1、天然肠衣搭配问题摘要本文针对天然肠衣原料的搭配方案进行设计，充分考虑最优化原则，在满足搭配方案具体要求同时兼顾效率的情况下，设计线性规划模型，并借助软件Lingo求解出最理想的捆数与搭配方案。对于题目给出的五个具体要求，我们经过分析之后将其划分优先级，逐层递进地找出答案。首先我们将条件（1）设为最优先条件即对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好。在此基础上，条件（2）的优先级次之。对于条件（3）和（4），我们经过讨论后认为其意在于放宽较为苛刻的长度与每捆根数要求以符合实际生产。因而理想情况应是所有捆的根数与长度都恰好满足规格。当由于给定数据原因使得理想情况不能实现时，再考虑放宽剩余原料的组
2、装长度与根数要求，条件（3）与（4）的优先级最次。在建模过程中，我们先对各规格在不考虑（3）与（4）的情况下进行线性规划，求每种每捆可行搭配方案所能组装出的最大捆数，再将其加和得出各规格的最大捆数。这种方法在数据量较大的情况下兼顾了精确度与效率。对上述不能组合的剩余材料我们则放宽条件。因条件（2）要求最短长度最长的成品数量尽可能多，再结合条件（4）中原料可以降级使用的规则，故我们采用先从规格三的剩余原料考虑，再依次降级并入次级的原料使用考虑搭配。由于剩余材料数量较少，故可以不必考虑效率问题。最后满足条件（5）将结果求解。利用上述模型和Lingo软件最后求解出了最大捆数183。并可以根据已知原料
3、数量求出具体的搭配方案。关键词：搭配方案 线性规划 Lingo1. 问题重述天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，表示没有上限，但实际长度小于26米。表1 成品规格表最短长度最大长度根
4、数总长度36.52089713.588914589表2为某批次原料描述。表2 原料描述表长度3-3.43.5-3.94-4.44.5-4.95-5.45.5-5.9根数435939412728长度6-6.46.5-6.97-7.47.5-7.98-8.48.5-8.9根数342124242025长度9-9.49.5-9.910-10.410.5-10.911-11.411.5-11.9根数212321183123长度12-12.412.5-12.913-13.413.5-13.914-14.414.5-14.9根数225918253529长度15-15.415.5-15.916-16.416.
5、5-16.917-17.417.5-17.9根数304228424549长度18-18.418.5-18.919-19.419.5-19.920-20.420.5-20.9根数506452634935长度21-21.421.5-21.922-22.422.5-22.923-23.423.5-23.9根数271612206长度24-24.424.5-24.925-25.425.5-25.9根数0001要求根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。公司对搭配方案有以下具体要求：(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；(2) 对于成品捆数相同的方
6、案，最短长度最长的成品越多，方案越好；(3) 为提高原料使用率，总长度允许有0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。要求对上述问题建立数学模型，给出求解方法，并对表1、表2给出的实际数据进行求解，给出搭配方案。2. 模型假设1) 原料丈量无错误，设备无故障。2) 原料不被破坏或截断使用。3) 原料等级仅有长度决定，且可以降多级使用。4) 方案产生时间仅包括数据运算处理时间，不包括丈量及其它工序的时间5) 问
7、题中0.5米的误差不属于装配时的粗大误差6) 原料长度不会超过或达到26米3. 符号说明x1x46 每一捆在不同长度区间内所用根数y1 每一规格计算时逐次筛选得到的不同组合的捆数Y 每一规格总捆数f1 理想最大捆数4. 问题分析本题提出一个肠衣搭配的问题，旨在寻找简便快捷的方法找出优秀的肠衣搭配方案以实现最大效益。题中给了五个要求，经过分析，我们确定要求一最大捆数和要求二最短长度最长的成品最多为实现最大效益的最关键因素，而题中所给的要求三四则是为了最大程度利用原料而作出的妥协。至于要求五则对方案产生时间提出要求，也是为了效益考虑，在建模时则体现为模型的简单性与程序的求解速度。以下将会对五个要求
8、进行逐一分析.4.1要求一：对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；实际上这是一个拥有多个约束条件求最大值的问题。在初步思考中，我们打算利用lingo进行非整数线性规划，逐一将约束条件列出，利用矩阵乘法进行简化，求出捆数的最大值以及方案。实际操作过程中却发现在规格三时变量数量过于庞大，求解过程过于繁杂，不满足要求五，故作出调整。简化的方案首先考虑一捆的情况，分析每一捆所用不同长度肠衣的根数，再辅以诸多约束条件结合lingo即可求出一组相同的捆绑组合的情况，在应用此方法不断重复即可得到一批不同组合的捆绑组，最后无法再捆绑的肠衣作为剩余原料处理。4.2要求二：对于成品捆数相同的方案，最短长度最
9、长的成品越多，方案越好；成品捆数中的最短长度最长的显然是由第三组，也就是长度最长的规格三捆绑组合所决定的，但在采用简化后方法之后，这一条件已经被自动满足。4.3要求三：为提高原料使用率，总长度允许有 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；此条件在处理剩余材料时有重要意义，由于剩余材料数量比较小，可以采用利用矩阵乘法结合lingo进行非整数线性规划并且考虑 0.5米的误差和根数少一的情况。4.4要求四：某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；在本文解法中，此要求同样会在剩余材料处理时体现，由于规格三的
10、剩余材料数量还比较客观，故在规格三内部采用矩阵乘法并考虑 0.5米的误差和根数少一的情况处理一遍。然后再将剩余材料降级与规格二的剩余材料组合采用上述方法操作，剩余材料再与规格一的剩余材料混合操作。4.5要求五：为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。此要求主要针对模型求解速度提出要求，而简化模型并有机结合复杂和简单两种处理方法的手段有效保证了时间上的高效性。由于简化后的模型虽然操作步骤多，但是程序运行时间很短；并且在运用矩阵乘法结合lingo考虑多种误差的方法只针对数量较少的剩余材料使用，使程序效率大大提高。因此此要求能够顺利满足。5. 模型建立5.1. 求最大捆数和捆绑方案的逐次筛选模型一建
11、立。规格一： 规格一要求20根组成89米，且共有8个不同区间。现对每一捆设其在每个区间里分别用了x1,x2x8,可以得到：而x1,x2x8 满足的限制条件为 在lingo第一遍计算得出结果后（lingo程序代码见附录），假设第一遍得到y1捆，对应的不同区间根数分别为x11,x21x81，在第二次计算时则将限制条件改为：记录所得数据并且继续进行操作直至无法再产生合理的捆绑组合。最终这一环节所得捆数即为 规格二：规格二要求8根组成89米，且共有14个不同区间。现对每一捆设其在每个区间里分别用了x9,x10x22,可以得到： 同规格一在第二次计算时，将限制条件改为： 记录所得数据并且继续进行操作直至
12、无法再产生合理的捆绑组合。最终这一环节所得捆数即为 规格三：规格三要求8根组成89米，且共有14个不同区间。现对每一捆设其在每个区间里分别用了x23,x24x44,可以得到： 同规格一在第二次计算时，将限制条件改为： 记录所得数据并且继续进行操作直至无法再产生合理的捆绑组合。最终这一环节所得捆数即为 5.2. 矩阵乘法结合lingo考虑各种误差的模型二建立由于此模型要求数据量较小，故只在处理剩余原料时选择性使用，因此此处以规格三为例介绍模型建立方法。第三规格理想最大捆数可由总长度除以每捆长度以及总根数除以每捆根数的较小值得到，为 135 捆。利用矩阵将数据简化如下：，代入数据后具体模型如下：
13、上述条件中：第一个不等式即代表每一捆长度都介于88.5和89.5之间；第二个不等式即代表每一捆根数都是4或者5；第三个不等式即代表每一种肠衣所用总数必小于提供总数；第四个不断等式即为根据理想最大捆数得到捆数必不大于135。编程带入lingo求解最优解即可。（详细代码见附录）6. 问题求解6.1. 模型（1）求解6.1.1. 对规格一求解根据提供数据，规格一的理想捆数应为：对规格一利用Lingo软件进行最优化筛选得到如下结果（程序代码与运行结果见附录9.1.1）：规格一第一次筛选结果长度33.544.555.566.5数量34331231本次筛选得到捆数为11规格一第二次筛选结果长度33.544
14、.555.566.5数量34225202本次筛选得到捆数为3经过两次筛选，搭配捆数已经达到理想捆数14，故筛选结束。规格一剩余原料长度33.54.5566.5数量1321146.1.2. 对规格二求解根据提供数据，规格二的理想捆数应为：对规格二利用Lingo软件进行最优化筛选得到如下结果（程序代码与运行结果见附录9.1.2）：规格二第一次筛选结果长度77.588.599.51010.51111.51212.51313.5数量01010000111201本次筛选得到捆数为22规格二第二次筛选结果长度77.588.599.51010.51111.51212.51313.5数量00000122000
15、120本次筛选得到捆数为9规格二第三次筛选结果长度77.588.599.51010.51111.51212.51313.5数量00000300200201本次筛选得到捆数为3经过上述筛选后已经找不到能满足严格要求的搭配方案，故筛选结束，共得到34捆，剩余原料见下表。规格二剩余原料长度77.588.599.5101111.5数量2422032153316.1.3. 对规格三求解根据提供数据，规格三的理想捆数应为：对规格三利用Lingo软件进行最优化筛选得到如下结果（程序代码与运行结果见附录9.1.3）：规格三第一次筛选结果长度1414.51515.51616.51717.51818.51919.
16、5数量000001111000长度2020.52121.52222.52323.52424.52525.5数量100000000000本次筛选得到捆数为44规格三第二次筛选结果长度1414.51515.51616.51717.51818.51919.5数量1001000000002长度2020.52121.52222.52323.52424.52525.5数量010000000000本次筛选得到捆数为31规格三第三次筛选结果长度1414.51515.51616.51717.51818.51919.5数量001010000200长度2020.52121.52222.52323.52424.525
17、25.5数量001000000000本次筛选得到捆数27规格三第四次筛选结果长度1414.51515.51616.51717.51818.51919.5数量020000000020长度2020.52121.52222.52323.52424.52525.5数量000010000000本次筛选得到捆数12规格三第五次筛选结果长度1414.51515.51616.51717.51818.51919.5数量000100011020长度2020.52121.52222.52323.52424.52525.5数量000000000000本次筛选得到捆数7规格三第六次筛选结果长度1414.51515.51
18、616.51717.51818.51919.5数量100000000220长度2020.52121.52222.52323.52424.52525.5数量000000000000本次筛选得到捆数4规格三第七次筛选结果长度1414.51515.51616.51717.51818.51919.5数量010100000010长度2020.52121.52222.52323.52424.52525.5数量200000000000本次筛选得到捆数3规格三第八次筛选结果长度1414.51515.51616.51717.51818.51919.5数量011000000100长度2020.52121.5222
19、2.52323.52424.52525.5数量020000000000本次筛选得到捆数2规格三第九次筛选结果长度1414.51515.51616.51717.51818.51919.5数量001110000010长度2020.52121.52222.52323.52424.52525.5数量000000010000本次筛选得到捆数1规格三第十次筛选结果长度1414.51515.51616.51717.51818.51919.5数量000000300020长度2020.52121.52222.52323.52424.52525.5数量020000000000本次筛选得到捆数1经过十轮筛选后，规格
20、三已没有能满足严格长度与数量限制的搭配方案，筛选结束，共得到132捆。剩余原料见下表。长度181919.52021.522.523.525.5数量1211162516.2. 模型（2）求解6.2.1. 对规格三剩余求搭配方案由于选取5个最短的原料组装长度已超过89，故只能以4个为一组搭配。理论捆数捆，验证得实际最大捆数为4捆。（代码及运行结果见附录9.2.1）18191952021.522.523.525.5000021100100003000012001000002110000000000000000000000000上步骤后仍然剩余的为181919521.5111106.2.2. 对规格三
21、剩余降级原料与规格二剩余原料求搭配方案合并后该步骤涉及原料如下表。77.588.599.5101111.5181919521.524220321533111110由于数据量较大，先求较为严格条件即每捆长度为89，根数为8下的可搭配方案。理想捆数捆，验证得实际最大捆数为8捆。（代码及运行结果见附录9.2.2）77.588.599.5101111.5181919521.512300000000020020400001100000120310000100002400100010000410200001006000000001120400000000023012000000002剩余则放宽长度与数量限
22、制再试图找出搭配方案。78918169理想捆数捆，验证得无可行解，实际不能搭配成捆，将其降级并入规格一的剩余材料再进行搭配。（代码见附录9.2.2）33.54.5566.578913211418169理想捆数，验证得无可行解，即剩余材料也不可搭配成捆。（代码见附录9.2.3）7. 模型评价改进7.1. 模型的优点本文逐步分析了优化的要求，讨论了利用建模优化工艺的方法，最终得出了与真实情况相对吻合的模型并求出了最优方案。该模型效率高，在满足生产效率的同时方便工人包装。建模过程中利用严格的理论分析和专业的软件支持，结果可信。7.2. 模型的缺点及改进本模型将缺陷降低到最小，主要不足在于计各个计算步
23、骤之间由人工衔接，未能达到完全自动化，这一点有改进的余地。7.3. 模型的推广本模型较好地符合了厂家的要求，并具有一定推广意义，可以在其它原材料捆装等方面得到推广应用。8. 参考文献无9. 附录9.1. 模型（1）Lingo代码与运行结果9.1.1. 规格一筛选代码与运行结果代码：max=y;3*x1+3.5*x2+4*x3+4.5*x4+5*x5+5.5*x6+6*x7+6.5*x8=89;x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=20;y*x1=43;y*x2=59;y*x3=39;y*x4=41;y*x5=27;y*x6=28;y*x7=34;y*x8=21;gin(x1);bnd
24、(0,x1,43);gin(x2);bnd(0,x2,59);gin(x3);bnd(0,x3,39); gin(x4);bnd(0,x4,41);gin(x5);bnd(0,x5,27); gin(x6);bnd(0,x6,28);gin(x7);bnd(0,x7,34); gin(x8);bnd(0,x8,21);gin(y);bnd(0,y,14); 运行结果：第一次:Local optimal solution found. Objective value: 11.00000 Extended solver steps: 44 Total solver iterations: 465
25、Variable Value Reduced Cost Y 11.00000 -1.000000 X1 3.000000 0.000000 X2 4.000000 0.000000 X3 3.000000 0.000000 X4 3.000000 0.000000 X5 1.000000 0.000000 X6 2.000000 0.000000 X7 3.000000 0.000000 X8 1.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 11.00000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000
26、0.000000 4 10.00000 0.000000 5 15.00000 0.000000 6 6.000000 0.000000 7 8.000000 0.000000 8 16.00000 0.000000 9 6.000000 0.000000 10 1.000000 0.000000 11 10.00000 0.000000第二次Linearization components added: Constraints: 4 Variables: 1 Local optimal solution found. Objective value: 3.000000 Extended so
27、lver steps: 0 Total solver iterations: 18 Variable Value Reduced Cost Y 3.000000 -1.000000 X1 3.000000 0.000000 X2 4.000000 0.000000 X3 2.000000 0.000000 X4 2.000000 0.000000 X5 5.000000 0.000000 X6 2.000000 0.000000 X7 0.000000 0.000000 X8 2.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3.00000
28、0 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 1.000000 0.000000 5 3.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 2.000000 0.000000 8 1.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 1.000000 0.000000 11 14.00000 0.0000009.1.2. 规格二筛选代码与运行结果代码：max=y;7*x1+7.5*x2+8*x3+8.5*x4+9*x5+9.5*x6+10*x7+10.5*x8+11*x9+11.5
29、*x10+12*x11+12.5*x12+13*x13+13.5*x14=89;x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14=8;y*x1=24;y*x2=24;y*x3=20;y*x4=25;y*x5=21;y*x6=23;y*x7=21;y*x8=18;y*x9=31;y*x10=23;y*x11=22;y*x12=59;y*x13=18;y*x14=25;gin(x1);bnd(0,x1,24);gin(x2);bnd(0,x2,24);gin(x3);bnd(0,x3,20); gin(x4);bnd(0,x4,25);gin(x5);b
30、nd(0,x5,21); gin(x6);bnd(0,x6,23);gin(x7);bnd(0,x7,21); gin(x8);bnd(0,x8,18); gin(x9);bnd(0,x9,31); gin(x10);bnd(0,x10,23); gin(x11);bnd(0,x11,22); gin(x12);bnd(0,x12,59); gin(x13);bnd(0,x13,18); gin(x14);bnd(0,x14,25);gin(y);bnd(0,y,44); 结果：第一次：Local optimal solution found. Objective value: 22.00000 Extended solver steps: 94 Total solver iterations: 1127 Variable Value Reduced Cost Y 22.00000 -1.000000 X1 0.000000 0.000000 X2 1.000000 0.000000 X3 0.000000 0.000000 X4 1.000000 0.000000 X5 0.000000 0.000000 X6 0.000000 0.000000 X7 0.000000 0.000000
