1、专题二 函数概念与基本初等函数第六讲 函数综合及其应用答案部分1A【解析】解法一 根据题意，作出 的大致图象，如图所示()fxxyy=f(x)1O当 时，若要 恒成立，结合图象，只需 ，即1x ()|2xfa 23()2xa，故对于方程 ， ，解230a 230a1()40得 ；当 时，若要 恒成立，结合图象，只需4716 x()|xf，即 ，又 ，当且仅当 ，即 时等号成2x a 2 2x立，所以 ，综上， 的取值范围是 选 Aa 47,16解法二 由题意 的最小值为 ，此时 不等式 在 R 上恒成()fx2x()|2xfa立等价于 在 R 上恒成立1|24当 时，令 ， ，不符合，排除 C
2、、D；3ax831|2|4当 时，令 ， ，不符合，排除 B选 A91619|62D【解析】 “燃油效率” 是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗 1 升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以 80 千米/小时的速度行驶1 小时，甲车每消耗 1 升汽油行驶的里程 10km,行驶 80km，消耗 8 升汽油，C 错误，D 中某城市机动车最高限速 80 千米/小时 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选 D3B【解析】由题意可知 过点（3，0.7） ， （
3、4，0.8） （5，0.5） ，代入2patbc中可解得 ，2patbc0.,1.5,220.1.pt，当 分钟时，可食用率最大0.(.75).8127t4D【解析】设年平均增长率为 ，原生产总值为 ，则 ，解xa2(1)()qax得 ，故选 D()xpq5【解析】 在 上单调递增，故 具有 性质；(2()xxxeefR()2xf 在 上单调递减，故 不具有 性质；()3()xxxef ()3xf ，令 ，则 ，3ge 2()xgxee当 时， ，当 时， ，2x0x20在 上单调递减，在 上单调递增，3()ef,故 不具有 性质；x ，令 ，2()xef2xge则 ，(1)0xge 在 上单
4、调递增，故 具有 性质2()xxefR2(fx68【解析】由于 0,1f，则需考虑 的情况，在此范围内， xQ且 D时，设*,2qxpN，且 ,pq互质，若 lg，则由 lg(0,1)，可设*lg,nm，且 互质，,mn因此10nmqp，则nmqp，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此 lgxQ，因此 lgx不可能与每个周期内 xD对应的部分相等，只需考虑 与每个周期 的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外 (1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期xD的部分，且 1处(lg)ln10lx，则在 1x附近仅有一个交点，因此方程 ()f的解的个数为 87 【解析】如图连接 交 于 ，
5、由题意 ，设等边三角形 的415OEACGOEACABC边长为 （ ） ，则 ， x0536x356xGODFECBA由题意可知三棱锥的高 222353(5)()6hGExx底面 ，234ABCSx三棱锥的体积为 ，2 451531332Vxx设 ，则 （ ） ，45()hxx34()0h 0令 ，解得 ，当 时， ， 单调递增；()0hx43x(0,43)x()0hx()当 时， ， 单调递减，43,5()h所以 是 取得最大值xx4()所以 2max115(43)3152Vh8 2， (,).【解析】若 ，则 ，当 时，0a,0()xf x；0x当 时， ，所以函数 在 上单调递2()3(
6、1)fxx()fx,1)增，在 上单调递减，所以函数 在 上的最大值为 1,f(,0(2f综上函数 的最大值为 2()fx函数 与 的大致图象如图所示3yyxy121232123O若 无最大值，由图象可知 ，即 ()fxa1924【解析】由题意得 ，即 ，所以该食品在 的保鲜时间是21948bke192bke33133()()kbkbye10 【解析】函数 的定义域为 ，根据已知得 ，(20,gx1,2()2hxgfx所以 ， 恒成立，2()=()64hxfbx()hgx即 ，令 ， ，则只要直线2264xbx3yxb24yx在半圆 上方即可，由 ，解得 （舍去3y4(0)y |1010b负值
7、） ，故实数 的取值范围是 b21,11160【解析】设该容器的总造价为 元，长方体的底面矩形的长 ，因为无盖长方yxm体的容积为 ，高为 ，所以长方体的底面矩形的宽为 ，依题意，得34m424201()80()802160yxxx12【解析】对于，根据题中定义， 函数 ， 的值域Af()yfD为 ，由函数值域的概念知，函数 ， 的值域为R()yxD,Rba，所以正确；对于，例如函数 的值域 包含于区间()fab |1()2xf(0,1，所以 ，但 有最大值 l，没有最小值，所以错误；对于，若1,()fxB()fx，则存在一个正数 ，使得函数 的值域包含于区()fxg1M()fxgB间 ，所以
8、 ，由 知，存在一个正数 ，1,M1 ()fx1g 2M使得函数 的值域包含于区间 ，所以 ，亦有()x2,22()x ，两式相加得 ，于是22g - 12()f1，与已知“. ”矛盾，故 ，即正确；对于，如()fxB()fxA(fxgB果 ，0a那么 ，如果 ，那么 ，所以 有最,()f0a2,()f()fx大值，必须 ，此时 在区间 上，有 ，2()1xf(12 所以 ，即正确，故填()fxB13 【解析】(1)当 时， 恒成立，公交群体的人均通勤时间不可03 ()304fx能少于自驾群体的人均通勤时间；当 时，若 ，即 ，解得 （舍）或31x4()f18290x20x；45x当 时，公交
9、群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；10x(2)设该地上班族总人数为 ，则自驾人数为 ，乘公交人数为 n%nx (1%)nx因此人均通勤时间 ，304(1),03()1829)0(),1gxnxxx 整理得： ，240,1()(3.5)6.87,301xgx则当 ，即 时， 单调递减；(0,3,.(,.x()gx当 时， 单调递增2.51)x()g实际意义：当有 的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短.%适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降14 【解析】(1)连结 并延长交 于 ，则 ，所以
10、=10POMNHPNOHHEKGNMOABCD过 作 于 ，则 ，所以 ，OEBCE故 ， ，40cos40sin则矩形 的面积为 ，AD2co(i10)8(4sincos)的面积为 P1ss6过 作 ，分别交圆弧和 的延长线于 和 ，则 NGMOEGK10N令 ，则 ， 0OK0sin40(,)当 时，才能作出满足条件的矩形 ，0,)2ABCD所以 的取值范围是 sin1,)4答：矩形 的面积为 平方米， 的面积为ABCD80(sincos)P， 的取值范围是 160(cosics)1,4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43，设甲的单位面积的年产值为 ，乙的单位面积的年产值为
11、 ，4kk(0)则年总产值为 80(sincos)16cosincsk， 80(sinco)0,2设 ， ，)sf )则 222(csiin(siin1)(2sin1)(i)令 ，得 ，)0f6当 时， ，所以 为增函数；(,()0f ()f当 时， ，所以 为减函数，)62 因此，当 时， 取到最大值()f答：当 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大15 【解析】 （1）由 ，得 ，21log50x15x解得 ,4x（2） ， ，125axa24510xa当 时， ，经检验，满足题意当 时， ，经检验，满足题意312当 且 时， ， ， a414xa21x2x是原方程的解当且仅当 ，即 ；1
12、x10ax2是原方程的解当且仅当 ，即 2 21于是满足题意的 1,a综上， 的取值范围为 3,4（3）当 时， ， ，120x12ax2211loglogaaxx所以 在 上单调递减f,函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ， xtft1ft即 ，2211loglogft aatt20tat对任意 成立,t因为 ，所以函数 在区间 上单调递增，0a21yatt1,2时， 有最小值 ，由 ，得 12t3403a故 的取值范围为 a2,16 【解析】 （1）由题意知，点 ， 的坐标分别为 ， 5,402,.5将其分别代入 ，得 ，解得 2ayxb52.40b10ab（2）由（1）知， （ ）
13、，则点 的坐标为 ，215x2,t设在点 处的切线 交 ， 轴分别于 ， 点， ，lxyA30yx则 的方程为 ，由此得 ， l2310yxttt3,02tA230,t故 ， 262431ft tt5,t设 ，则 令 ，解得 62410gtt650gtt0gt12t当 时， ， 是减函数；5,tt当 时， ， 是增函数1020gt从而，当 时，函数 有极小值，也是最小值，所以 ，t min30gt此时 min53f答：当 时，公路 的长度最短，最短长度为 千米102tl 15317 【解析】 （）因为蓄水池侧面积的总成本为 020rh元，底面的总成本为26r元，所以蓄水池的总成本为（ 6）元.
14、又题意据 2016hr，所以 21(34)5r，从而 因 0r，又由 h可得 53，23()(04)5Vr故函数 的定义域为 ,.（）因 ，故 令 ，3()rr2()31)5Vrr()0Vr解得 125,（因 25不在定义域内，舍去）.当 (0)r时， ，故 在 (0,)上为增函数；()0Vrr当 ,3时， ，故 在 ,53上为减函数.V由此可知， 在 5r处取得最大值，此时 8h()即当 5r， 8h时，该蓄水池的体积最大18 【解析】 （1）当 时， ,1,2bcn()1nfx ， 在 内存在零点()()02nf,又当 时， ， 在 上是单调递增的，1(,)2x1()0nfx()fx1,2
15、 在区间 内存在唯一的零点；f（2）解法一 由题意知 即 由图像知， 在点1(),f,20bc3bc取得最小值 ，在点 取得最大值 (0,)6(0,)O-2cb解法二 由题意知 ，即 1()1fbc0bc，即 1()fbc20- +得26()3c-当 时， ；当 时，0,bc36b0bc所以 的最小值 ，最大值 30解法三 由题意知 ,(1)fcb解得 ()(1)2,2ffb31)3cf又 , ()f630bc-当 时， ；当 时，0,2bc3bc所以 的最小值 ，最大值 360(3)当 时, n2()fx对任意 都有有 等价于 在-1,1上的最大值与最12,12()4fxf()fx小值之差 据此分类讨论如下:4M()当 ,即 时, ,与题设矛盾12b(1)24fb()当 ,即 时, 恒成立02b 2()(14Mf() 当 ,即 时, 恒成立1201)f综上可知, 19 【解析】设包装盒的高为 （cm） ，底面边长为 （cm） ，由已知得ha.30),30(260,2xxhxa（1） ,1858842S所以当 时， 取得最大值5x（2） ).0(6),30(222 xVxhaV由 （舍）或 =200x得当 时， ),(;(,)x 当 时所以当 =20 时，V 取得极大值，也是最小值x此时 装盒的高与底面边长的比值为 12ha即 12
