1、 基于时间约束和均衡度的平台设置与调度模型 摘要 警察是社会中非常重要的角色，而警务资源是有限的。因此，本文针对如何合理地 设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源这一问题，建立了基于时 间和均衡度约束的平台设置与调度模型。 针对问题一第一小问，以总平台工作量最小、平台工作量均衡度最大、满足 3min 约束的路口数目最多这三个为综合目标函数，利用 01 规划，建立了 A 区各平台分配 管辖范围模型。求解得出除路口 28， 29， 38， 39， 61， 92外，其他 86个路口都满足 3min 约束，具体结果见表2。 第二小问属于指派问题，我们在第一小问的基础上做些修改，将封锁路
2、口的时间作 为目标函数，求解得出实现最快封锁的调度方案需 8.02min。 第三小问从使所有路口满足 3min约束和新增平台数目最少两方面考虑， 得到10种 可行方案，再从均衡度考虑，最终得出最优方案为增加平台 28、40、48、87，此时各平 台到所管辖的路口最长时间为 2.9682min，满足时间约束。 针对问题二第一小问，定义平台合理度为满足 3min 约束的路口数目所占比例，对 各区分别进行评价，得出 F区合理度最低，对其平台设置方案仿照第一问进行改进，应 增加平台 12、31、35、51、66、67、75、86、87、92、100、101、104、108，此时各平 台到所管辖的路口最
3、长时间为 2.9530min，满足时间约束。 第二小问将围堵嫌犯的动态过程转化为各个时刻的静态过程，对不同时刻求出嫌烦 最大逃逸范围，当封锁最大逃逸范围所用时间 Z(t)小于嫌犯的逃逸时间减去案发至报警 的 3min，则认为围堵成功。采用floyd算法最终求出最短围堵时间为 10.9635min。 关键词：均衡度 时间约束 指派问题 平台合理度 1 一、 问题重述 警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯 彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交 巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实 际
4、情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警 务部门面临的一个实际课题。试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型 分析解决下面的问题： 问题一： 题目附件 1（A 区和全市六区交通网络与平台设置的示意图）中的附图 1 给出了该 市中心城区 A 的交通网络和现有的 20 个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数 据信息见附件 2（全市六区交通网络与平台设置的相关数据表） 。请为各交巡警服务平台 分配管辖范围， 使其在所管辖的范围内出现突发事件时， 尽量能在 3分钟内有交巡警 （警 车的时速为 60km/h）到达事发地。 对于重大突发事件，需要调度全区 2
5、0 个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区 的 13 条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出 该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。 根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟 在该区内再增加 2至 5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。 问题二： 针对全市（主城六区 A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台 的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。如 果有明显不合理，请给出解决方案。 如果该市地点 P（第 32 个节点）处发生了重大刑事案件，在案发 3 分钟后接到报 警，
6、犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警 力资源的最佳围堵方案。 二、 模型假设 1.假设交巡警时速为平均速度。 2.假设嫌犯逃逸速度为 60km/h（题目未给出速度） 。 3.分析各区平台设置合理性时， 假设交巡警平台到达区内平台的途中不经过其他区。 4.为平台分配管辖范围时，假设题目给出的路口发案率指路口周边一定范围内的发 案率。 5.假设题目所给的路口坐标数据是精确、合理的。 2 三、符号定义 各符号及含义见表 1。 表 1 符号含义说明 符号 含义 v 交巡警的速度 t ij交巡警从第 i 个平台到第 j 个路口节点所需时间 p j第 j 个路口节点的发
7、案率 S 满足时间要求的路口节点的集合 Ge（S） 集合 S元素的个数 N 表示区内到任一平台时间均超过 3min的路口数 M 表示区内路口总数 q 平台设置合理度 工作量均衡度 T 封锁完所有要道的总用时 C(t) 完全封锁这个逃逸范围的最少路口集合 四、 问题分析 问题一： 题目第一小问要求为 A区各交巡警服务平台分配管辖范围， 需要从总平台工作量最 小、各平台工作量最均衡、满足 3min约束的路口数目最多这三方面考虑。 第二小问要求调度交巡警对 A区进行封锁，属于指派问题。 第三小问要求对交巡警平台设置方案进行改进，应该从使所有路口满足 3min 约束 和新增平台数目最少两方面考虑。 问
8、题二： 题目第一小问要求评价该市交巡警服务平台设置方案的合理性，应该以满足 3min 约束的路口数目所占比例为主要指标，对各区分别进行评价，并给出改进方案。 第二小问要求给出调度全市警力资源的最佳围堵方案，需要将围堵嫌犯的动态过程 转化为各个时刻的静态过程，简化问题的求解。 3 五、 模型的建立与求解 5.1 问题一模型的建立与求解 5.1.1第一小问模型的建立与求解 题目要求将 92个路口节点分配给 20个交巡警平台管辖，使交巡警在所管辖的范围 内出现突发事件时，尽量能在 3分钟内到达事发地，因此我们要综合交巡警到达时间和 平台管辖的总路口节点数来考虑。 设 d ij 为第 i 个平台到第
9、j 个路口节点的距离，v 为交巡警的速度，则交巡警从第 i 个平台到第 j 个路口节点所需时间 t ij 为 ij ij d t v （ 1） 由此可以得出各平台到每个路口节点的时间。对于时间均大于 3min 的节点令其归 属于最近的平台；仅到一个平台时间小于 3min 的节点令其归属于对应的平台；到两个 或两个以上平台时间小于 3min 的节点，我们选择任一个使工作量均衡度最大的平台， 即满足（2）式最小即可。 20 92 20 92 2 11 11 11 ( 20 20 ij ij ij j ij ij ) xpx p j （ 2） 其中 p j 为第 j 个路口节点的发案率。 设随机变量
10、 1 1, 2 , , 2 0 1, 2 , , 9 2 0 ij ij xi ij 第 个平台管辖第 个节点 第 个平台不管辖第 个节点根据上述路口节点对应平台的选择原则，最终会有多种方案，在此前提下，选择各 平台到每个节点的总用时最短的，即使得（3）式达到最小。 （ 3） 20 92 11 ij ij ij tx 由于总有几个无法满足题目要求的路口节点，即无法使得交巡警在 3min 内到达， 因此模型应尽可能的保证更多的点符合题意。 设集合 S为满足时间要求的路口节点，则 |, 3 m i n ij Sjit 使得 为了使更多的点符合题意，令 Ge（S）最大，其中 Ge（S）为集合 S元素
11、的个数。 综合上述分析，可以得到该问题的模型为： max ( ) Ge S 4 20 92 11 min ij ij ij tx 20 92 20 92 2 11 11 11 min ( ) 20 20 ij ij ij ij ij ij xpx p （ 4） 20 1 1 . 0 1, 2 , 2 0 1, 2 , , 9 2 0,1 ij i ij ij x st t i j x 根据上述模型，我们使用 Lingo及 MatLab软件进行求解，工作量均衡度 =7.7018， 各平台管辖的路口结果见表 2： 表2 A区各平台管辖的路口 平台 管辖的路口 到达最远路口时间（min） 1 1 1
12、9 71 74 78 80 1.7583 2 39 40 42 43 69 3.6822 3 3 44 54 55 68 76 2.7622 4 4 57 60 62 63 64 66 2.8356 5 6 49 53 58 2.9426 6 5 50 51 52 56 59 2.3841 7 30 32 33 48 61 4.1902 8 7 9 47 2.4777 9 8 16 35 37 1.5325 10 10 0 11 11 26 27 1.6433 12 12 25 1.7889 13 13 21 22 23 24 2.7083 14 14 0 15 15 28 29 31 5.7
13、005 16 34 36 38 45 46 3.4059 17 2 17 41 70 2.5911 18 20 72 79 82 85 89 90 2.7785 19 18 65 67 73 75 77 81 2.7880 20 83 84 86 87 88 91 92 3.6013 5 由表 1可以看出，除路口 28， 29， 38， 39， 61， 92 到相应管辖平台的时间超过 3min 外，其他路口若出现案件，交巡警平台都能及时到达。而且平台到路口的最远时间为 5.7005min，已经是较好的结果了。 根据表格结果我们绘出具体交巡警平台管辖范围图（见图 1） ： 200 250 300
14、 350 400 450 260 280 300 320 340 360 380 400 交通服务平台服务范围图 .表示交叉 路口 +表示交通 服务平台图1 A区交巡警平台管辖范围图 5.1.2第二小问模型的建立与求解 对于这一小问，核心为指派问题，即从 20 个平台中选出一部分去封锁该区的 13条 要道，也就是 13 条关键路口节点。 设随机变量 1 1 ,2, ,20 1 ,2, ,13 0 ij ij ij ij 第 个平台封锁第 个路口节点 第 个平台不封锁第 个路口节点 由于一个平台的警力最多封锁一个路口， 则 13 1 1 ij j （ 5） 设第 i 个平台封锁第 j 个关键路口
15、节点的时间为 t ij ，则封锁完所有要道的总用时 T 以用时最长的为准，即 max ij ij i Tt 为实现快速封锁，选取总用时最短的方案。 6 综合上述分析，该问题的数学模型为： min max ij ij i Tt （6） 13 1 20 1 1 1 . 1 ,2, 20 1 ,2, 13 0,1 0 ij j ij i ij ij st i j t 根据上述模型，我们使用 Lingo 及 MatLab 软件进行求解，求解得出交巡警服务平 台警力合理的调度方案见表 3： 表 3 交巡警服务平台警力合理的调度方案 平 台 要道 路 口 路径 耗时(min) 3 16 3 - 45 -
16、35 - 36 - 16 6.03 4 48 4 - 57 - 58 - 59 - 51 - 50 - 5 - 47 - 48 7.40 7 29 7 - 30 - 29 8.02 8 30 8 - 33 - 32 - 7 - 30 3.06 10 22 10 - 26 - 11 - 22 7.71 11 24 11 - 25 - 24 3.81 12 12 12 - 12 0 13 23 13 - 23 0.50 14 21 14 - 21 3.27 15 28 15 - 28 3.27 16 14 16 - 14 6.74 19 38 19 - 79 - 78 - 1 - 69 - 70
17、- 2 - 40 - 39 - 38 7.64 20 62 20 - 85 - 62 6.45 由表 3 可以得出实现最快封锁的调度方案需 8.02min。 根据表格结果我们绘出具体交巡警服务平台警力合理的调度方案示意图（见图 2） ： 7 200 250 300 350 400 450 260 280 300 320 340 360 380 400 A区实现快速全封锁图 点表示节点 +表示交警 服务平台 表示快速 封锁线图 2 交巡警服务平台警力合理的调度方案示意图 5.1.3第三小问模型的建立与求解 为了使所有路口到所管辖平台的时间不超过3min，应考虑A区中到现有平台的时间 均超过3mi
18、n的路口，距这些特殊路口时间不超过3min的路口如表3。 表4 距特殊路口时间不超过3min的其他路口 特殊路口 其他路口 28 29 29 28 38 39 40 39 38 40 61 48 92 87 88 89 90 91 因此,为使所有路口到所管辖平台的时间不超过3min，应增加新的平台，但新增平 台数目被限制为25，且考虑到成本的问题，平台个数应越少越好，结合表3可以得到如 下新增平台的10种方案： 28 ,40 ,48, 87 , 28 ,40 ,48, 88 , 28 ,40 ,48, 89 , 28 ,40 ,48, 90 , 28 ,40 ,48, 91 , 29 ,40
19、,48, 87 , 29 ,40 ,48, 88 , 29 ,40 ,48, 89 , 29 ,40 ,48, 90 , 29 ,40 ,48, 91 , S 设每种方案新增的 4 个平台统一为第 21 个新增平台。 设随机变量 8 1 1 ,2, ,21 1 ,2, ,88 1 ,2, ,10 0 k k ij k k ij xi j ij 第 个平台管辖第 个节点 第 个平台不管辖第 个节点 k 利用第一小问的模型与算法，可以求解得出每一种增设平台方案的均衡度，根据题 目对均衡度的要求，选择均衡度最大，标准差最小的方案为最终方案。 综合上述分析，该问题的数学模型为： 21 88 21 88
20、 2 11 11 11 min ( ) 24 24 kk kk ij j ij j ij ij xpx p （ 7） 21 1 1 . 0 1, 2, 2 1 1, 2, , 8 8 0,1 k k ij i j ij x st p i j x 根据模型，由于这些路口位置关系的特殊性，第 1、2、5、6、7、10个方案的约束 条件完全相同，第 3、4、8、9 个方案的约束条件完全相同。因此求解得出的标准差越 小，工作量均衡度越大，模型求解的两组方案的标准差 分别为 6.9632、6.9847，则第 一组方案的均衡度较大，取方案 1，即增加平台 28、40、48、87，为最优方案，各平台 管辖的
21、路口范围见表 5。 表5 各平台管辖的路口 平台 管辖的路口 到达最远路口时间（min） 1 19 64 65 66 71 76 2.5989 2 40 67 68 72 73 74 2.5252 3 3 43 54 55 2.9117 4 4 57 60 62 63 1.8682 5 47 49 53 58 2.3019 6 48 50 51 52 56 59 2.7490 7 5 9 34 2.9092 8 8 32 45 1.5840 9 7 16 37 2.9092 10 10 0 11 11 26 27 1.6433 12 12 25 1.7889 13 13 21 22 23 24
22、 2.7083 14 14 0 15 15 31 2.9682 9 16 33 35 36 46 2.7917 17 17 41 42 70 2.5527 18 18 78 80 85 88 2.2514 19 1 69 75 77 79 82 2.7800 20 20 81 87 89 2.6779 28 28 29 0.9487 40 2 38 39 44 2.8631 48 6 30 61 2.9000 87 83 84 86 90 91 92 2.1378 由表 5 可以看出，新增平台后，各平台到所管辖的路口最长时间为 2.9682min，符 合题目要求。 增加平台后的交巡警平台服务范
23、围图见图 3。 200 250 300 350 400 450 260 280 300 320 340 360 380 400 交通服务平台服务范围图 .表示交叉 路口 +表示交通 服务平台 表示交 通服务平 台的服务范 围图3 增加平台后的交巡警平台服务范围图 5.2 问题二模型的建立与求解 5.2.1基于平台合理度的设置评价模型 根据其余各区的实际情况，分别对各区单独考虑。 首先求出其余各区内所有路口的最短距离矩阵 A k （k=1,2,.5） ，用 N 表示区内到任 一平台时间均超过 3min的路口数，M 表示区内路口总数，定义平台设置合理度 q 1 N q M （8） 10 由合理度公
24、式可知，合理度 q 越接近于 1，平台设置合理性越好，反之越差。根据 上式求得各区合理度如表 6所示。 表6 各区合理度 区号 合理度 B 0.9178 C 0.7692 D 0.7692 E 0.6796 F 0.6759 由表 6 可以看出，B 区平台设置最合理，C、D、E、F 都不太合理，其中 F 区最不 合理。下面根据第一问第三小问的模型对 F区平台设置方案进行改进。 F区路口标号为 475582，为表示方便，重新编号为 1108，记 j=1,2,.,108。 F区距特殊路口时间不超过 3min的其他路口见附表 1。 为使所有路口到相应平台的 时间不超过 3min，在考虑成本，即尽可能
25、使增加的平台数少的情况下，增加平台的可 行方案仍有很多，因此仿照第一问，采取工作量均衡度最大方案为可行方案。 类似第一问，基于平台合理度的设置评价模型如下： max 1 N q M 2 11 11 11 min ( ) QQ MM ij j ij j ij ij xpx QQ p （ 9） 1 1 . 0 1, 2 , 1, 2 , , 0,1 Q ij i ij ij x st t i Q j M x 其中 Q为某区的平台数。 根据上述模型，求解得出改进 F区平台设置的方案为： 增加平台 12、31、35、51、66、67、75、86、87、92、100、101、104、108，工作 量均衡
26、度 =12.9528，具体如表 7所示。 表7 增加平台后F区各平台管辖的路口 平台 管辖的路口 到达最远路口 时间（min） 1 1 69 77 80 83 89 90 2.1357 2 2 61 79 81 82 1.7568 11 3 7 19 20 21 22 24 25 26 57 2.8947 4 4 62 63 68 70 2.1282 5 5 102 103 105 106 107 2.9162 6 6 93 94 1.9313 7 3 16 23 27 56 58 74 75 2.8947 8 8 15 2.1800 9 9 37 2.1024 10 10 96 2.7857
27、 11 11 97 98 2.9530 12 12 13 17 18 2.6922 31 28 29 39 42 43 45 46 47 55 2.8859 35 30 31 32 33 34 35 36 44 2.9039 51 38 40 41 48 49 50 51 52 53 54 64 2.8775 66 65 66 2.3712 67 67 0 75 59 60 71 72 73 76 78 85 2.9490 86 14 86 2.2204 87 84 87 88 2.6019 92 91 92 95 2.8460 100 100 0 101 101 0 104 99 104 2
28、.8178 108 108 0 由表 7 可以看出，新增平台后，各平台到所管辖的路口最长时间为 2.9530min，符 合题目要求。 增加平台后的 F区交巡警平台服务范围图见图 4。 12 250 300 350 400 450 500 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 F 交通服 务平台服 务范围 图 .表示交 叉路口 +表示服 务平台 - 表示交 通服务平台的 服务范围图4 增加平台后F区各平台管辖示意图 5.2.2最佳围堵的全市交巡警平台调度模型 交巡警平台围堵嫌犯是动态的过程，全市 80 个平台参与围堵，当交巡警的最短围 堵时间小于嫌犯的逃
29、逸时间减去案发至报警的 3min，则实现成功围堵。 设 T表示交巡警平台成功围堵嫌犯的最短时间，对于某一时刻 t,嫌犯会有一个最大 逃逸范围，设能够完全封锁这个逃逸范围的最少路口集合为 C(t)，其包含的路口数为 n， 则当封锁最大逃逸范围所用时间 Z(t)小于嫌犯的逃逸时间减去案发至报警的 3min， 围堵 成功。 由上述分析，该问题数学模型如下： 80 1 1 80 1 min max 3 1, 1, 2 , 8 0 1, 1, 2 ,0, 1, 3 60 / 0 j j j ij ij j i n ij j ij i ij ij ZT Tt dx T v xi xjn st ij x i
30、j t vk m h d 平台 堵路口 平台 不堵路口（10） 13 由于 C(t)随时刻 t 变化，因此采用如下算法求解： (1) 利用 MatLab 编写 floyd 算法，求解出全市 582 个路口的最短距离矩 阵。 (2) 设嫌犯逃逸速度为 60km/h，从 t=4min开始。 (3) 利用 MatLab 搜索出嫌犯在 t 时间内能够到达的所有路口， 即为当前 最大逃逸范围。 (4) 确定此时刻的 C(t)，利用 Lingo 求出此时的 Z，若 Z t-3，则 Z即为 最短围堵时间，结束算法；否则，转第（5）步。 (5) t=t+1,转第（3）步。 根据上述模型与算法，通过 Lingo
31、 软件进行求解，结果如下： t=14min时， Z=10.9635min， 满足条件， 故接到报警后的最短围堵时间为 10.9635min， 参与围堵的平台及对应的围堵路口见附表 2，结果示意图如图 5。 0 100 200 300 400 500 0 100 200 300 400 500 600 交通服务平台服务围堵范围图 黄色点表示匪徒可选的逃跑点 红色表示被交警围堵的交叉路口 绿色的点表示参与围堵的交警服 务平台图5 交巡警平台围堵嫌犯示意图 由图 5 可以看出， 参与围堵的交巡警平台能够成功实现围堵， 而且所用的时间较短， 为 10.9635min。 六、 模型的评价 1.模型优点
32、1. 问题一中的模型并没有直接将路口归属于距其最近的平台， 而是从总平台工 作量最小、各平台工作量最均衡、满足 3min 约束的路口数目最多这三方面考虑， 更符合实际需求，在工程上具有较强的应用性。 14 2. 基于平台合理度的设置评价模型以满足 3min约束的路口数目所占比例为衡 量指标，易于实现，而且能很好的符合题意。 3. 最佳围堵的全市交巡警平台调度模型将围堵嫌犯的动态过程转化为各个时 刻的静态过程，简化了模型求解。 2.模型缺点 1. 模型在分配平台的管辖范围时，只考虑了时间和发案率，没有考虑区域的面积、 人口等其他影响因素。 七、 模型的推广 最佳围堵的全市交巡警平台调度模型简单明
33、晰，能够具体地用数学表达出调度方 案，并且通过修改部分参数值可以将其应用到同类型的问题，没有数据的限制。而且， 该调度模型也可以推广到其他很多领域， 如救灾资源调度、 产品生产过程中的人员分配， 具有很强的推广性。 参考文献 1 毛凯. 数学建模经典教程. 北京：高等教育出版社，2003. 2 尹泽明. 精通 MatlabM. 北京:清华大学出版社，2004. 3 姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型. 北京：高等教育出版社，2004. 附录 附表1 F区距特殊路口时间不超过3min的其他路口 特殊路口 其他路口 12 12 13 15 17 18 13 12 13 15 17 31 28 29
34、30 31 32 33 34 35 39 42 43 44 45 46 4755 32 30 31 32 33 34 35 44 45 47 33 26 28 30 31 32 33 34 35 34 28 30 31 32 33 34 35 35 30 31 32 33 34 35 36 44 36 35 36 38 38 39 51 52 65 15 39 31 38 39 40 41 51 53 40 39 40 41 42 43 48 49 50 51 52 53 54 62 64 41 39 40 41 42 43 44 48 49 50 51 53 42 29 31 40 41 4
35、2 43 44 45 46 47 48 49 50 51 55 43 29 31 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5559 44 26 27 28 29 30 31 32 35 41 42 43 44 45 46 4748 49 50 55 59 60 45 25 26 27 28 29 31 32 42 43 44 45 46 47 48 4950 55 59 48 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 53 54 55 49 29 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 53 50 4
36、0 41 42 43 44 45 47 48 49 50 51 53 54 51 38 39 40 41 42 43 48 49 50 51 52 53 54 62 6364 52 38 40 51 52 53 64 65 53 39 40 41 48 49 50 51 52 53 54 62 63 64 69 70 55 27 29 31 42 43 44 45 46 47 48 55 56 57 58 5960 61 73 74 75 59 43 44 45 46 47 55 56 57 58 59 60 61 71 72 73 7475 66 65 66 67 67 85 75 76 7
37、7 84 85 86 14 86 87 84 87 88 92 91 92 93 95 95 92 93 94 95 96 97 100 100 101 101 104 99 104 108 108 附表2 参与围堵的平台及对应的围堵路口 16 围堵平台 被围堵路口 1 90 3 195 4 175 6 193 16 521 20 92 167 252 168 85 169 254 170 221 171 293 172 179 173 182 174 277 175 213 178 275 180 178 182 212 320 370 321 371 326 248 327 471 378 487 379 459 383 372 384 13 385 24 475 535 478 544 479 186 481 565 482 563 483 528 17 18 484 567 485 568
