1、1第二章 实 数第一节 认识无理数 【学习目标】1、通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。2、借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想。3、会判断一个数是有理数还是无理数。【学习过程】环节一、自学和研读（一）知识准备1、 有理数的概念：_和_统称为有理数。2、 有理数总可以用_或_表示，反过来_或_也都是有理数。（二） 、教材研读1、理解无理数的概念（1）把两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，设大正方形的边长为 a,计算 ，小组讨论： a 可能是整数吗？ a 可能是分数吗？_2a（2） ，b 是有理数吗？b（3）估计数值的大小判断如
2、图 3 个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.能不能判断一下面积为 2 的正方形的边长 a 的大致范围呢？a 是有限小数吗？A 是什么数？（借助计算器进行探索，完成表格）、4、归纳： 称为无理数。例如：圆周率 是一个145926.3小数，因此它是一个无理数。再如：0.121221222122221（相邻两个 1 之间2 的个数逐次加 1）它是一个 小数，因此它是 数。边长 a 面积 S1a2 1S41.96S2.251.9881S2.01641.999396S2.0022251.99996164S2.000244491环节二：例 1、判断：1、无限小数是无理数（ ） 反思感悟：2、
3、带根号的数是无理数（ ）3、无理数是无限小数（ ）4、 是无理数（ ）7例 2：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.4583， ， ， ，18.7.31注意：形成练习：教材第 25 页环节三 形成提升1、 回 答 下 列 问 题 ：中 ，在 ,90oCABRt（1） （2）_;,43cba则若 _;,13,5bca则若（3） 数； 是则若 c,222、面积为 6 的长方形，长是宽的 3 倍，则宽为（ ）A、整数 B、分数 C、有理数 D、以上都不对3、已知直角三角形的两条直角边分别是 4 和 5，这个直角三角形的斜边的长度在两个相邻的整数之间，试求出这两个整数。环节四 小结一、本课知识
4、：1、_称为无理数。2、理解无理数定义时要注意：（1）无限循环小数是_，无限不循环小数是_。特殊的数 是_。 （2）无理数除以非零有理数仍是_。二、本堂课涉及的主要数学思想方法有：1第二节 平方根 第 1 课时【学习目标】1叙述数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。2掌握求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根。3会应用算术平方根的性质。【学习方法】自主探究与小组合作【学习过程】环节一 自学与研读（一）、学习准备1、 无理数的概念：_称为无理数。2、 ，（ ） 43、互为相反数的两个数的和为_。（二）、教材精读理解算术平方根的概念
5、（1）根据下图填空x2=_ y2=_ z2=_ w2=_（2）上图中的 x，y，z，w 怎样表示？ 。_,_, （3）归纳：一般地，如果一个 _ 的平方等于 即 那么这个x,a,2x_ 就叫做 的_,记为“ ”，读作“根号 ”。规定： xa环节二 典型例题例 1：求下列各数的算术平方根：（1）900；（2）1；（3） ；（4）1469解：（1） ,90_2900 的算术平方根是_，即 =_；0（2）（3）（4）注意：(1)在求 的算术平方根时，若 是有理数的平方， 的算术平方根就不带根aaa号；若 不是有理数的平方， 的算数平方根就带有根号。（2）由于求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，
6、所以熟 记常用平方数对求一个数的算术平方根有着事半功倍的效果。1例 2、自由下落的物体的高度 h（米）与下落时间 t（秒）的关系为 。有一29.4th铁球从 19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？解：将 h=19.6 代入公式 得： 29.4t=_，所以 t=_（秒）2t答：铁球到达地面需要_秒.环节三 形成提升1、填空题：（1） 的算术平方根是_;(2)若一个数的算术平方根等于它本身，这41个数是_；2、下列数中没有算术平方根的是（ ）A、0 B、-1 C、10 D、 23）（ 3、求下列各式的值（1） （2） （3）419 2)(216解：归纳：算术平方根具有 性。环节四
7、 合作探究例 3 ,05yx4、 、 xy2yx1解：（1）根据算术平方根的非负性，可得 ，且_,_ 054（2）根据算术平方根的定义，可得 。xy例 4、求各式中 的取值范围。x（1） （2） （3）52xx34321x解：环节五 小结1x28-43？ ？10.6-第二节 平方根 第 2 课时 【学习目标】1叙述平方根的概念、开平方的概念.2明确算术平方根与平方根的区别与联系.3进一步明确平方与开方是互为逆运算.【学习方法】自主探究与小组合作【学习过程】环节一 读学与研学（一）、学习准备算术平方根的概念：一般地，如果一个_ 的平方等于 即 那么这个x,a,2x_ 就叫做 的_,记为“ ”，读
8、作“根号 ”。x,a（2）、教材研读1、理解平方根的概念（1）如图，求左圈和右圈中的“？”表示的数： 解：（请填写在表中）（2）想一想：9 的算术平方根是_，_的平方是9；平方等于 的数是_，平方等于 0.64 的数是_。54、3、归纳：一般地，如果一个 的平方等于 即x,a那么这个 就叫做 的平方根。（也叫做二次方,ax2xa根）记为： 。2、平方根的性质：（1）判定下列各数是否有平方根。请说明理由。169； 0;12）（ .13）（ （2）观察并思考：一个正数有几个平方根？（2）0 有几个平方根？（3）负数呢？归纳：3、开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做 ，其中 a 叫做 。环节二
9、 典型例题例 1：求下列各数的平方根：(1)64; (2) (3)0.0004; (4) (5)11。；1249 ;25）（ 1解：（1） 即 =8 _,64,_2的 平 方 根 是64例 2 下列说法正确的是（ ）A、 B、16 的平方根是的 算 术 平 方 根 ；是 )5( ；C、2 是-4 的算术平方根； D、1 的平方根是它本身。归纳：平方根与算术平方根的联系与区别：例 3：（1）求下列各式中的 x 的值：x225=0 3（x1） 227=0021、2、若一个正数的两个平方根分别是 m+3 与 3m7，求这个数环节三 形成提升1、填空题：（1）正数有_个平方根,它们_，0 的平方根是_
10、,负数_;(2) 的平方根是_;62、 （1）25 的平方根是_；（2） =_；（3）（ ）2552=_.3、下列说法正确的是 25 的平方根是 5； -36 的平方根是-6；8是 的 平 方 根 ；平方根等于 0 的数是 0； 64 的平方根是 84、求下列各数的平方根.（1）121； （2）0.01； （3） ； （4）（13） 2； （5）（4） 3. 9721环节四合作探究（1）计算： 26）（ 29）（ 23）（2）计算： 32)(2)5(2归纳： 。）的 取 值 范 围 是（）（ _;_ 22 aaa例 4：1、计算：（1） （2） （3）3）（ 2)6(2)(2、a、b 在数轴上
11、的位置如图所示，化简： 22)(ba环节五 小结：1、一个正数有两个平方根，它们_。0 的平方根是_。_没有平方根。3、 。）的 取 值 范 围 是（）（ _;_ 22 aaa4、 蕴藏两个非负性： 。0,0第三节 立方根【学习目标】1了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根2会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算3了解立方根的性质14区分立方根与平方根的不同 【学习方法】自主探究与小组合作【学习过程】环节一、读学与研学（一）学习准备1、算术平方根的概念：一般地，如果一个正数 的平方等于 即_,那么这个x,a_ 就叫做 的_,记为“ ”，读作“根号 ”。x,a2、平方根：
12、一般地，如果_等于 即 那么这个数 就叫做,2xx的 _，记为_。,a3、平方根的性质：一个正数有_平方根，它们_；0 只有一个平方根，它是_；负数_平方根。（二） 、教材研读1、理解立方根的概念（1） 某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的 8 倍，那么它的半径是原储气罐的多少倍？如果储气罐的体积是原来的 4 倍呢？（球的体积公式为 ，R 为球的半径）34v解：、2、归纳：一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 ,那么这个数 x 就叫做 a 的 （也叫做三次方根）。如：2、立方根的性质：（1）怎样求下列括号内的数？ 01. 3）（ ； ； 0
13、 3）（ 。6427)(3（2）观察并思考：正数有几个立方根？（2）0 有几个立方根？（3）负数呢？归纳：3、开立方：求一个数 a 的立方根的运算叫做 ， 其中 a 叫做 。环节二 典型例题例 1、求下列各数的立方根： (1)64; （2） 7 ； （3） ； （4） 216.0； （5） .86例 2：已知 的平方根是 的立方根是 2，xyx2,1求 的平方根。2yx解：归纳：平方根与算术平方根的联系与区别联系：1、0 的平方根、立方根都是_；2、平方根、立方根都是开方的结果。区别：1、定义不同：2、个数不同：3、表示法不同：正数 平方根表示 为 _ ， 的立方根表示 为_。aa4、被开方数
14、的取值范围不同： 中的被3a_a 、开方数可以是_。环节三 形成提升1、填空题：（1） _; (2) ;(3) 、27 )2(,833、的立方根是_ ；(4) 的立方根是_。643642、下列说法中不正确的是（ ）A、-1 的立方根是-1；B、 的立方根是 2；C、-1 的平方根是-1；D、1 的平方根是 。13、若一个数的算术平方根与其立方根的值相等，则这个数是_。4、求下列各数的立方根.（1）0； （2） ； （3）6； （4）0.001；817环节四 小结：1、正数有_个立方根, 负数有_个立方根,0 的立方根是_ 2、一个数与这个数的立方根的符号_(填“相同”或“不相同”)3、 ,_3
15、a。_3a4、 第四节 估算【学习目标】11、能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。2、掌握估算的方法，形成估算的意识。【学习方法】自主探究与小组合作【学习过程】环节一、读学与研学（一）学习准备1、无理数的概念：_称为无理数。2、两个正数，绝对值大的_；两个负数，绝对值大的_。（二） 、教材研读1、某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的两倍，它的面积为 400000 平方米。（1）公园的宽大约是多少？它有 1000 米吗？（2）如果要求结果精确到 10 米，它的宽大约是多少？与同伴交流。（3）该公园中心
16、有一个圆形花圃，它的面积是 80 平方米，你能估计它的半径吗？（精确到 1 米） 解：（1）（2）（3）2、下列估算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流。（1） ； （2） ； （3）06.4.9603。53归纳：估算无理数的方法是：环节二 典型例题例 1 比较下列各组数的大小。（2） 。；与）（ 5.26 1.63与解：例 2、已知 是 的整数部分， 是 的小数部分，求 的值。a19b19ba21环节三 形成提升大于 的负整数是_;(3) 最接近的整数是_。1032、估算 的值在（ ）78A、7 和 8 之间； B、6 和 7 之间； C、3 和 4 之间；D、2 和 3 之间。3、估算
17、（精确到十分位）_。54、比较大小（1） 和 4； （2） ； 5.01与环节四 小结：1、一个正数扩大为原来的 100 倍，它的算术平方根扩大为原来的_位。2、比较大小： _2.5， 。641_53、在 中，被开方数 每移动两位小数，则 的结果沿相应 )0(aaa第六节 实数【学习目标】：1.了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；2.了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义；3.了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数【学习过程】： 一、复习引入：1.、什么叫有理数？有理数怎样分类？2.、什么叫无理数？带根号的数都是无理数吗？ 二探究新知：（一）实数的概念：把下列各数分别
18、填入相应的集合内：1， ， ， ， ， ， ， ， ， ，0，0.373773777332417253053894（相邻两个 3 之间 7 的个数逐次增加 1）定义：有理数和无理数统称为 实数（二）实数的分类1. 你能把上面的各数分别填入下面相应的集合内吗？知识整理：无理数和有理数一样，也有正负之分。如: 是正的,- 是负的32. 回答： 0 属于正数吗？0 属于负数吗？正数：大于 0 的实数，包括所有的正有理数和正无理数负数：小于 0 的实数，包括所有的负有理数和负无理数3.实数可以怎样分类？ （三）实数的相关概念1在有理数中，数 的相反数是什么？绝对值是什么？当时 ，它的倒数是什么？a 0
19、a在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的意义完全相同。2 的相反数是_ ; 的倒数是_; ,0，- 的绝对值分别_3533 是一个实数，它的相反数是_ ；绝对值是 _ ；如果 ，那么实数 a 0aa的倒数为_ （四）实数的运算1.在有理数范围内，能进行哪些运算？用哪些运算律？2.判断下列各式成立吗？有理数集合无理数集合正数集合负数集合12523513513 33217424有理数的运算及运算律对实数仍然适用。（五）探究实数与数轴上的点的对应关系如图所示，认真观察，探究下列问题：议一议：（1）如图，OA=OB，数轴上 A 点对应的数表示什么？它介于哪两个整数之间？（2）如果将所
20、有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？知识整理：（1）每一个实数都可以用数轴上的一个 来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个 ，即实数与数轴上的点是 的；（2）在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数 。三、巩固练习1判断下列说法是否正确：（1）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数；（3）带根号的数都是无理数； （4）数轴上的点与有理数一一对应；（5）数轴上的点与实数一一对应2求下列各数的相反数、倒数和绝对值：（1） ； （2） ； （3） ；738493. 的相反数是 ，绝对值是 ； 的相反数是 ；绝对值是 5 37； = 34在数轴上作出 对应的点。四、小结：第七节
21、 二次根式（一）【学习目标】：1.认识二次根式和最简二次根式的概念. 2.探索二次根式的性0 1 2-1-2AB1质 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式【学习过程】： （一）学习准备：1.一个正数 的平方等于 ，即 ，那么正数 就叫做 的 ，xax2xa记为 ，特别地，0 的算术平方根是 ；2.只有 数才有算术平方根， 数没有算术平方根；算术平方根等于本身的数是 （二）教材助读问题 1 ： ， ， ， ， ， （其中 b=24,c=25） ，512.71490)(bc上述式子有什么共同特征？知识整理：一般地，形如 的式子叫做二次根式。 a 叫做被开方数)(a强调： ； 0a判断：
22、下列各式是否是二次根式？， ， ， ， ， ， ， ；825913x123问题 2：二次根式怎样进行运算呢？ （三）课堂研讨，合作交流：1 、计算：，（1） ， ； ， 4425162516； ， ； ， ； 99（2）用计算器计算： ， ； ， 76767676问题 1：观察上面的结果你有什么发现？问题 2：能用字母表示你所发现的这个规律吗？问题 3：式子： 成立吗？为什么？a，b 有限制条件94)9(4吗？ 归纳总结： （ a 0， b 0） ， （ a 0， b 0） ba 1积的算术平方根，等于 ；商的算术平方根，等于 ；例 1：化简（1） ； （2） ； （3） ； （4）64816
23、59528观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？知识整理：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。判断：下列二次根式是否是最简二次根式？， ， ， ， ， ， ， (其中 )785231452.75ba20,b 注意：最简二次根式必须同时满足两个条件：被开方数中不含有分母；被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式例 2.将下列二次根式化成最简二次根式：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；507282.7451化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式例 3：化简：（1） ；（2） ； （3
24、） ； （4）10 （5）69816512181（四）练习巩固：1.下列二次根式中, 已简化的是（ ） A. 31 B. 20 C. D. 122. 化简： ； ； ； ； 2 ； ；120126694.31二次根式（二）【学习目标】：明晰二次根式乘法运算法则，能进行简单的二次根式的乘法运算【学习过程】： （一）学习准备：1、形如 的式子叫做二次根式， 叫做 ；a2、二次根式的性质： = （ ） ； = ( 0) 2a0a23 、最简二次根式必须具备的两个条件： ， ；4、把下列二次根式化为最简二次根式：108 21 28324572545、积的算术平方根等于 ( 用语言叙述)用式子表示为：
25、= （ 0； 0）abab（二）探索法则：将上面的等式反过来写，得到： （ ）0,ba这就是二次根式的乘法法则，运用这个式子，可以进行二次根式的乘法运算（三）典型例题：例：计算：（ 、 均为正数）ab 714102531326ab10256强调：计算的结果要为最简（即不能再化简了）（四）形成提升：（下列各式中的字母均为正数）1、口答计算结果： 352631ab2、计算： （2718415） 311 （ +5） （ -7426xy62xy832175）3、判断下列各式是否成立： 2514251264 815836253621306 y2492x（五）小结：在二次根式乘法中一般先利用 式子进)0,
26、(baba行运算，然后再用 与 （ ）进行化简；ba20,化简结果应为最简二次根式或不含二次根式；作业：1、选择：如果 是二次根式，则 应满足的条件是（ ）x21xA. B. C. 0 且2x 2x设式子 有意义，则 应是（ ）31xA.不等于 9 的正实数 B.不等于 9 的非负实数 C.正实数 D.小于 9 的实数下列各式中，正确的是（ ）A. B. C. D.727.0.28.0.28.0.2下列各式的计算中正确的是（ ）A. B.8)4(164)16(4 7432C. D.02 9014012 化简 的结果是（ ）4baA. B. C. D.222bababa22、填空：等式 成立的条
27、件是 )(11； 有意义，则 = ； ；a2aa263、计算：（以下各式中的字母均为正数） 18127 628142753 )3(7ab32xy1321804、计算： 4185)(5673 6.3.0)(a3242515、计算： )82()1(3)7( 31)(2)5(1322)6、比较大小： 与 与8.24671二次根式（三）【学习目标】：1、正确理解 ，并能进行简单的二次根式的除法运)0,(bab算2、了解分母有理化的概念，并能利用分母有理化进行化简【学习过程】： （一）学习准备1、二次根式的乘法： （ 0， 0）baab2、 = ( 0)， ， = ， 2)(a2)3(2)7( 2)(x
28、；0x， ， )(b)2( )75(；3、商的算术平方根等于 （语言叙述）用式子表示为： （ 0， 0）baab（二）探索二次根式除法法则：将上面的式子等号的左边与右边对换，得到： （ 0， 0）ab这就是二次根式的除法法则，利用这个式子可进行二次根式的除法运算例 1.计算： +4 6725312362181注意：计算结果要为最简结果练习：计算： 35456123612 ，327（三）分母有理化概念学习二次根式的除法运算通常是采用化去分母中的根号的方法来进行如： 26)(2323：分母有理化的概念：把分母中的根号化去，叫做分母有理化：分母有理化方法：一般地 要化去根号，只需再乘以 ，利用 ，特
29、殊情aaa2)(况下可以简便些，如要化去 的根号，只需再乘以 ，即123，6312同样要化去 的根号，只需 ，也就是把被开方数乘以适当868的数，使它变为一个最小的完全平方数，就可以化去根号。例 2：把下列各式的分母有理化： 3274273ba解：练习：把下列各式的分母有理化：（字母均为正数） 6232712453a105xy421例 3：把下列各式的分母有理化： 81273314231练习：把下列各式的分母有理化： 2113452（四）小结：作业：1、计算： 10832530182612.048653 57)7(5212、把下列各式的分母有理化：（式子中的字母均为正数） 6352041356
30、21xy412a13 把下列各式的分母有理化：（式子中的字母均为正数） 2517323157471432124、计算： 3127543)12()32(二次根式（四）【学习目标】：了解同类二次根式的概念，会进行二次根式的加减运算【学习过程】： （一）学习准备1、什么是最简二次根式？2、下列二次根式是最简二次根式吗？， ， ， ， ， ，231813213、将以上的二次根式化为最简二次根式，并观察化简后的这些二次根式有什么共同的特征？（二） 、读学与研学1、同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数完全相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式例 1、下列各式中，哪些是同类
31、二次根式？（ 、 均为正数）ab， ， ， ， ， ， 275012753382ba261注意：判断是否是同类二次根式先化简只看化简后的被开方数是否完全相同2、课堂研讨，合作探究引例：计算： 3 18= 根据乘法分配律的逆运算 先化简()2( )()= = 再计算知识整理：二次根式相加减，实质就是合并同类二次根式。先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并，合并同类二次根式与合并同类项类似，因此，二次根式的加减可以类比整式的加减进行；即： anma)(3、典型例题：例 3：计算: 4851816)34(例 4、计算： 27182 )7581()325.0(注意：不是同类二次根式的不能合并（三）巩固练习：计算下列各式： 48123210521 514203325092 32 18925 3)6124(8)21(（四）小结：1、同类二次根式的概念及其合并法则： anma)(2、二次根式的加减运算：先化简，后合并；
