1、直线和圆锥曲线常考题型直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点 对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组；（3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式（
2、5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换（7）x,y，k(斜率)的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等运用的知识：1、中点坐标公式： ，其中 是点 的中点坐标。1212,yx,xy12(,)(,)AxyB，2、弦长公式：若点 在直线 上，12()()AB， 0kb则 ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，12ykxbykxb， 222221111()()()()()ABxkxkx2214kx或者 22222111112()()()()()yxyykk。21122()4yk3、两条直线 垂直：则1122:,:lkxblykxb12k两条直线垂直，则直
3、线所在的向量 10vA4、韦达定理：若一元二次方程 有两个不同的根 ，则 。2()axca12,x1212,bcxa常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题 1、已知直线 与椭圆 始终有交点，求 的取值范围:1lykx2:14xyCmm思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1） ，椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0） ，和动点 。0),4m（ ， 且解：根据直线 的方程可知，直线恒过定点（0，1） ，椭圆 过动点 ，如:lykx 2:14xyCm),（ ， 且果直线 和椭圆 始终有交点，则 ，即 。:l 2:4yCm1， 且 4且规律提示：通过直线的代数形式，可以
4、看出直线的特点： :101lykx过 定 点 （ ， ）()过 定 点 （ ， ）:2lykx过 定 点 （ ， 2）证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。练习：1、过点 P(3,2) 和抛物线 只有一个公共点的直线有（ ）条。3xyA4 B3 C2 D1分析：作出抛物线 ，判断点 P(3,2)相对抛物线的位置。232xy解：抛物线 如图，点 P（3，2）在抛物线的内部， 根据过抛物线内一点和232xy抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点 P(3,2) 和抛物线 只有一个公共232xy点的直线有一条。故选择 D规律提示：含焦点的区域为圆
5、锥曲线的内部。 （这里可以用公司的设备画图）一、过一定点 P 和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点 P 在抛物线外，则过点 P 和抛物线只有一个公共点的直线有 3 条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（2）若定点 P 在抛物线上，则过点 P 和抛物线只有一个公共点的直线有 2 条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（3）若定点 P 在抛物线内，则过点 P 和抛物线只有一个公共点的直线有 1 条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。二、过定点 P 和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点 P 在双曲线内，则过点 P 和双曲线只有一个公共
6、点的直线有 2 条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；（2）若定点 P 在双曲线上，则过点 P 和双曲线只有一个公共点的直线有 3 条：一条切线，2 条和渐近线平行的直线；（3）若定点 P 在双曲线外且不在渐近线上，则过点 P 和双曲线只有一个公共点的直线有 4 条：2 条切线和 2 条和渐近线平行的直线；（4）若定点 P 在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点 P 和双曲线只有一个公共点的直线有2 条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；（5）若定点 P 在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点 P 和双曲线只有一个公共点的直线不存在。题型二：弦的垂直平分
7、线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式） 。例题 2、过点 T(-1,0)作直线 与曲线 N ： 交于 A、B 两点，在 x 轴上是否存在一点 E( ,0)，使得 是等l2yx 0xABE边三角形，若存在，求出 ；若不存在，请说明理由。0x分析：过点 T(-1,0)的直线和曲线 N ： 相交 A、B 两点，则直线的斜率存在且不等于 0，可以设直线的方程，2yx联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出 E 点
8、坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的 倍。运用弦长公式求弦长。32解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于 0。设直线 ， ， ， 。:(1)lykx01(,)Axy2(,)B由 消 y 整理，得22(1)0kxxk由直线和抛物线交于两点，得 242()1即 10k由韦达定理，得： 。212,kx12x则线段 AB 的中点为 。2(,)k线段的垂直平分线方程为： 21()2yxkk令 y=0,得 ，则02121(,0)E为正三角形，ABE到直线 AB 的距离 d 为 。21(,0)Ek32AB2211()ABxy224k21dk222341kA解得 满足式913k此时 。05x思维规律：直
9、线过定点设直线的斜率 k，利用韦达定理法，将弦的中点用 k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 倍，将 k 确定，进而求出 的坐标。320x例题 3、已知椭圆 的左焦点为 F， O 为坐标原点。12yx（）求过点 O、 F，并且与 相切的圆的方程；2（）设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、 B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围。分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和 x 轴
10、相交，则弦的斜率存在，且不等于 0，设出弦 AB 所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦 AB 的方程求出中点的总坐标，再有弦 AB 的斜率，得到线段 AB 的垂直平分线的方程，就可以得到点 G 的坐标。 解：(I) a 2=2，b 2=1，c=1，F(-1，0)，l:x=-2.圆过点 O、F,圆心 M 在直线 x=- 上21设 M(- )，则圆半径：r=|(- )-(-2)|=t,213由|OM|=r，得 ，解得 t= ，23)1(2t2所求圆的方程为(x+ )2+(y )2= .49(II)由题意可知，直线 AB 的斜率存在，且不等于 0,设直线 AB 的方程为 y=k(x
11、+1)(k0)，代入 +y2=1，整理得x(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0直线 AB 过椭圆的左焦点 F， 方程一定有两个不等实根,设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点 N(x0，y 0)，则 x1+x1=- ,4k2012(),102kykx AB 垂直平分线 NG 的方程为 )(100k令 y=0，得 2201Ckxky224 .01,0cxk点 G 横坐标的取值范围为（ ） 。,21技巧提示：直线过定点设直线的斜率 k，利用韦达定理，将弦的中点用 k 表示出来，韦达定理就是同类坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技巧。再利用
12、垂直关系将弦 AB 的垂直平分线方程写出来，就求出了横截距的坐标（关于 k 的函数） 。直线和圆锥曲线中参数的范围问题，就是函数的值域问题。练习 1：已知椭圆 )0(1:2bayxC过点 )23,1(，且离心率 21e。（）求椭圆方程；（）若直线 )(:kml与椭圆交于不同的两点 M、 N，且线段 的垂直平分线过定点 )0,81(G，求 k的取值范围。分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到 的关系式，再根据“过点 )23,1(”得到 的第 2 个关系式，解,ab,ab方程组，就可以解出 的值，确定椭圆方程。,ab第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出 的不等式，
13、再根据韦达定理，得出,km弦 MN 的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点 )0,81(G，得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为-1，可得 的等式，用 k 表示 m 再代入不等式，就可以求出 k 的取值范围。,km解：（） 离心率 21e， ，即 （1） ；2134ba2ba又椭圆过点 )3,(，则 ， （1）式代入上式，解得 ， ，椭圆方程为 。292423b2143xy（）设 ，弦 MN 的中点 A1,(,)MxyN0(,)xy由 得： ，234km2234841kxm直线 )0(:xyl与椭圆交于不同的两点，即 （1）226341)0k24
14、3k由韦达定理得： ，121228,3mkxx则 ，002 2244,3 4k mxykk直线 AG 的斜率为： ，22344138AGmkKk由直线 AG 和直线 MN 垂直可得： ，即 ，代入（1）式，可得2134A2348km，即 ，则 。2234()38k210k50k或老师支招：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为：，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门路。本题解决过程中运用了两大解题技巧：ykxm与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的
15、运用这两大解题技巧。练习 2、设 、 分别是椭圆 的左右焦点是否存在过点 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D，1F22154xy(5,0)A使得 ？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由2CD分析：由 得，点 C、D 关于过22 的直线对称，由2F直线 l 过的定点 A(5,0)不在 的内2154xy 部，可以设直线 l 的方程为： ，联立方程组，得一()yk 元二次方程，根据判别式，得出斜率 k 的取值范围，由韦达定 理得弦 CD 的中点M 的坐标，由点 M 和点 F1 的坐标，得斜率 为 ，解出 k 值，1看是否在判别式的取值范围内。解：假设存在直线满足题意，由题意知， 过
16、 A 的直线的斜率存在，且不等于。设直线 l 的方程为： ，C 、D ，CD 的中点 M 。(5),0ykx1(,)xy2(,)0(,)xy由 得： ，2(5)40ykx222(45)01k又直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D ，则 ，即 。22=(5)4(5)10)kk215k由韦达定理得： ，2121250,4kxx则 ，M( ， )。12002 225,()()445kkxyk 2k2045k又点 ，则直线 的斜率为 ，2F(,)2MF2220514MFkk根据 得： ，即 ，此方程无解，即 k 不存在，也就是不存在满足条件的直线。2CDMF21FkA251k老师提醒：通过以上 2
17、个例题和 2 个练习，我们可以看出，解决垂直平分线的问题，即对称问题分两步：第一步，有弦所在的直线和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程） ，通过判别式得不等式，由韦达定理得出弦中点的坐标；第二步是利用垂直关系，得出斜率之积为-1，或者是利用中点坐标和对称轴直线的斜率，写出垂直平分线的方程，就可以解决问题。需要注意的一点是，求出的参数一定要满足判别式。题型三：动弦过定点的问题圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。随着几何画板的开发，实现了机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几何
18、或代数性质，都如雨后春笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们在他们设好的路上“走”出来。下面我们就通过几个考题领略一下其风采。例题 4、已知椭圆 C： 的离心率为 ，且在 x 轴上的顶点分别为 A1(-2,0),A2(2,0)。21(0)xyab32（I）求椭圆的方程；（II）若直线 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 上异于点 T 的任一点，直线 PA1,PA2 分别与椭圆交于 M、N:(2)lxt l点，试问直线 MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点 A1、A 2 的坐标都知道，可以设直线 PA
19、1、PA 2 的方程，直线PA1 和椭圆交点是 A1(-2,0)和 M，通过韦达定理，可以求出点 M 的坐标，同理可以求出点 N 的坐标。动点 P 在直线上，相当于知道了点 P 的横坐标了，由直线 PA1、PA 2 的方程可以求出 P 点的纵坐标，得到两条直线的:(2)lxt斜率的关系，通过所求的 M、N 点的坐标，求出直线 MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解出的 t2，就可以了，否则就不存在。解：（I）由已知椭圆 C 的离心率 ， ,则得 。32cea3,1cb从而椭圆的方程为214xy（II）设 ， ，直线 的斜率为 ,则直线 的方程为 ，由 消 y1(,)M2(,)N1AM1k1AM
20、1(2)ykx12()4ykx整理得 21214640kxk是方程的两个根，和2164kx则 ， ，2118k12ky即点 M 的坐标为 ，12214(,)k同理，设直线 A2N 的斜率为 k2，则得点 N 的 坐标为2284(,)1k(,()ppytykt，12kt直线 MN 的方程为： ，121yyxx令 y=0，得 ，将点 M、N 的坐标代入，化简后得：212y 4xt又 ，t40t椭圆的焦点为 (3,)，即4t4t故当 时，MN 过椭圆的焦点。3t方法总结：本题由点 A1(-2,0)的横坐标2 是方程 的一个根，结合韦达定理运用同22121(4)640kxk类坐标变换，得到点 M 的横
21、坐标： ，2118x再利用直线 A1M 的方程通过同点的坐标变换，得点 M 的纵坐标： ；124ky其实由 消 y 整理得 ，得到 ，即 ，2()4ykx222(14)60kx2164kx2814kx很快。2241ky不过如果看到：将 中的 换下来， 前的系数 2 用2 换下来，就得点 N 的坐标2164kx12k用 1x，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量。2284(,)1k本题的关键是看到点 P 的双重身份：点 P 即 在直线 上也在直1AM线 A2N 上，进而得到，由直线 MN 的方程12kt 得直112yyxx线与 x 轴的交点，即横截距 ，21
22、2xy 将点 M、N 的坐标代入，化简易得 ，由 解出 ，到4t34t 此不要忘了考察是否满足 。3t另外：也可以直接设 P(t，y 0)，通过 A1，A 2 的坐标写出直线 PA1，PA 2 的直线方程，再分别和椭圆联立，通过韦达定理求出 M、N 的坐标，再写出直线 MN 的方程。再过点 F，求出 t 值。例题 5、 （07 山东理）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3；最小值为 1；（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 与椭圆 C 相交于 A，B 两点（A，B 不是左右顶点） ，且以 AB 为直径的圆过椭圆 Cmkxyl：的右顶点。求
23、证：直线 过定点，并求出该定点的坐标。分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，并mkxyl：且椭圆的右顶点和 A、B 的连线互相垂直，证明直线 过定点，就是通过垂直建立 k、m 的一次函数关系。l解（I）由题意设椭圆的标准方程为21(0)xyab，3,1ac2,13acb24xy（II）设 ，由 得12(,)(,)ABxy2341kxmy，2(34840km，22641(34)30mkk240km（注意：这一步是同类坐标变换）212128(),mxx（注意：这一步叫同点纵、横坐标间的2212121123(4)()()()kykkxx变换）以
24、AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 且 ，(,0)D1ADBk， ，121yx21124yxx，2223(4)(3)604mkmk，解得27160，且满足2,7k2340k当 时， ，直线过定点 与已知矛盾；m:()lyx(,)当 时， ，直线过定点7k27k2,07综上可知，直线 过定点，定点坐标为l(,).名师经验：在直线和圆锥曲线的位置关系题中，以弦为直径的圆经过某个点，就是“弦对定点张直角” ，也就是定点和弦的两端点连线互相垂直，得斜率之积为 ，建立等式。直线不过定点，也不知道斜率，设出 ，是1 mkxyl：经常用的一招，在第二讲中就遇到了这样设的直线。练习：直线 和抛物线 相交于 A、
25、B，以 AB 为直径的圆过抛物线的顶点，证明：直线mkxyl： 2ypx过定点，并求定点的坐标。l：分析：以 AB 为直径的圆过抛物线的顶点 O，则 OA OB，若设 ，则 ，再通过12(,)(,)xyB120xy，将条件转化为 ，再通22121211()()()ykxmkxmx 2()kmk过直线和抛物线联立，计算判别式后，可以得到 ， ，解出 k、m 的等式，就可以了。212解：设 ，由 得， ， （这里消 x 得到的）12(,)(,)AxyB2ykxp0yp则 （1）2480pmk由韦达定理，得： ，1212pmpyykk，则 ，212 2()mxkA以 AB 为直径的圆过抛物线的顶点
26、O，则 OA OB，即 ，120xy可得 ，则 ，212112()0yyyk2()kmpk即 ，又 ，则 ，且使（1）成立，20kmp此时 ，直线恒过点 。2()lyxkpx： (2,0)p名师指点：这个题是课本上的很经典的题，例题 5、 （07 山东理）就是在这个题的基础上，由出题人迁移得到的，解题思维都是一样的，因此只要能在平时，把我们腾飞学校老师讲解的内容理解透，在高考中考取 140 多分，应该不成问题。本题解决过程中，有一个消元技巧，就是直线和抛物线联立时，要消去一次项，计算量小一些，也运用了同类坐标变换韦达定理，同点纵、横坐标变换-直线方程的纵坐标表示横坐标。其实解析几何就这么点知识
27、，你发现了吗？题型四：过已知曲线上定点的弦的问题若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程） ，考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。例题 6、已知点 A、B、C 是椭圆 E： 上的三点，其中点 A 是椭圆的右顶点，直线21xyab(0)ab(23,0)BC 过椭圆的中心 O，且 ， ，如图。0BCA(I)求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程；(II)若椭圆 E 上存在两点 P、Q，使得直线 PC 与直线 QC 关于直线 对称，求直线 PQ 的斜率。3x解：(I) ，且
28、 BC 过椭圆的中心 O2BCAO0A2ACO又 (3,0)点 C 的坐标为 。(,)A 是椭圆的右顶点，(2,)，则椭圆方程为：3a21xyb将点 C 代入方程，得 ，(3,)24b椭圆 E 的方程为21xy(II) 直线 PC 与直线 QC 关于直线 对称，3x设直线 PC 的斜率为 ，则直线 QC 的斜率为 ，从而直线 PC 的方程为：kk，即3()ykx，1由 消 y，整理得：2()30ykx是方程的一个根，2(1)6(1)91830kxkx29833PxA即21()Pk同理可得： 2983(1)Qkx()3(1)PPQyxkxk()23PQxk 23(1)k2291839183()(
29、)PQkkx 236()k13PQyx则直线 PQ 的斜率为定值 。方法总结：本题第二问中，由“直线 PC 与直线 QC 关于直线 对称”得两直线的斜率互为相反数，设直线 PC 的3x斜率为 k，就得直线 QC 的斜率为-k。利用 是方程3的根，易得点 P 的横坐标：22(13)6(1)980xkxk，再将其中的 k 用-k 换下来，就得到了点 Q 的横坐标：298()Pk，这样计算量就减少了许多，在考场上就节省了大量的时间。213()Qxk接下来，如果分别利用直线 PC、QC 的方程通过坐标变换法将点 P、Q 的纵坐标也求出来，计算量会增加许多。直接计算 、 ，就降低了计算量。总之，本题有两
30、处是需要同学们好好想一想，如何解决此类问题，一PQyPx是过曲线上的点的直线和曲线相交，点的坐标是方程组消元后得到的方程的根；二是利用直线的斜率互为相反数，减少计算量，达到节省时间的目的。练习 1、已知椭圆 C： 的离心率为 ，且在 x 轴上的顶点分别为 A1(-2,0),A2(2,0)。21(0)xyab32（I）求椭圆的方程；（II）若直线 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 上异于点 T 的任一点，直线 PA1,PA2 分别与椭圆交于 M、N:(2)lxt l点，试问直线 MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。解：（I）由已知椭圆 C 的离心率 ， ,则得 。32cea3,1cb从
31、而椭圆的方程为214xy（II）设 ， ，直线 的斜率为 ,则直线 的方程为 ，由 消 y1(,)Mx2(,)N1AM1k1AM1(2)ykx12()4ykx整理得 22121(4)640kxk是方程的两个根12x和 21164k则 ， ，2118xk12ky即点 M 的坐标为 12214(,)k同理，设直线 A2N 的斜率为 k2，则得点 N 的坐标为2284(,)1k12(),()ppyktyt，21t直线 MN 的方程为： ，121yyxx令 y=0，得 ，将点 M、N 的坐标代入，化简后得：212y 4xt又 ，t40t椭圆的焦点为 (3,)，即4t4t故当 时，MN 过椭圆的焦点。3
32、t方法总结：本题由点 A1(-2,0)的横坐标2 是方程 的一个根，结合韦达定理得到22121(4)640kxk点 M 的横坐标：，利用直线 A1M 的方程通过坐标变换，得点 M 的纵坐标： ；21184kx 124ky再将 中的 换下来， 前的系数 2 用2 换下来，就得点 N 的坐标 ，如果在216k12k用 1x 2284(,)1k解题时，能看到这一点，计算量将减少许多，并且也不易出错，在这里减少计算量是本题的重点。否则，大家很容易陷入繁杂的运算中，并且算错，费时耗精力，希望同学们认真体会其中的精髓。本题的关键是看到点 P 的双重身份：点 P 即在直线 上也在直线 A2N 上，进而得到
33、，由直线 MN1AM12kt的方程 得直线与 x 轴的交点，即横截距 ，将点 M、N 的坐标代入，化简易得 ，121yyxx 212xy 4xt由 解出 ，到此不要忘了考察 是否满足 。43t4t 43tt练习 2、：（2009 辽宁卷文、理）已知，椭圆 C 以过点 A（1， 2） ，两个焦点为（1，0） （1，0） 。（1） 求椭圆 C 的方程；（2） E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。 分析：第一问中，知道焦点，则 ，再根据过点 A，通过解方程组，就可以求出 ，求出方程。第二问中，设出直线 AE
34、 的斜率 k，写出直线的方程，联立方程组，转化成一元二次方程，由韦达定理和点 A 的坐标，可以求出点 E 的坐标,将点 E 中的 k,用-k 换下来，就可以得到点 F 的坐标，通过计算 yE-yF，xE-xF，就可以求出直线EF 的斜率了解：（）由题意，c=1,可设椭圆方程为 ，将点 A 的坐标代入方程： ，解得 ， （舍去）所以椭圆方程为 。 （）设直线 AE 方程为： ，代入 得3(1)2ykx2143xy2(34)340kx设 , ,因为点 在椭圆上，所以yE()F3(1,)2A21ab2,ab21xya21914()a24224c23x234()1xFk8 分Ey又直线 AF 的斜率与
35、 AE 的斜率互为相反数，在上式中以K 代 K，可得234()1xFkEy所以直线 EF 的斜率 ()21FEFEykxkKx即直线 EF 的斜率为定值，其值为 。 12 分12老师总结：此类题的关键就是定点在曲线上，定点的坐标是方程的根，通过韦达定理，将动点的坐标求出，在根据斜率互为相反数，就可以直接求出第二动点的坐标，最后由斜率公式，可以求出斜率为定值。题型五：共线向量问题解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理-同类坐标变换，将问题解决。此类问题不难解决。例题 7、设过点 D(0,3)的直线交曲线 M： 于 P、Q 两点，且 ,求实数 的取值范围。21
36、94xyDPQl=url分析：由 可以得到 ，将 P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲线方程，解出点的坐标，用 表示出来。DPQl=ur123()yl=+- l解：设 P(x1,y1),Q(x2,y2),Qlr(x1,y1-3)= (x2,y2-3)即 123()xyl=+-方法一：方程组消元法又 P、Q 是椭圆 + =1 上的点29x4y2222194()(3)1xylll+= -=消去 x2，可得222(3)14yylll+-=-即 y2= 156l又 2 y2 2，Q2 23l-解之得： 15则实数 的取值范围是 。l 1,方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线 PQ 的方程为
37、： ，3,0ykx由 消 y 整理后，得23496ykx()540P、Q 是曲线 M 上的两点22()(9)kk21480即 95由韦达定理得： 12122445,9kxxk121()2254()(9)k即 2223641(1)9k由得 ，代入，整理得2095，23615()解之得 当直线 PQ 的斜率不存在，即 时，易知 或 。0x51总之实数 的取值范围是 。l 1,5方法总结：通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计
38、算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。例题 8：已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率为 241xy52（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若 ， ，求AF1BM2的值1分析：（07 福建理科）如图，已知点 （1，0） ，直线 l：x1，P 为平面上的动点，过 作直线 l 的垂线，垂足为点F P，且QPFQ（）求动点 的轨迹 C 的方程；（）过点 F 的直线交轨迹 C
39、 于 A、B 两点，交直线 l 于点 M，已知 ，求 的值。12,AFB12小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分 14 分.解法一：（）设点 ，则 ，由 得：()Pxy， (1)Qy， PFQA，化简得 .(10)22xAA， ， ， ， 2:4Cyx（）设直线 的方程为： B.()xmy设 ， ，又 ，1()A， 2()xy， 21Mm，联立方程组 ，消去 得：241xmy， ， x， ，故20y2()0124，由 ， 得：1MAF2B， ，整理得：112yym22y， ，1122m1212y12mA24
40、mA0解法二：（）由 得： ，QPFA()0FQPA，()()0，2PFQ所以点 的轨迹 是抛物线，由题意，轨迹 的方程为： .CC24yx（）由已知 ， ，得 .1MAF2B120A则： .2B过点 分别作准线 的垂线，垂足分别为 ， ，A， l 1AB则有： .1MAFB由得： ，即 .12120练习：设椭圆 )(:2ayxC的左、右焦点分别为 1F、 2，A 是椭圆 C 上的一点，且 021FA，坐标原点 O 到直线 1AF的距离为 |31O（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 Q 是椭圆 C 上的一点，过 Q 的直线 l 交 x 轴于点 )0,1(P，较 y 轴于点 M，若 QP2，求直
41、线 l 的方程山东 2006 理双曲线 C 与椭圆 有相同的焦点，直线 y= 为 C 的一条渐近线。2184xyx3（I） 求双曲线 C 的方程；(II)过点 P(0,4)的直线 ，交双曲线 C 于 A,B 两点，交 x 轴于 Q 点（ Q 点与 C 的顶点不重合） 。当l，且 时，求 Q 点的坐标。12QAB3821解：（）解法一：由题意知直线 的斜率 存在且不等于零。lk设 的方程： ，l 14,()yxy2(,)Bx则 4(,0)Qk1PA14(,)(,)xykk11 44()kyy在双曲线 上，1)(,AxC2211660k223.3k216(6)0k同理有： 221.k若 则直线 过
42、顶点，不合题意.20,kl 260,是二次方程 的两根.12,2(16)31kxk38k，24此时 .0,2所求 的坐标为 .Q(,0)解法二：由题意知直线 的斜率 存在且不等于零lk设 的方程， ，则 .l 124,(),()yxAyBx4(,0)Qk，1PQA分 的比为 .1由定比分点坐标公式得 1111144()0xkky下同解法一解法三：由题意知直线 的斜率 存在且不等于零lk设 的方程： ，则 .l 124,(),()yxAyBx4(,0)Qk，12PQ.12244(,)(,)(,)xyxykkk，12y， ，142又 ，128312y即 123()y将 代入 得4ykx322(3)
43、80yk，否则 与渐近线平行。0kl。2121243,3kyy228kk(,0)Q解法四：由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等于零，设 的方程： ，l4ykx12(,)(,)AyBx则 4(,0)Qk,1PA。14(,)(,)xykk11xk同理 124.121283kx即 （*）25()0又 2413ykx消去 y 得 .2()890kx当 时，则直线 l 与双曲线得渐近线平行，不合题意， 。0 230k由韦达定理有： 122839kx代入（*）式得 24,k所求 Q 点的坐标为 。(0)练习：已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率等于 。
44、24xy25（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）点 P 为椭圆上一点，弦 PA、PB 分别过焦点 F1、F 2， （PA、PB 都不与 x 轴垂直，其点 P 的纵坐标不为 0） ，若，求 的值。12,PFAFB12解：（1）设椭圆 C 的方程为： ，则 b=1，由 ，得 ，则椭圆的方2(0)xyab224115bea25a程为：215xy（2）由 得： ，设 ，212(,0)(,F012(,)(,)(,)PxyABxy有 得：12,PFAB011022(2,)(,)(,)(,)xyxyxyxy解得： ，0012,根据 PA、PB 都不与 x 轴垂直，且 ，设直线 PA 的方程为： ，代人 ，整
45、理后，得：0y0(2)yx215xy2220000()54()xy根据韦达定理，得： ，则 ，0120()5yx012()5yx从而， 201y同理可求 202()5xyy则 222120000() (5)4xy由 为椭圆 上一点得： ，0,Pxy215xy20则 ，128故 的值为 18.题型六：面积问题例题 8、 （07 陕西理）已知椭圆 C： （a b0）的离心率为 短轴一个端点到右焦点的距离为 。12yx ,363（）求椭圆 C 的方程；（）设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 ，求AOB 面积的最大值。23解：（）设椭圆的半焦距为 ，依题意c63ca， 所求椭圆方程为 。1b213xy（）设 ， 。1()Axy， 2()B，（1）当 轴时， 。 3（2）当 与 轴不垂直时，x设直线 的方程为 。ABykm由已知 ，得 。231k2(1)4把 代入椭圆方程，整理得 ，yxm22(3)630kxkm， 。12631k21x2221()ABk222361()()km222221()3)()931mkk。242 12(0)34961696k当且仅当 ，即 时等号成立。当 时， ，219k3k0k3AB综上所述 。maxAB当 最大时，
