数字之积的二倍多 5，求这个两位数。3、一块长方形铁皮的长是宽的倍，四角各截去一个正方形，制成高是cm，容积是cm 3 的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。104、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒 200 元下调至128 元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？5、一根长22cm的铁丝（1）能否围成面积是30cm 2的矩形？（2）能否围成面积是 32 cm2 的矩形？并说明理由6、西瓜经营户以 2 元 千克的价格购进一批小型西瓜，以 3 元 千克的价格出售，每天可售出 200 千克，为了促销，/ /该经营户决定降价，经调查发现，这种小西瓜每降价 0.1 元 千克，每天可多售出 40 千克，另外，每天的房租等固定成本共 24 元，该经营户要想每天盈利 200 元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？7、在矩形 ABCD 中，AB=6cm ，BC=3cm。点 P 沿边 AB 从点 A 开始向点 B 以 2cm/s 的速度移动，点 Q 沿边 DA 从11点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动。如果 P、Q 同时出发，用 t（s）表示移动的时间（0t3） 。那么，当 t 为何值时，QAP 的面积等于 2cm2? QPDCBA
