1、圆锥曲线典型例题强化训练一、选择题1、若点 P到直线 1y的距离比它到点 (03)， 的距离小 2，则点 P的轨迹方程为（ ）AA. 2x B. 2x C. 24y D. 26xy2、若圆 的圆心到直线 的距离为 ,则 a 的值为（ 042y0ax）CA-2 或 2 B C2 或 0 D-2 或 031或3、设 F1、F 2 为曲线 C1： + =1 的焦点，P 是曲线 ： 与 C1 的一个交点，x26 y22 232yx则PF 1F2 的面积为（ ）C(A) (B) 1 (C) (D) 214 2 24、经过抛物线 的焦点且平行于直线 的直线 的方程是（ ）Axy2053yxlA. B. 0
2、36xC. D. 215、若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 的值为（ ） D2ypx26xypA B C D46、如图，过抛物线 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B，交其准线于)0(2点 C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（ ）BA Bxy23xy32C D997、 以 的顶点为焦点, 长半轴长为 4 的椭圆方程为142xy（ ）DA B. C. D.562yx126yx1462yx1642yx8、已知双曲线 的中心在原点, 右焦点与抛物线 的焦点重合,192yax0xy162则该双曲线的离心率等于( ) D A. B. C. D. 545847二
3、、解答题1、已知椭圆 的左焦点为 F，左右顶点分别为 A,C 上顶点为 B，过21(0)yxbF,B,C 三点作 ，其中圆心 P 的坐标为 A(,)mn(1) 若椭圆的离心率 ，求 的方程；32eA（2 ）若 的圆心在直线 上，求椭圆的方程A0xy2、椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为 ，右焦点 与点 的距)2,0(AF(2,)B离为 。（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率 的直线 ： ，使直线 与椭圆相交于不同的两点0klkxyl满足 ，若存在，求直线 的倾斜角 ；若不存在，说明理NM, |AN由。3、已知椭圆 的方程为 双曲线 的两条渐近线为 和E),0(12bayx 12byax1l
4、，过椭圆 的右焦点 作直线 ，使得 于点 ，又 与 交于点 ， 与椭圆 的2lFl2lClPlE两个交点从上到下依次为 （如图）.BA,(1)当直线 的倾斜角为 ，双曲线的焦距为 8 时，求椭圆的方1l30程；(2)设 ，证明： 为常数. PA2,214、椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为 2 ，相应于焦点 F（c,0） （c0）的准线 （准线方程 x= ca2,其中 a 为长半轴，c 为半焦距）与 x 轴交于点 A， O2，过点 A 的直线与椭圆相交于点 P、Q 。（1 ） 求椭圆方程；（2 ） 求椭圆的离心率；（3 ） 若 0O，求直线 PQ 的方程。5、已知 A（2，0） 、B（2，0
5、） ，点 C、点 D 依次满足 ).(21,| ACBDAC（1）求点 D 的轨迹方程；（2）过点 A 作直线 l 交以 A、B 为焦点的椭圆于 M、N 两点，线段 MN 的中点到 y 轴的距离为 ，且直线 l 与点 D 的轨迹相切，求该椭圆的方程.546、若椭圆 过点（-3，2 ） ，离心率为 ，O 的圆心为原点，直)0(12bayx 3径为椭圆的短轴，M 的方程为 ，过M 上任一点 P 作O 的切线4)6(8(2yxPA、PB，切点为 A、B.（）求椭圆的方程；（）若直线 PA 与M 的另一交点为 Q，当弦 PQ 最大时，求直线 PA 的直线方程；（）求 的最大值与最小值.OB7、已知 A
6、、B 分别是椭圆 的左右两个焦点， O 为坐标原点，点 P ）在12byax 2,1(椭圆上，线段 PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点。（1）求椭圆的标准方程；（2）点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于 ABC，求 的值。siniABC8、 已知曲线 C：xy=1 ，过 C 上一点 作一斜率为 的直线交曲线 C),(nyxA21nxk于另一点 ，点列 的横坐标构成数列 ，其中),(11nnyxA,321n71x（1 ）求 与 的关系式；（2 ）求证： 是等比数列；nx1 312nx（3 ）求证： 。)1,()()1()(321 nNxn9、 已知点 和直线 ： ，动点 到
7、点 的距离与到直线 的距离之比为1, 0Fl2xMFl2（I）求动点 的轨迹方程；M（II）设过点 F 的直线交动点 的轨迹于 A、B 两点，并且线段 AB 的中点在直线上，求直线 AB 的方程0xy10、设椭圆 的左右焦点分别为 、 ， 是椭圆 上的一点，且2:1(0)xyCa1F2AC，坐标原点 到直线 的距离为 210AFO1A13O（）求椭圆 的方程；（）设 是椭圆 上的一点，过点 的直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，QQlx(,0)FyM若 ，求直线 的斜率2MFlxyOFl MNF(-c,0)A(-1,0) C(1,0)B(0,b)yxo11、已知动圆过定点 ，且与直线 相切.1,
8、0A1x(1) 求动圆的圆心轨迹 的方程；C(2) 是否存在直线 ，使 过点 ，并与轨迹 交于 两点，l(,)BC,PQ且满足 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由.0OPQl12、设 、 分别是椭圆 的左、右焦点.1F2142yx（）若 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值 ;P1PF2（）设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，求直线 的斜率 的取值)2,0(Ml ABlk范围.祥细答案1、解：（1 ）当 时， ， ，32e1a32c ， ，点 , ， -2 分214bacb(0)B(,0)F(1,)C设 的方程为 PA22()()xmynr由 过点 F,B,C 得
9、-221()mnr-223-5 分22(1)nr由联立解得 ， ， -7 分34m1234n25r所求的 的方程为 -8 分PA22()()4xy（2 ） 过点 F,B,C 三点，圆心 P 既在 FC 的垂直平分线上，也在 BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为 -9 分12cxBC 的中点为 ，(,)2bBCkBC 的垂直平分线方程为 -10 分()yxb由得 ，即 -11 分21,cx21,cbmnP 在直线 上，(,)mn0y20(1)0c 由 得 10bc21bc2椭圆的方程为 -14 分2xy2、解：（1 ）依题意，设椭圆方程为 ，则其右焦点坐标为)0(12bayax， 2
10、分2,)0(bacF由 ，得 ，|B2()(0)即 ，解得 。 4 分2()4cc又 ， ，即椭圆方程为 。 5 分b122ba 142yx（2 ）由 知点 在线段 的垂直平分线上，|ANMMN由 消去 得142yxky12)(32kx即 （*） 7 分0)31(kx由 ，得方程（* ）的 ，即方程（*）有两个不相等的实数0k 014)2(2k根。8 分设 、 ，线段 的中点 ，),(1yxM),(2yxNMN),(0yxP则 ， ，2213k221036kx，即 10 分220)(6kxy )312,(kP，直线 的斜率为 ，11 分kAPk6)(31622由 ，得 ， 12 分MN6)(2
11、2k ，解得： ，即 ， 13 分62k33tan又 ，故 ，或 ，065 存在直线 满足题意，其倾斜角 ，或 。 14 分l3、解：（1）由已知， ，2 分23,1ba解得: ， 4 分22,4a所以椭圆 的方程是: . 5 分E21xy（2）解法 1：设 2(,)(,)AB由题意得: 直线 的方程为: ,直线 的方程为: ,7 分lbyxa2lbyxa则直线 的方程为: ,其中点 的坐标为 ; 8 分l()ayxcbF(,0)c由 得: ,则点 ; 9 分()ayxcb2ayc2(,)abPc由 消 y 得: ,则 ; 10 分21()ayxcb22()0xa2121,caxx由 得: ,
12、则: ,1PAF2112()cx21()cx同理由 得: , 12 分2B2()a22121 11 12 2221 1()()()() 0()cxacxcxaxac故 为常数. 14 分120解法 2：过 作 轴的垂线 ，过 分别作 的垂线，垂足分别为 ，6 分PxmBA, 1,AB由题意得: 直线 的方程为: ,直线 的方程为: ,8 分1lbyxa2lbyxa则直线 的方程为: ,其中点 的坐标为 ; 9 分l()cF(,0)c由 得: ,则直线 m 为椭圆 E 的右准线; 10 分()byxac2abyc则: ,其中 e 的离心率; 12 分11,PABPFee, 12,AF故 为常数.
13、 14 分04、解：（1 ）由已知得2,()abc，解得： 24,6ca2分所求椭圆方程为216xy4 分（2 ）因 ,ac，得 263cea7 分（3 ）因点2(,0)A即 A（3，0） ，设直线 PQ 方程为 (3)ykx8 分则由方程组 261ykx，消去 y 得： 222(13)8760设点 12(,)(,)PxyQ则221218,kkxx10 分因 0OA，得 120y，又 2 221 11(3)3()9ykxkxxk，代入上式得22211()90，故2227631890kA解得： 25,k，所求直线 PQ 方程为 5()yx14 分5、解：（1 ）设 C、D 点的坐标分别为 C（
14、，D ，则 ） ，),0x, 0,2(yxAC, 则 ，故 )04(AB,6(0yxA ),3)(210BA又 解 得故 .2,3),(0yyxD.,20yx代入 中, 整理得 ，即为所求点 D 的轨迹方程. )(|020AC12x（2 ）易知直线 与 轴不垂直，设直线 的方程为 .lxl)(xky又设椭圆方程为 .)4(122ayax因为直线 ：kxy+2 k=0 与圆 相切.故 ，解得l 2x1|2k.32k将代入整理得， 044)4( 22222 aaxa将 代入上式，整理得 ，312k 3设 M（ ，N （ ，则 ，),1yx),2yx21ax由题意有 ，求得 .经检验，此时的判别式3
15、(542aa8.0故所求的椭圆方程为 .182yx6、解：（）由题意得： 所以椭圆的方程为 105349222baca 1052yx（）由题可知当直线 PA 过圆 M 的圆心（8 ，6）时，弦 PQ 最大因为直线 PA 的斜率一定存在， 设直线 PA 的方程为：y-6=k(x-8)又因为 PA 与圆 O 相切，所以圆心（0，0 ）到直线 PA 的距离为 10即 可得1|68|2k913k或所以直线 PA 的方程为： 050yxyx或()设 则AOP2,AOBP则 1)(21cos2cosB80|,10| minmax cs| 2OPABOA7、解：（1）点 是线段 的中点 是 的中位线MMAB
16、又 -2 分BP -7 分 22221,1cabcab解 得椭圆的标准方程为 =1 -8 分2yx（2）点 C 在椭圆上，A、B 是椭圆的两个焦点ACBC2a ，AB2c2 -10 分在ABC 中，由正弦定理， -12 分sinisinACB -14 分siniABC28、 解：（1 ）过 C： 上一点 作斜率为 的直线交 C 于另一点 ，xy1),(nyxAnk1nA则 ， -3 分21111 nnnn xxk于是有： 即： -4 分2nx（2 ）记 ，则31nxa， -6 分nnnn axx2)31(221 因为 ，031,711 ax而因此数列 是等比数列。 -8 分32n（3 ）由（2
17、 ）可知： ，31)2(,)(nnnxa则BAC。 -9 分 31)(2)1()( nnnx当 n 为偶数时有： nnx1= ， -11 分nnnnnn 212)3(2(312 11 于是在 n 为偶数时有：。 -12 分12121)()1( 432 nnxx 在 n 为奇数时，前 n-1 项为偶数项，于是有： nnx)()()(121。 -13 分1323)2( nnnnx综合可知原不等式得证。 -14 分9、解：（I）设动点 的坐标为 ，由于动点 到点 的距离与到直线 的距M, xyMFl离之比为 ，故 ， 2 分221|x化简得： ，这就是动点 的轨迹方程 6 分2y（II）设直线 AB
18、 的方程为 (1)0,kx代入 ，整理得21xy2240.k直线 AB 过椭圆的左焦点 F，方程有两个不等实根， 8 分记 ， 中点 ， 则12(,)(,)AxyBA0(,)Pxy2124,1kx201202(),(),1kk xyl AN BF O线段 AB 的中点 在直线 上，P0xy ，或 10 分202,1kxyk1.2当直线 AB 与 轴垂直时，线段 AB 的中点 F 不在直线 上，0xy直线 AB 的方程是 或 14 分0y210xy10、解： （）由题设知 21(,)(,)2Faaa中由于 ，则有 ，所以点 的坐标为 2 分21A21AA(,)故 所在直线方程为 3 分1F2()
19、xya所以坐标原点 到直线 的距离为O1AF21又 ，所以 解得： .5 分21Fa223a2a所求椭圆的方程为 7 分214xy（）由题意可知直线 的斜率存在，设直线斜率为l k直线 的方程为 ，则有 9 分l()ykx(0,)M设 ，由于 、 、 三点共线，且1(,)QxF2QF根据题意得 解得 或 12 分11(,)2(,)ykxy1xk13y又 在椭圆 上，故 或 解得QC22()14k2()3140,4k综上，直线 l的斜率为 0或 .14 分11、解：（1）设 为动圆圆心，由题意知： 到定直线 的距离，M|MAx由抛物线的定义知，点 的轨迹为抛物线，其中 为焦点， 为准线，(1,0
20、)1 动圆的圆心 的轨迹 的方程为： 5 分MC24yx（2 ）由题意可设直线 的方程为 ，l(1)0xk由 得 2(1)4xky24y或 7 分260k1k0且 ， 9 分12y124y由 11 分OPQx21212()0kyy22211()()0kykyk或 （舍去） 13 分44k 40又 ，所以直线 存在，其方程为： 14 分0klxy12、解：（）解法一：易知 ,所以 1 分，2,13abc123,0,F设 ，则 3 分,Pxy2123FPxyxy因为 ，故当 ，即点 为椭圆短轴端点时， 有最小值 5 分0x 12P当 ，即点 为椭圆长轴端点时， 有最大值 7 分2x12PF解法二：易知 ，所以 1 分，,13abc3,0,设 ，则,Pxy 222111212121cosPFFFP3 分（以下同解法一）222333xyxyxy （）显然直线 不满足题设条件8 分，0可设直线 ，122:,lkAB联立 ，消去 ，整理得： 9 分214ykxy221430kxk由 0 得： 12 分34)()(22kk 23k或
