1、天津市南开中学 2018 届高三第一次月考数学试卷（理科）选择题（每小题 5 分，共 60 分）1. 已知全集 ，集合 ， 则 为（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,选 C.2. 设 ，则 是 的（ ）条件.A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】 , ,因为 所以 是 的充分不必要条件.点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若 则 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则 是的充分条件2等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等
2、价法3集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件3. 设 ， ， ，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】 , , ,所以 ，选 C.4. 在下列区间中 的零点所在区间为（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】 零点所在区间为 ，选 C.5. 设函数 ,则 是（ ）.A. 奇函数，且在 上是增函数B. 奇函数，且在 上是减函数C. 偶函数，且在 上是增函数D. 偶函数，且在 上是减函数【答案】A【解析】因为 是奇函数，因为，所以 在 上是增函数，选 A.6. 已知函数 ，若 ,则实数 的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 【答案】
3、D【解析】 ，即实数 的取值范围是，选 D.7. 若 在 上单调递减，则 的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得 在 上恒成立，所以即 ，选 C.点睛：判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“， ”连接，不能用“”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.8. 已知 为偶函数，当 时， ，若函数 恰有 4 个零点，则 的取值范围是
4、（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ，所以由图可知 选 B.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等填空题（每小题 5 分，共 30 分）9. 已知复数 ，则 _.【答案】【解析】 10. 不等式 的解集是_.【答案】【解析】试题分析：由不等式 可得 化简得 且 ，解得故答案为 考点：分式不等式的解法 11. 已知曲线 的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为_.【答案】2【解析】 12.
5、 函数 与函数 的图象所谓封闭图形的面积是_.【答案】【解析】 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和2利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数当图形的边界不同时，要分不同情况讨论13. 函数 在区间 的最小值是_.【答案】【解析】 当 时 ；当 时；当 时 ，因此最小值是14. 若函数 在区间 上不是单调函数，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】当 时， 当 时，综上，求并集得实数 的取值范围为解
6、答题（共 80 分）15. 在锐角 中， 分别为角 所对应的边，且确定角 的大小；若 ，且 的面积为 ，求 的值.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）利用正弦定理把已知条件转化为角的正弦，整理可求得 ，进而可求出 的值；（2 ）利用三角形的面积求得 的值，利用余弦定理求得 的值，最后求出 的值试题解析：（1）由 及正弦定理得， ， ， ， 是锐角三角形， （2 ）解法 1： ，由面积公式得，即 由余弦定理得 ，即 ， 由变形得 ，故解法 2：前同解法 1，联立 、得，消去 并整理得 解得 或所以 或 故 考点：正弦定理；余弦定理及三角形的面积公式16. 某项选拔共有三轮考核，每轮设
7、有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 ，且各轮问题能否正确回答互不影响.求该选手被淘汰的概率；该选手在选拔中回答问题的个数记为 ,求随机变量 的分布列与数学期望.【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（）由题记“该同学能正确回答第轮的问题 ”的事件为 ，则 ， ，根据 计算即可；（）由题的可能值为 1,2,3，然后分别计算对应的概率，根据期望公式计算即可试题解析：（）记“该同学能正确回答第轮的问题”的事件为 ，则 ， ， ，所以该同学被淘汰的概率为： 6 分（）的可能值为 1,2,3， ， ，所以的分布列为：1
8、2 3P数学期望为 6 分考点：概率统计17. 某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4.现从这10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会.设 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”求事件 发生的概率.设 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值”求事件 发生的概率.【答案】 （1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）由已知得 ，即可得到事件 的概率.（2）由题意得，得到随机变量 的所有可能取值，求得随机变量取每个值的概率，即可得到随机变量的分布列，并计算其数学期望.试题解析：（1）由已知得 .所以事件
9、发生的概率为 .（2）随机变量 的所有可能取值为 0，1，2计算 ，；所以随机变量 的分布列为：随机变量 的数学期望为 .点睛：本题主要考查了概率的计算及随机变量的分布列、数学期望，此类问题的解答中主要认真审题，正确把握试验的条件，合理求解每个取值对应的概率是解答的关键，同时注意概率公式的应用和准确计算.18. 如图，在三棱柱 中， 底面 , , .证明 ;求异面直线 和 所成角的余弦值;求二面角 的平面角的余弦值.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由 底面 ,得 ;再在三角形中解得 ,由线面垂直判定定理得 ,即得 ;（2）利用空间向量求线线角,首先根据条件建立直角坐标系,设
10、立各点坐标,得异面直线 和 方向向量,根据向量数量积求向量夹角,最后根据向量夹角与线线角关系得结果(3) 利用空间向量求二面角,首先根据条件建立直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组解得平面法向量,根据向量数量积求两法向量夹角,最后根据向量夹角与二面角关系得结果试题解析：解（1）在三棱柱 中， ，在 中， ， ， ，由正弦定理得 ， ，即 。且 ， 为平面 内两条相交直线， ，又 ，（2）如图，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ， ，即异面直线 和 所成角的余弦值为（3）可取 为平面 的法向量，设平面 的法向量为 ，则 ，又 ， ， ，不妨取 ，则 ，因此有二面角 的平面角的余弦值
11、为19. 已知 是函数 的一个极值点.求 ；求函数 的单调区间；若直线 与函数 的图象有 个交点，求 的取值范围.【答案】 （1） （2）单调增区间是 ，单调减区间是 （3）【解析】试题分析：（）因为 ， 是函数 的一个极值点，所以 ，因此 . -3 分（）由（）知，当 时，当 时，所以 的单调增区间是 ， -6 分的单调减区间是 . -8 分（）由（）知， 在 内单调增加，在 内单调减少，在 上单调增加，且当 或 时，所以 的极大值为 ，极小值为 . -10 分因此所以在 的三个单调区间 ,因为直线 有 的图象各有一个交点，当且仅当因此， 的取值范围为 . -12 分考点：本小题主要考查函数
12、、导函数等基础知识，运用导函数研究函数性质（单调性、最值） ，以及利用函数的单调性考查已知两函数交点各数时参数的取值范围，考查学生代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.点评：导数的工具性使得导数在高考中的应用有得天独厚的优势，特别是在研究函数的性质方面.近年，各地高考都从不同的方面对导数内容进行考查，既有考查导数的小题，又有考查导数综合应用的大题.20. 设函数当 时，求函数 的单调区间；令 其图象上任意一点 处切线的斜率 恒成立，求实数 的取值范围；当 时，令 若 与 的图象有两个交点 ,求证：【答案】 （1）单增区间为 单减区间为 .（2） （3）见解析【解析】试题分
13、析：（1）先求导函数,再求导函数在定义区间上零点,列表分析导函数符号变化规律,确定函调单调区间（2）先根据导数几何意义得不等式,再利用参变分离法将不等式转化为对应函数最值最大值 ,根据二次函数最值求得实数 的取值范围；(3)本小题较难,需作两次构造:一是消去a，构造以 为自变量的函数 ，根据导数得其单调性，利用基本不等式得到二是构造 利用导数易得单调性，可得 ，即得试题解析：解：（1） 定义域为 ，令 解得 ，令 解得 ， 的单增区间为 单减区间为 .(2) 即令 ， 在 上单调递增， ，(3) 定义域 ， +得 即 ，-得 即 ，由得 ，不妨设 ，记 ，令 在 上单调递增， 即 即令 在 上单调递增.又 即 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据差函数导函数符号，
