1、一元二次方程知识点的总结知识结构梳理（1）含有 个未知数。（2）未知数的最高次数是 1、概念 （3）是 方程。（4）一元二次方程的一般形式是 。（1） 法，适用于能化为 0)2nmx的一元。二次方程（2） 法，即把方程变形为 ab=0 的形式，2、解法 （a，b 为两个因式）, 则 a=0 或 （3） 法（4） 法，其中求根公式是 当 时，方程有两个不相等的实数根。（5） 当 时，方程有两个相等的实数根。当 时，方程有没有的实数根。可用于解某些求值题（1） 一元二次方程的应用 （2） （3） 可用于解决实际问题的步骤 （4） （5） （6） 一元二次方程知识点归类建立一元二次方程模型知识点一
2、一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为 0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：方程是整式方程。它只含有一个未知数。未知数的最高次数是 2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。例 下列关于 的方程，哪些是一元二次方程？x ； ；（3） ；（4） ；（5）352062x5x02x1)(2x知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为 （a，b，c 是已知数， ） 。其中02xa 0aa，b，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都
3、包括它前面的符号。（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。（3）形如 不一定是一元二次方程，当且仅当 时是一元二次02cbxa 0a方程。例 1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。（1） ； （2） ； （3）x7528x234xx例 2 已知关于 的方程 是一元二次方程时，则 02112mm知识点三 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当 时，2x所以 是 方程的解。一元二次方程的解也叫一032x2x3x元二次方程的根。知识点四 建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤
4、是：审题、设未知数、列方程。注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。例 如图（1） ，有一个面积为 150的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长 18m） ，另三边用竹篱笆围成，若竹篱笆的长为 35m，求鸡场的长和宽各为多少？ 鸡场（只设未知数，列出方程，并将它化成一般形式。 ）因式分解法、直接开平方法知识点一 因式分解法解一元二次方程如果两个因式的积等于 0，那么这两个方程中至少有一个等于 0，即若 pq=0 时，则 p=0或 q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为 0；（2）将
5、方程左边分解成两个一次因式的乘积。 （3）令每个因式分别为 0，得两个一元一次方程。 （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。关键点：（1）要将方程右边化为 0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。例 用因式分解法解下列方程：（1） ； （2） ； （3）x452 025)3(2x。296x知识点二 直接开平方法解一元二次方程若 ，则 叫做 a 的平方根，表示为 ，这种解一元二次方02axax程的方法叫做直接开平方法。（1） 的解是 ；（2） 的解是2x02nm；（3） 的解是 。mn,0ccnx且 mncx例 用直接开平
6、方法解下列一元二次方程（1） ； （2） ； （3）01692x165222135知识点三 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程形如 的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平2kba方法解。例 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。（1） ； （2）036542x0312x知识点四 用提公因式法解一元二次方程把方程左边的多项式（方程右边为 0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若 pq=0 时，则 p=0 或 q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。如： ，将原方程变形为 ，由此可得出0201.t 021.t0,21tt， 即或注意：在解方
7、程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。知识点五 形如“ ”的方程的解法。为 常 数baxbax,02对于形如“ ”的方程（或通过整理符合为 常 数其形式的） ，可将左边分解因式，方程变形为 ，则0x，即 。0bxax或 bxa21,注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“”型方程的特征。为 常 数,2例 解下列方程：（1） ； （2）0652x 0122x配方法知识点一 配方法解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样
8、解一元二次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解一元二次方程 ，当对方程的左边配方时，一02qpx定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。例 用配方法解下列方程：（1） ； （2）0562x 272x知识点二 用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程的步骤：（1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；（2） 把原方程变为 的形式。nmx2（3） 若 ，用直接开平方法求出 的值，若 n0，原方程无解。0nx例 解下列方程： 0342知识点三 用配方法解二次项系数不是 1 的一元二次方程当一元二次方程的形式为
9、时，用配方法解一元二1,02acbxa次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为 1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；(2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为 的形式；nmx2（3）若 ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。0例 用配方法解下列方程：（1） ； （2）292x 0342x公式法知识点一 一元二次方程的求根公式一元二次方程 的求根公式是：02acbxa acbx24用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值 （注意符号） ；（2）求出02cbxa cb.,的值；（ 3）若 ，则 把及 的值代人求根公式404
10、2acbac42，求出 。acbx221,x例 用公式法解下列方程（1） ； （2） ； （3）032x012x52x知识点二 选择适合的方法解一元二次方程直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程因式分解要求方程右边必须是 0，左边能分解因式；公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。例 用适当的方法解下列一元二次方程：（1） ；（2） ；（3）2393xx
11、 0682x0)1(知识点三 一元二次方程根的判别式一元二次方程 根的判别式 =02acbxa acb42运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：（1） = 0 方程有两个不相等的实数根；42（2） = =0 方程有两个相等的实数根；acb（3） = 0 方程没有实数根；2利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：把所有一元二次方程化为一般形式；确定 的值；计算 的值；根据 的符号cba., acb42acb42判定方程根的情况。例 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：（1） ；（2） ；（3）0532x25092x0162x知识点四 根的判别式的逆用在方程 中，2
12、acba（1）方程有两个不相等的实数根 0acb42（2）方程有两个相等的实数根 =0（3）方程没有实数根 0c2注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为 0 这一条件。例 为何值时，方程 的根满足下列情况：m0324122mx（1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根；知识点五 一元二次方程的根与系数的关系若 是一元二次方程 的两个根，则有 ， 21,x02acbxa abx21ab根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：（1） （2）212121 xxx 2121xx（3） ；212121)( aa（4） =
13、 =xx214x例 已知方程 的两根为 ，不解方程，求下列各式的值。0352,（1） ； （2） 。21x21x知识点六 根据代数式的关系列一元二次方程利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程） ，然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。例 当 取什么值时，代数式 与代数式 的值相等？x 062x23x一元二次方程的应用知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤（1） 审题， （2）设未知数， （3）列方程， （4）解方程， （5）检验， （6）作答。关键点：找出题中的等量关系。知识点二 用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题增长率问
14、题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为 a，增长率 为，则一次增长后的值为 ，两次增长后的值为 ；（2）若基xxa11x数为 a，降低率 为，则一次降低后的值为 ，两次降低后的值为 。xxa121x例 某农场粮食产量在两年内由 3000 吨增加到 3630 吨，设这两年的年平均增长率为 ，列出关于 的方程为 知识点三 用一元二次方程解与市场经济有关的问题与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价进货价）进货价100%；（3）销售额=售价销售量例 某商店如果将进货价为 8 元的商品每件 10
15、 元售出，每天可售 200 件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价 0.5 元，其销量减少 10 件。（1）要使每天获得 700 元，请你帮忙确定售价。（2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。第二章 一元二次方程（补充）只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为 （a 、b、c 为02bxa常数，a0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。把 （a 、 b、c 为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式，02cbxa 为二次项系数； b 为一次项系数； c 为常数项。解一元二次方程的方法：配方法 0)(2mx公式法 （注意在找 abc 时须先把方程化
16、为abx24一般形式）分解因式法 把方程的一边变成 0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。 （主要包括“提公因式”和“十字相乘” ）根与系数的关系：当 b2-4ac0 时，方程有两个不等的实数根；当 b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；当 b2-4ac0 时，方程无实数根。如果一元二次方程 的两根分别为 x1、x 2，则有：0cxa。x2121一元二次方程的根与系数的关系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根 x1、x 2 的对称式的值，特别注意以下公式： 22121)(xx 2121xx2121214)( )(| xxx|)|( 21212121 其他能用 或 表达的)(3)(32 xxx21x1代数式。（3）已知方程的两根 x1、x 2，可以构造一元二次方程：0)(21221xx（4）已知两数 x1、x 2 的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程 的根0)(212x在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为 x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑） ；寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程） 。处理问题的过程可以进一步概括为： 解 答检 验求 解方 程抽 象分 析问 题
