1、第 1 页 共 16 页圆锥曲线典型例题1 已知线段 AB=6，直线 AM，BM 相交于 M，且它们的斜率之积是 ，求点 M 的轨迹方程49【解析】：以 AB 所在直线为 x 轴，AB 垂直平分线为 y 轴建立如图坐标系则 A（-3，0） ，B（3，0） ，设点 M 的坐标为 ，则直线 AM 的斜率 直线 BM 的斜率(,)y(3)Akx3Akx由已知有 4(3)9x化简，整理得点 M 的轨迹方程为21(3)4yx2 求到两个定点 的距离之比等于 2 的点的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j )0,1(,2BA【解析】：设 为所求轨迹上任一点，则有,yx MBA042)
2、1( 22yxyx3 设F 1、F 2分别是椭圆 14的左、右焦点(1)若P是该椭圆上的一个动点 ,求 2PF的最大值和最小值;(2)设过定点M(0,2)的直线 l与椭圆交于不同的两点A B,且AOB为锐角( 其中O为坐标原点),求直线l的斜率 k的取值范围【解析】解法一:(1)易知 2a, 1b, 3c所以 )0 3(F1，, ) (， ,设P )(yx， ,则P2yx ， )83(41222yx因为 ，,故当 0,即点 P为椭圆短轴端点时, 21PF有最小值-2;当 2x,即点P 为椭圆长轴端点时, 有最大值1解法二:(1)易知 a, b, 3c,所以 ) 3(F1，, )0 (2， ,设
3、P )(yx， ,则211osF第 2 页 共 16 页2112221PFPF 3)3()3( 2yxyxyx(以下同解法一)(2)显然直线 0不满足题设条件 可设直线 l: 2k,A( 1， ),B( 2， )联立 142yx,消去 y,整理得 : 034(kxk 21k, 41321kx由 0)4()( 得: 23或 k又 0OBAcos90AOB0 21yx又 4)()( 2121121 xkxky48432k 0122,即 k, 2k故由得 3或 24一束光线从点 出发,经直线 上一点 反射后,恰好穿过点 .1(0)F:30lxyD2(1,0)F(1)求以 、 为焦点且过点 的椭圆 的
4、方程;2DC(2)从椭圆 上一点 M 向以短轴为直径的圆引两条切线 ,切点分别为 AB,直线 AB 与 x 轴、y 轴分别C交于点 P、Q. 求 的最小值|【解析】：设点 关于直线 的对称点 , 1F:230lxy1()Fmn则 ,解得 , 230nm95mn12(,) ,根据椭圆的定义,得 = = = , 1|PFa12|PF12|F229(1)(0)5第 3 页 共 16 页 , , . 2a1c21b椭圆 的方程为 . Cxy(2)设 , , , 0()M1()A2()B则 ,切线 AM、BM 方程分别为 , , 20xy1xy21xy切线 AM、BM 都经过点 , , . 0()y10
5、20直线 AB 方程为 , 0x 、 , 01(,)Py0()Q, 222 2002001131| ()() ()xxyyx 当且仅当 时,上式等号成立 . y 的最小值为 . |PQ25已知椭圆 : 的离心率 ,且经过点 .C21xyab012为 P31 2，(1)求椭圆 的方程;(2)设 是椭圆 的左焦点,判断以 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系 ,并说明理由.FPF【解析】(1)椭圆 的离心率为 ,且经过点 ,21xyab(0)1231 2， 即 解得22,19.4ab234,9.24,3.ab椭圆 的方程为 . C213xy(2) , , .22cab椭圆 的左焦点坐标为 .
6、 0，以椭圆 的长轴为直径的圆的方程为 ,圆心坐标是 ,半径为2.24xy 0 ，以 为直径的圆的方程为 ,圆心坐标是 ,半径为 . PF2351634，5第 4 页 共 16 页O xyF2F1M两圆心之间的距离为 ,223500= 44故以 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切. PF6已知圆 ，定点 .动圆 M 过点 F2，且与圆 F1 相内切.21:()16Fxy2(,0)F（1）求点 M 的轨迹 C 的方程；（2）若过原点的直线 l 与（ 1）中的曲线 C 交于 A,B 两点，且ABF 1 的面积为 ，求直线 l 的方32程.【解析】：（1）设圆 M 的半径为 r因为圆 M 与圆 F
7、1 相内切，所以 MF14r因为圆 M 过点 F2，所以 MF2r所以 MF14MF 2，即 MF1MF 24所以点 M 的轨迹 C 是以 F1，F 2 为焦点的椭圆且此椭圆的方程形式为 1(ab0) x2a2 y2b2其中 2a4，c1，所以 a2，b 3所以曲线 C 的方程 1 x24 y23（2） （方法一）当直线 l 的斜率不存在时， A，B 两点的坐标分别是(0， )，(0， )，3 3此时 SABF ，不合题意 1 3设直线 l 的方程为 ykx ( k0)，代入椭圆方程 1，得 y1 ，x24 y23y2 所以 SABF S AOF S BOF OF1y 1 OF1y 2 OF1
8、(y1y 2) 1 1 1 12 12 12因为 SABF ，所以 解得 k 1 12故所求直线 l 的方程为 x2y0 （方法二）因为直线 l 过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，S ABF 2S AOF 1 1因为 SABF ，所以 SAOF 1 1不妨设点 A(x1，y 1)在 x 轴上方，则 SAOF OF1y1 1 12所以 y1 ，x 1 ，即点 A 的坐标为( ， )或( ， ) 3 3 3O xyF2F1M第 5 页 共 16 页所以直线 l 的斜率为 12故所求的直线 l 的方程为 x2y0 （方法三）当直线 l 的斜率不存在时， A，B 两点的坐标分别是(0， )，(0， )
9、，3 3此时 SABF ，不合题意 1 3设直线 l 的方程为 ykx ( k0)，代入椭圆方程 1，得 ，x24 y23 2143xk所以 ，22143ABx到直线 AB 的距离 d= ,1F2k所以 SABF =2 1 ABd234k所以 解得 k 12故所求直线 l 的方程为 x2y0 7已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在 轴上，椭圆的两个焦点与短轴的两个端点组成一个边长为x的正方形2(1) 求椭圆的方程；(2) 直线 过点 且与椭圆相交于 AB 两点，当 AOB 面积取得最大值时，求直线 的方程l)2,0(P l【解析】：（） ，1cb2a所求椭圆方程为 .2xy（）解法一：由题意知
10、直线 的斜率存在，设直线 的方程为ll 122,(),()ykxAyBx由 ，消去 y 得关于 x 的方程：21ykx 2(1)860kx解得0)2(4602kk232221211|()4ABxxx2164k原点 到直线 的距离Ol2dk第 6 页 共 16 页221314621kkdABSO 解法 1：对 两边平方整理得 （*）2 2422()40SkS ，0S得2226(4)(4)0,04SS 21S又 ， ，从而 的最大值为 ，S2SAOBS2S此时代入方程（*）得 42890k14k所以，所求直线方程为： 14xy解法 2：令 ， 则23(0)mk23km24S当且仅当 即 时，m2m
11、ax2S此时 . 所求直线方程为 14k140y解法二：设直线 l 的方程为 ，122,(),()ykxABx则直线 l 与 x 轴的交点 ，由解法一知(,0)D3k解法 1： 1212| |2AOBSyx= .12|x2114)(xx264k23k下同解法一.解法 2： =POABAOSS 21|x21|x2k第 7 页 共 16 页下同解法一.8椭圆的中心原点 O，焦点在 y轴上，离心率 63e，过 (0,1)P的直线 l与椭圆交于 A、 B两点，且2APB，求 A面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程 【解析】：设椭圆的方程为),0(12baxy直线 l的方程为 1kxy， ),(),(2
12、1yxBA、 2231,36ace，则椭圆方程可化为 32by即 223b， 联立 12kxyb得 01)(22kx （*） 有 ,3221而由已知 PBA有 21x，代入得 223k 所以 |3|23| 21 kxxOPSAB ， 当且仅当 3k时取等号 由 22x得 x，将 3,3xk代入（*）式得 352b 所以 AOB面积的最大值为 2，取得最大值时椭圆的方程为 152xy9已知椭圆 的左焦点为 ，左右顶点分别为 ，上顶点为 ，过 三1,02byxFAC、 BCF,点作圆 ，其中圆心 的坐标为Pnm,（1）当 时，椭圆的离心率的取值范围nm（2）直线 能否和圆 相切？证明你的结论ABP
13、【解析】：（1）由题意 的中垂线方程分别为 ，CF, 21,21xbycx于是圆心坐标为 bc2,1= ，即 即 所以 ， nmc0cb20cb10bc第 8 页 共 16 页于是 即 ，所以 即 2bc2a2c2e10e2（2）假设相切， 则 ， PBAk， 22 2, 11(1)0PBABPBAcbbbbck ka这与 矛盾. 22,0,ccc即 0故直线 不能与圆 相切 AP10设 为直角坐标系内 轴正方向的单位向量，jiRyx,yx, ,)2(jyixa，且 。b)2(8|ba（1）求点 的轨迹 的方程；,yxMC（2）过点 做直线 交轨迹 于 两点，设 ，当四边形 为矩形时，)3,0
14、(LBA, OBAPAPB求出直线 的方程.【解析】：（1）由 知，8|,)2(,)2(bajyxibjyxia且点 到两定点 的距离之和为定值 8，又 84),(yx0,1F所以 的轨迹为以 为焦点椭圆，M),(2故方程为 162yx（2）当 为 轴时， 重合，不合题意，故设直线的斜率为 ，方程为LCOP, L3kxy联立方程组： ),(),(21yxBA3162kxy得 018)34(2k则 ， (*) 221x234kx因为 ，四边形 为矩形，OBAPAP所以 0,21yx即第 9 页 共 16 页即 (*) 式代入得 09)(3)1(2122 xkxk 45k故当四边形 为矩形时，直线
15、 : OAPBL345xy11已知椭圆 E 的焦点在 轴上，长轴长为 4，离心率为 。x2（1）求此椭圆 E 的标准方程；（2）已知点 和直线 ： ，线段 AB 是椭圆 E 的一条弦且直线 垂直平分弦 AB，求)1,0(Almxyl实数 的值。m【解析】：（1）设椭圆的标准方程 12ba)0(由条件知： ， ，23,acc22ca故所求的椭圆方程为： 。14yx（2）由条件可得 AB 所在直线的方程为 ，代入椭圆方程得：x4)1(22x即 ，解得 ， 。085x58Bx531By设 AB 的中点为 M，则 ，4M由点 M 在直线 上，lm1解得： 。53m12已知平面上一个定点 C（ 1，0）
16、和一条定直线 L：x=4，P 为该平面上一动点，作 PQL，垂足为，Q(2)(2).PQP（1）求点 P 的轨迹方程；（2）求 的取值范围【解析】：（）由 ， (2)(2)0C22|4|PQC设 P（x，y） ，得 ， ，|4|1xy31xy 点 P 的轨迹方程为 23（）设 P（x，y） ， ， (4,0)Qx(1,)PCxy第 10 页 共 16 页2259(4,0)(1,)4()4PQCxyxx由 ，故有 2,x,8PQC13已知 21F,是椭圆21(0)xyab的两个焦点， O为坐标原点，点 )2,1(P在椭圆上，且021P， O是以 21F为直径的圆，直线 l： mkxy与 相切，并
17、且与椭圆交于不同的两点 .,BA（I）求椭圆的标准方程；（II）当 ，且满足 432时，求弦长 |AB的取值范围【解析】:（I）依题意，可知 21FP， 22,1,1cbaac ，解得 1,2cba椭圆的方程为 .yx（II）直线 l： mk与 21Oxy，相切，则 12km，即 12k，由 kxy12，得 0422k，直线 l与椭圆交于不同的两点 .,BA设 .y,x,21 002k,， ,mx,x221214 22212121121+()mkykkx， 221yxOBA 431322k 12k，第 11 页 共 16 页 22114ABkxx421k设 42()u，则 3u， 13|=,2
18、42(4)uABu- |AB在 3,上单调递增 6|2314设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，A 是椭圆 C 上的一点，且)0(12:ayxC1F2，坐标原点 O 到直线 的距离为 012FA1A|31O（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 Q 是椭圆 C 上的一点，过 Q 的直线 l 交 x 轴于点 ，较 y 轴于点 M，若 ，)0,(PQP2求直线 l 的方程【解析】：（1）由题设知 ),2(,)02(21aFaF由于 ，则有 ，所以点 A 的坐标为 ，021AFA)2,(2a故 所在直线方程为 ， 1 )12(axy所以坐标原点 O 到直线 的距离为 ，1AF)2(12又 ，所以 ，解得
19、，2|1aF32aa )2(a所求椭圆的方程为 14yx（2）由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ，则有 ，)1(xky),0(kM设 ，由于 ，),(1yxQQPM2 ，解得 ),(1yxk 3,211yx又 Q 在椭圆 C 上，得 ，解得 ， 23(4k4k故直线 l 的方程为 或 ， )1(xy)1(4xy即 或 0x40第 12 页 共 16 页15已知椭圆 C 的中心在原点，焦点 、 在 x 轴上，点 P 为椭圆上的一个动点，且 的最大值1F2 12FP为 90，直线 l 过左焦点 与椭圆交于1AB 两点， 的面积最大值为 122（1）求椭圆 C 的离心率；（2）求椭
20、圆 C 的方程。【解析】：（1）设 , 对 由余弦定理, 得1212|,|,|PFrFc12PF12 22 112124()44cos ()rcracrr，解出 0e.e（2）考虑直线 的斜率的存在性，可分两种情况：li) 当 k 存在时，设 l 的方程为 ()ykxc椭圆方程为212,(),xyABab由 得 .e2c于是椭圆方程可转化为 20xyc将代入 ，消去 得 ,2()k整理为 的一元二次方程，得 .x 214(1)0xkc则 、 是上述方程的两根且 ，12212|，1()|cABkxkAB 边上的高 222|sin,1hFB21|()1kScc242224|.1kkccii) 当
21、k 不存在时，把直线 代入椭圆方程得x22,|,ycABSc第 13 页 共 16 页由知 S 的最大值为 由题意得 =12 所以 2c2c226cb1a故当 面积最大时椭圆的方程为： 2ABF1.xy下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为： xmyc（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）椭圆的方程为： 212,(),yABab由 得： 于是椭圆方程可化为： .e22c220xyc把代入 并整理得： 2()0myc于是 是上述方程的两根.12,y, 2211|()|ABxyy224()mc2(1)cmAB 边上的高 ,2chm从而 2221(1)
22、1| ()cS 22.1ccm当且仅当 取等号，即02max.S由题意知 , 于是 .2c26,1bc故当 面积最大时椭圆的方程为： 2ABF26xy16设 mR,在平面直角坐标系中 ,已知向量 (,1)am,向量 (,1)bxy, ab,动点 (,)Mxy的轨迹为 E.(1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2)已知 41,若存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 且OAB(O 为坐标原点),求该圆的方程.【解析】:(1)因为 ab, (,1)mxy, (,)bxy, 所以 20xy, 即 2. 当 m=0 时,方程表示两直线 ,方程
23、为 y; 第 14 页 共 16 页当 1m时, 方程表示的是圆 当 0且 时,方程表示的是椭圆; 当 时,方程表示的是双曲线. (2).当 4时, 轨迹 E 的方程为214xy,设圆心在原点的圆的一条切线为 ykxt,解方程组21ykxt得 22()kxt,即 22()840kxt, 要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 则使= 22264(4)16(41)ktktkt, 即 210t,即 2t, 且12284ktx22221212112()84()()141ktkttkykxtkxtxt , 要使 OAB, 需使 120y,即2250t, 所以 2540tk, 即 254tk且 24
24、1tk, 即 2245k恒成立. 所以又因为直线 yx为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为 21trk,22(1)45ktr, 所求的圆为 245xy. 当切线的斜率不存在时,切线为 5x,与24xy交于点 ),5(或)52,(也满足 OAB. 综上, 存在圆心在原点的圆 25xy,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OAB. 17设椭圆 的右焦点为 ,直线 与 轴交于点 ,若)2(18:2ayxM1F8:2axlxA(其中 为坐标原点).01F()求椭圆 的方程;第 15 页 共 16 页()设 是椭圆 上的任一点， 为圆 的任一条直径，求 的最大值.PMEF
25、12:2yxNPFE【解析】:() 由题设知 : )0,8(),08(12aaA由 得: 021FO22解得 ， 椭圆 的方程为 6aM184:2yx() NPFEPF 122N从而将求 的最大值转化为求 的最大值 是椭圆 上的任一点，设 ，则有 即 PM0,yxP182420yx220043xy又 ， 2,0N30202当 时， 取最大值 的最大值为 y1yNPFE2918 已知直线 与椭圆 相交于 AB 两点.x02baax(1)若椭圆的离心率为 ,焦距为 2,求线段 AB 的长；3(2)若向量 互相垂直(其中 O 为坐标原点),当椭圆的离心率 时,求椭圆长轴BOA与 向 量 21e长的最大值.【解析】： 53,6,A.05,1.23 .123,2,3,212122 xxyBxy yxbace则）（设 得 ：消 去联 立 椭 圆 的 方 程 为 ：即解 ： 538421212121 x第 16 页 共 16 页22121 222212, ,104,0,0,baxbax baxbayybaxxOBA 又 整 理 得由 得消 去由 ,由 ,)()(1xy 021yx得: , ,01221xx 22ba整理得: . 将 代入上式得baec, .221ea)1(2e .4312,41,222e, ,适合条件 337,3422 367aba由此得 ,故长轴长的最大值为 .4,6a 6
