1、1“归一法”及其在初中数学中的应用 上海市华东师大一附中实验中学 何 鋆教，要有一个原则；学，要有一个方法。教师要教学生学会学习，如果能使学生学会一种方法，从而激发学生学习的兴趣，主动地学习，这样有利于学生素质的提高，对学生的一生都有帮助。现实世界中有很多问题需要人们去解决，然而有些问题可以转化为数学问题，如何教会学生去解决数学问题是非常重要的。数学学科是一门基础学科，它的分支很多，解决问题的方法也很多，学生要学会用各种不同的方法去解决各种不同的问题。能不能提出一种方法，这种方法既好记、好用，又能找到解决问题的思路，从而迅速、正确地解决实际问题呢？通过长期的教学实践，笔者设想了一种方法，把它称
2、为“归一法” ，这种方法好记、好用，能解决很多实际问题。一、为什么要提出一种方法学生进入初中以后，接触到的数学知识增多了，并且知道了数学学科有代数、几何，到了高中还有要求更高的代数、三角、立体几何、解析几何和微积分，这么多的知识能学好吗？各种不同的分支，各种不同的问题要用各种不同的方法解决，能行吗？如果一开始就提出学好数学只要学会一种方法就行了，并说明这种方法能解决很多各种不同的问题，这样可以在学生心理上产生一种学好数学的自信性，所以提出一种方法是有好处的。二、什么是“归一法”数学的实际问题很多，首先要把解决的问题归结到一种类型的问题。在具体解决问题中会接触到一些数字、变量和图形，解决问题还要
3、进行推理，还要有一种思路。“归一法”就是用较小的数字、较少的变量、较简单的图形，用合理的推理来解决数学问题的一种方法，学会了“归一法” ，对于解决数学问题就能找到一条正确的思路，特别对于学生的主动学习有很大的帮助。三、 “归一法”的规则在解决具体数学问题中，可以运用的“归一法”的具体规则如下：“宁小不大” 、 “宁少不多” 、 “宁同不异” 、 “宁直不间” 、 “宁简不繁” 。说明：如果在解决具体问题中出现了矛盾，以宁简不繁为主。四、 “归一法”的特点1、顺口好记，且有开放性，规则部分，遇到具体的数学问题时，可以根据相对性原理自行添加，如：“宁正不负” 、 “宁加不减” 、 “宁单不复” 、
4、 “宁清不混”等；2、掌握的技巧是学会“转化” ，如：把“大”转化为“小” ，把“多”转化为“少”，把“异”转化为“同”等。3、便于检验找错，使学生学会迅速、合理、正确地解题。4、可运用于数学和其他学科，学生学会了“归一法” ，对总体素质的提高有很大的帮助。五、 “归一法”的运用举例例 1、 计算： 296解：原式= )34()3(2= 22343= )(= 5=115说明：本题根据“宁小不大”的规则，利用数的分解和提取公因数的方法来解题，因而计算比较简单。例 2、已知：ABC 中 M 为 BC 的中点，R 为 CA 的延长线上的点，RPAM，交 BC 于 P 点，交 AB 于 Q 点。 R求
5、证：PQ+PR=2MA 证明： RP AM A ， Q CARBPM 为 BC 的中点BM=MC B P M C 2CMPQPR+PQ=2MA 说明：本题根据“宁同不异”的规则，把所有的比转化到同一条线段 BC 上，利用BP、PC，BC、BM、MC 的关系得证。例 3、已知：ABC 中，B=45，COSA= ，一条边（不是最长边）上的高为54。2求：BC 的长 解：分析：过 C 点作 CEAB，交 AB 于 ECOSA= ，设 AE=4m，则 AC=5m 54由勾股定理得 CE=3m，得CE90 即ABC 是钝角三角形，AB 最长。 解：（1）设：一条边上的高为 BC 上的高 AD， 过 C
6、点作 CEAB，交 AB 于 ECOSA= ，设 AE=4m，AC=5m 54由勾股定理得 CE=3mB=45，得 EB=3m AB=7m，BC= m 23ADBC，B=45 AB= AD= =6,即 7m=6，m=23763BC= m= =2376218解（2）设一条边上的高为 AC 上的高 BD过 B 点作 CDAB，交 AB 于 D，COSA= ，设 AE=4m，AC=5m54由勾股定理得 CE=3m，B=45，得 EB=3m AB=7m，BC= m CEAB，BDAD, A 公用23rtAECrtADB 得 ，则 BCEAD7BD= A 521mBD= ， = ，m= E 32375B
7、C= m= = B DC 2750说明：本题根据“宁少不多”的规则，按照不同的情况进行讨论来求出结果的。例 4、已知：如图，AB 为O 的直径，过 A、B 分别作 AD 和 BE 二弦交于 C 点。求证：ACAD+BC BE=AB2证法 1分析：如果连接 AE、BD，再过 C 点作 CFAB，垂足为 F 点，此时，AB 分为两条线段。把 AB2写成 AB（AF+FB ） ，得 ABAF+ABFB，这样，在形式上与结论的左边相同，再用化乘积为比例，由比例找三角形和证明三角形相似，即可得证。证明：连接 AE 和 BD，过 C 作 AB 的垂线 CF 交 AB 于 F（如图）AB 是O 的直径 EA
8、DBD D 又DAB 为公共角 CRtAFCRtADB A O F B ADFBCACAD=AB AF 同理 RtBCFRtBAE EBCBE=AB BF + 得 ACAD+BCBE=ABAF+ABBF=AB2说明：本题的证法根据“宁同不异”的规则，利用形式相同来证明的。证法 2分析：如果连接 AE 和 BD，利用 AB 分别和两个直角三角形的关系，找出 AB 和有关线段的关系，可以得证。证明：连接 AE 和 BD AB 是O 的直径 E=D=904由勾股定理得 22BDA)(2CD22)(ACDBAC E DA22同理可得 BEAAO B)(22C222 BCEBAE CE2由+ 得 )(D
9、C 2ABAD说明：本题的证法根据“宁少不多”的规则，在两个直角三角形中分别找出 AB 与有关线段的关系来证明的。例 5、已知：ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，ADBC，垂足为 D。求：AD 的长解：设 BD=x,则 DC=14-x，由 ADBC，得ADB、ADC 均为 Rt.由勾股定理得 A152-x2=132-(14-x)2，即 225-x2=169-196+28x-x228x=252x=9 2BDAB D C29154说明：本题如果用“宁直不间”的规则来做就比较繁，但是用间接设未知数和“归一法”的原理产生了矛盾，此时，就以“宁间不繁”为主。例 6、解方程： 7312102
10、3 22 xxxx解：由原方程可得： 073132 222x设： ，kxxx1（1） 若 ，则可得 ；0k45（2） 若 ，则可得0k kxxxkxx 34107322107322 73223473222 xxkxx0922 由（1） 、 （2）可得； 或 ，经检验，均为原方程的解。4x3说明：本题利用 ，找到)10()73()12()( 222 xxx“同” ，再利用“分母有理化”的方法，根据“宁同不异”的规则得解的。另外，本题在解的过程中，要注意讨论，不能遗漏 的情况。0k例 7、已知；一个窗框如图，它的上方为一个半圆，下方为一个长方形，若窗框的周长为 分米，半圆的l半径为 分米，窗框的面积为 平方分米，xy（1） 试写出 与 的函数关系式 yx（2） 当 的值为多少时， 有极大值 BCA解：（1）设： ，则半圆 弧长为 ， OADx， 2l则可得 22xlxylxl24)( 20lx（2）由 2842 llylxy当 时， ， 。即4lx4lBC2lllAB当 时， 有极大值 平方分米。21Ay82l说明：本题根据所有的线段都与 有关，利用二次函数的关系式中的配方法，根据x“宁同不异”的规则得解的。
