1、1课时跟踪训练(十三) 函数模型及其应用基础巩固一、选择题1物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间 T内完成预测的运输任务 Q0，各种方案的运输总量 Q与时间 t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )解析 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的答案 B2(2018河南洛阳期中)已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为y alog3(x1)，设这种动物第 2年有 100只，到第 8年它们发展到(
2、)A100 只 B200 只C300 只 D400 只解析 由题意知 100 alog3(21)， a100， y100log 3(x1)，当 x8 时，y100log 39200.答案 B3(2017福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳 14的含量大约每经过 5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” 当死亡生物体内的碳 14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了若某死亡生物体内的碳 14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A8 B9C10 D11解析 设死亡生物体内原有的碳 14含量为 1，则经过 n(nN *)个“半衰期”后的含
3、量为 n，由 n200，化简得(n2016)lg1.12lg2lg1.3，所以 n2016 3.8，所以 n2020，因此开始lg2 lg1.3lg1.12超过 200万元的年份是 2020年，故选 C.答案 C6国家规定个人稿费纳税办法是：不超过 800元的不纳税；超过 800元而不超过4000元的按超过 800元部分的 14%纳税；超过 4000元的按全部稿酬的 11%纳税已知某人出版一本书，共纳税 420元，则这个人应得稿费(扣税前)为( )A2800 元 B3000 元C3800 元 D3818 元解析 设扣税前应得稿费为 x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得yError!如果稿费为
4、 4000元应纳税为 448元，现知某人共纳税 420元，所以稿费应在8004000 元之间，( x800)14%420， x3800.答案 C二、填空题37.(2016江西六校联考) A、 B两只船分别从在东西方向上相距 145 km的甲乙两地开出 A从甲地自东向西行驶 B从乙地自北向南行驶， A的速度是 40 km/h， B的速度是 16 km/h，经过_小时， AB间的距离最短解析 设经过 x h， A， B相距为 y km，则 y ，求得函数的最小值时 x的值为 . 145 40x 2 16x 2(0 x298) 258答案 2588(2017北京海淀一模)某购物网站在 2014年 1
5、1月开展“全场 6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6 折后)满 300元时可减免 100元” 某人在11日当天欲购入原价 48元(单价)的商品共 42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为_解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6 折后)满 300元时可减免 100元” ，即每张订单打折前原金额不少于 500元由于每件原价 48元，因此每张订单至少 11件，所以最少需要下的订单张数为 3张答案 39某食品的保鲜时间 t(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系 tError!且该食品在 4的保鲜时间是 16小时已知甲在某日上午 10时
6、购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示给出以下四个结论：4该食品在 6的保鲜时间是 8小时；当 x6,6时，该食品的保鲜时间 t随着x增大而逐渐减少；到了此日 13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；到了此日 14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间其中，所有正确结论的序号是_解析 食品的保鲜时间 t(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系tError! 且该食品在 4的保鲜时间是 16小时2 4k6 16，即 4k64，解得k ， t 当 x6 时， t8.该食品在 6的保鲜时间是 8小时，正确；当12x6,0时，保鲜时间恒为 64小时，当 x(0,6时，该
7、食品的保鲜时间 t随着 x增大而逐渐减少，故错误；到了此日 10时，温度超过 8度，此时保鲜时间不超过 4小时，故到 13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；到了此日 14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确故正确的结论的序号为.答案 三、解答题10已知某物体的温度 (单位：摄氏度)随时间 t(单位：分钟)的变化规律： m2t2 1 t(t0，并且 m0)(1)如果 m2，求经过多少时间，物体的温度为 5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于 2摄氏度，求 m的取值范围解 (1)若 m2，则 22 t2 1 t2 ，(2t12t)当 5 时，2 t ，令 2t x1，则 x ，12t
8、52 1x 52即 2x25 x20，解得 x2 或 x (舍去)，12此时 t1.所以经过 1分钟，物体的温度为 5摄氏度5(2)物体的温度总不低于 2摄氏度，即 2 恒成立亦 m2t 2 恒成立，亦即 m2 恒成立22t (12t 122t)令 x，则 0x1， m2( x x2)，12t由于 x x2 ， m .因此，当物体的温度总不低于 2摄氏度时， m的取值范围是14 12.12， )能力提升11(2017陕西西安模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数 x(正常情况 0 x100，且教职工平均月评价分数在 50分左右，若有突出贡献可以高于 100分
9、)计算当月绩效工资 y元要求绩效工资不低于 500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在 600元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少则下列函数最符合要求的是( )A y( x50) 2500B y10 500 C y (x50) 362511000D y5010lg(2 x1)解析 由题意知，函数应满足单调递增，且先慢后快，在 x50 左右增长缓慢，最小值为 500，A 是先减后增，不符合要求；B 由指数函数知是增长越来越快，不符合要求；D由对数函数知增长速度越来越慢，不符合要求；C 是由 y x3经过平移和伸缩变换而得，最符合题目要求，故选 C.答案 C12(2017石家庄质检)加工爆米
10、花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率” 在特定条件下，可食用率 p与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系p at2 bt c(a， b， c是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )6A3.50 分钟 B3.75 分钟C4.00 分钟 D4.25 分钟解析 根据图表，把( t， p)的三组数据(3,0.7)，(4，0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得Error!消去 c化简得Error!解得Error! 所以p0.2 t21.5 t2 2 2 ，所以当15(t2 152t 22516) 4516 15(t
11、 154) 1316t 3.75 时， p取得最大值，即最佳加工时间为 3.75分钟154答案 B13一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出， t min后剩余的细沙量为 y ae b t(cm3)，经过 8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一解析 当 t0 时， y a，当 t8 时， y ae8 b a，12e 8 b ，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，12即 y ae b t a，e b t (e 8 b)3e 24 b，18 18则 t24，所以再经过 16 min.答案 1614为了在夏季降温和冬
12、季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系 C(x)7 (0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8万元，设 f(x)为隔热层建造k3x 5费用与 20年的能源消耗费用之和(1)求 k的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值解 (1)由已知条件得 C(0)8，则 k40，因此 f(x)6 x20 C(x)6 x (0 x10)8003x 5(2)f(x)6 x10 108003
13、x 52 10 6x 10 8003x 570(万元)，当且仅当 6x10 ，即 x5 时等号成立8003x 5所以当隔热层厚度为 5 cm时，总费用 f(x)达到最小值，最小值为 70万元15(2017吉林长春模拟)一种药在病人血液中的含量不低于 2克时，它才能起到有效治疗的作用已知每服用 m(1 m4 且 mR)克的药剂，药剂在血液中的含量 y(克)随着时间 x(小时)变化的函数关系式近似为 y mf(x)，其中 f(x)Error!(1)若病人一次服用 3克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(2)若病人第一次服用 2克的药剂，6 个小时后再服用 m克的药剂，要使接下来的 2小时中能够持
14、续有效治疗，试求 m的最小值解 (1)因为 m3，所以 yError!当 0 x6时，由 2，解得 x11，此时 0 x6；304 x当 6 x8 时，由 12 2，3x2解得 x ，此时 6 x .203 203综上所述，0 x .203故若一次服用 3克的药剂，则有效治疗的时间可达 小时203(2)当 6 x8 时， y2 m 8 x ，(412x) 104 x 6 10mx 2因为 8 x 2 对 6 x8 恒成立，10mx 28即 m 对 6 x8 恒成立，x2 8x 1210等价于 m max,6 x8.(x2 8x 1210 )令 g(x) ，则函数 g(x) 在6,8上是单调递增函数，x2 8x 1210 x 4 2 410当 x8 时，函数 g(x) 取得最大值为 ，x2 8x 1210 65所以 m ，65所以所求的 m的最小值为 .65
