1、12.11 导数在研究函数中的应用(二)重点保分 两级优选练A 级一、选择题1(2017安庆二模)若函数 y aex3 x 在 R 上有小于零的极值点，则实数 a 的取值范围是( )A(3，) B(，3)C. D.(13， ) ( ， 13)答案 B解析 y aex3 x，求导， y aex3，由若函数 y aex3 x 在 R 上有小于零的极值点，则 y aex30 有负根，则 a0，则 ex 在 y 轴的左侧有交点，3a00，且 f(3)0，则不等式 0， 0，f xg x f x g x f x g xg2 x当 x0 时， 也是增函数f xg x f xg x f(x)， g(x)分别
2、是定义在 R 上的奇函数和偶函数，2 为奇函数， 的图象关于原点对称，f xg x f xg x函数 的单调性的示意图，如图所示：f xg x f(3)0， f(3)0，由不等式 1， f(0)2018，则不等式 exf(x)ex2017(其中 e 为自然对数的底数)的解集为( )A(，0)(0，) B(0，)C(2017，) D(，0)(2017，)答案 B解析 设 g(x)e xf(x)e x，则 g( x)e xf(x)e xf( x)e xe xf(x) f( x)1， f(x) f( x)1，e x0， g( x)e xf(x) f( x)10， g(x)是 R 上的增函数又 g(0
3、) f(0)12017， g(x)2017 的解集为(0，)，即不等式 exf(x)ex2017 的解集为(0，)故选 B.6(2017五华区校级模拟)设函数 f(x) x(ln x ax)(aR)在区间(0,2)上有两个极值点，则 a 的取值范围是( )A. B.(12， 0) (0， ln 2 14 )C. D.(12， 1) (ln 2 14 ， 12)答案 D解析 f(x) x(ln x ax)，求导 f( x)ln x2 ax1，4由题意，关于 x 的方程 2axln x1 在区间(0,2)有两个不相等的实根，则 y2 ax 与yln x1 有两个交点，由 yln x1，求导 y ，
4、1x设切点( x0， y0)， ，解得 x01，ln x0 1x0 1x0切线的斜率 k1，则 2a1， a ，12则当 x2，则直线斜率 k ，ln 2 12则 a ，ln 2 14 a 的取值范围为 .故选 D.(ln 2 14 ， 12)7(2017江西模拟)若函数 f(x) a(x2)e xln x 存在唯一的极值点，且此极值1x大于 0，则( )A0 a0，1x f( x) a(x1)e x ( x1) ，1x 1x2 (aex 1x2)由 f( x)0 得到 x1 或 aex 0(*)1x2由于 f(x)仅有一个极值点，关于 x 的方程(*)必无解，当 a0 时，(*)无解，符合题
5、意，当 a0 时，由(*)得， a ， a0，1exx25由于这两种情况都有，当 01 时， f( x)0，于是 f(x)为增函数， x1 为 f(x)的极值点， f(1) ae10， a1， g( x)0，函数是增函数，函数的最小值为 g(1)1 ，则 a1 ，1e 1e即 a0，即 2 a0，解得 a ，所以 a 的取值范围是(23) 29 19.(19， )12(2017信阳模拟)已知 R 上可导函数 f(x)的图象如图所示，则不等式( x22 x3)f( x)0 的解集为_答案 (，1)(1,1)(3，)解析 由函数图象可知 f( x)0 的解集为(，1)(1，)， f( x)0，得E
6、rror! 或Error! 解得 x3；解得10 的解集为7(，1)(1,1)(3，)故答案为(，1)(1,1)(3，)13(2017七里河模拟)定义在 R 上的奇函数 y f(x)满足 f(3)0，且当 x0 时，不等式 f(x) xf( x)恒成立，则函数 g(x) xf(x)lg | x1|的零点的个数是_答案 3解析 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足：f(0)0 f(3) f(3)，且 f( x) f(x)，又 x0 时， f(x) xf( x)，即 f(x) xf( x)0， xf(x)0，函数 h(x) xf(x)在 x0 时是增函数，又 h( x) xf( x) xf(x)，
7、 h(x) xf(x)是偶函数； x2； a0， b2； a1， b2.答案 解析 令 f(x) x3 ax b，则 f( x)3 x2 a.对于，由 a b3，得 f(x) x33 x3， f( x)3( x1)( x1)， f(x)极大值 f(1)10， f(x)极小值 f(1)0，函数 f(x)的图象与 x 轴有两个交点，故x3 ax b0 有两个实根；对于，由 a3， b2，得 f(x) x33 x b， f( x)3( x1)( x1)， f(x)极大值 f(1)2 b0， f(x)极小值 f(1) b20，函数 f(x)的图象与 x 轴只有一个交点，故x3 ax b0 仅有一个实根
8、；对于，由 a0， b2，得 f(x) x32， f( x)3 x20， f(x)在 R 上单调递增，函数 f(x)的图象与 x 轴只有一个交点，故 x3 ax b0 仅有一个实根；8对于，由 a1， b2，得 f(x) x3 x2， f( x)3 x210， f(x)在 R 上单调递增，函数 f(x)的图象与 x 轴只有一个交点，故 x3 ax b0 仅有一个实根B 级三、解答题15(2017西城区期末)已知函数 f(x)( x a)ex，其中 e 是自然对数的底数， aR.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 a0，9所以对于任意 xR， F(x)0，因此方程 ex a x 无实数解
9、所以当 x0 时，函数 g(x)不存在零点综上，函数 g(x)有且仅有一个零点16设函数 f(x) x3 x2( a21) x，其中 a0.13(1)若函数 y f(x)在 x1 处取得极值，求 a 的值；(2)已知函数 f(x)有 3 个不同的零点，分别为 0， x1， x2，且 x1f(1)恒成立，求 a 的取值范围解 (1) f( x) x22 x( a21)，因为 y f(x)在 x1 处取得极值，所以 f(1)0.即(1) 22(1)( a21)0.解得 a2，经检验得 a2.(2)由题意得 f(x) x x(x x1)(x x2)，(13x2 x a2 1) 13所以方程 x2 x a210 有两个相异的实根 x1， x2.故 1 (a21)0，13 43解得 a ，且 x1 x23，12 12又因为 x1x1 x23，故 x2 1.32若 x11f(1)恒成立的充要条件为 f(1) a2 0，解得13 a .33 33综上得 a ，即 a 的取值范围为 .12 33 (12， 33)
