1、丹东市 20172018 学年度上学期期末教学质量监测高三理科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意 ， .故选 C.2. 复数满足 ，则在复平面内对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】 , ，对应点为 在第四象限，故选D.3. 下列函数为奇函数的是A. B. C. D. 【答案】C【解析】对于 ，定义域为 R，用 替换 得 ，所以 是奇函数，故选C.4. 某几何体的三视图如图所示，其中主视图
2、，左 视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，则该此几何体的体积为A. B. C. D. 【答案】A【解析】该几何体是一个半球上面有一个三棱锥，体积为，故选 A.5. 执行如图的程序框图后，输出的A. 6 B. 27 C. 33 D. 124【答案】B【解析】由程序框图，变量 值依次为： ， ， ， ，此时满足退出循环的条件，故选 B.6. 某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用 22 列联表进行独立性检验，经计算 ，则所得到的统计学结论是：有（ ）的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系” A. 99.9% B. 99% C. 1% D. 0.
3、1%【答案】C【解析】6.6356.70510.828， 因此有 1%的把握，故选 C.7. 现将 5 张连号的电影票分给甲乙等 5 个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为A. 12 B. 24 C. 48 D. 60【答案】C【解析】先从四组两张连号票比如（1,2）（2,3）（3,4）（4,5）中取出一组，分给甲乙两人，共有 种，其余的三张票随意分给剩余的三人，共有 种方法，根据分步乘法原理可知，共有 种，故选 C. 8. 三棱锥 中， ， 分别是 ， 的中点，若 ， ，则异面直线 与 所成角为A. B. C. D. 【答案】A【解析】取 AC 中点 Q，连接 NQ，
4、QM，因为 N,Q 分别为 PC,AC 中点，所以 NQ/PA, 即为异面直线PA 与 所成角,在三角形 中， ，故三角形为直角三角形，故选 A. 9. 已知 是函数 的极值点，若 ， ，则A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】D【解析】因为 ，令 ，即 ，在平面直角坐标系画出 的图象，如图：根据图象可知， ，所以， ，故选 D.10. 若函数 在区间 和 上都是单调递增函数，则实数的取值范围为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由 得 ，在原点附近的递增区间为 ， ，因此，解得 ，故选 B.11. 双曲线 ： 与抛物线 有公共焦点 ， 是它们的公共点，设 ，若，则 的离心率A.
5、B. C. D. 【答案】A【解析】由抛物线方程知焦点为 ， ，不妨设公共点 ，在直角三角形 中，,由勾股定理解得 ，所以由双曲线定义知，故离心率 .故选 A. 12. 已知扇形 的圆心角是 ，半径是 1， 是弧 上不与 ， 重合的一点，设 ，若 存在最大值，则实数的取值范围为A. B. C. D. 【答案】A【解析】设射线 上存在 ，使 ， 交 于 ，由于 ，设 ， ,由 三点共线可知 ，所以 ，则 存在最大值 1，即在弧 AB 上存在与 平行的切线，所以 ，故选 A.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 若 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为_【答案】8【
6、解析】作出可行域如下图：由 得 ，平移直线 ，由图象可知当直线经过点 A 时，直线 的截距最小，此时有最小值.联立方程得 ,此时 z 的最小值为 . 故填 8. 14. 经过三点 ， ， 的圆的半径是_ 【答案】5【解析】易知圆心在线段 的中垂线 上，因设圆心坐标为 ，由 ，得 ，即圆心为 ，半径为 ，故答案为 5点睛：已知圆上三点求圆的半径，可以设出圆的一般方程 ，代入三点坐标，求出圆方程，配方后可得半径，也可象本题一样，先求出圆心坐标，再得半径，圆心是圆上两弦（不平行）的垂直平分线的交点，利用直线方程可得15. 甲、乙、丙、丁四人商量去不去看一部电影，他们之间有如下对话：甲说：乙去我才去；
7、乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去最终这四人中有人去看了这部电影，有人没去看这部电影，没有去看这部电影的人一定是_【答案】丁【解析】如果甲不去，那么丙也不去，乙、丁都不去；如果乙不去，那么丁不去，甲、丙都不去；如果乙不去，那么丁不去，甲、丙也都不去；如果丁不去，那么甲、乙、丙都去了，才符合题意，故答案为丁.16. 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ，若ABC 的面积为 ，则 ab的最小值为_【答案】12【解析】由正弦定理可得 ，即， ， ， ，由， ，再由余弦定理可得 ，整理可得，当且仅当 时，取等号， 故答案为 12.三、解答题：共 70
8、分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. 设 为数列 的前 项和，已知 （1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 【答案】 （1） （2） 【解析】试题分析：（1）已知 与 的关系式，一般是当 时，用 代替 得： ，然后两式相减得 的递推式，本题得等比数列，但要注意求 与这里所用方法不一样，要检验是否符合此规律；（2）对数列 需用错位相减法求其前 项和.试题解析：（1 ） 时， ，即 由题设 ， ，两式相减得 所以 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，故 （2 ） 两边同乘以 得 上式右边错位相减得所以 化简得 点睛：数列求和是数列的一个重要内容，其中掌握等差数列与等比
9、数列的求和公式是基础，另外还需掌握下列方法：分组求和，错位相减法，裂项相消法，倒序相加法等象本题数列是由一个等差数列和一个等比数列相乘所得，一般用错位相减法求和18. 甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪 70 元，每单抽成 3 元；乙公司无底薪，40 单以内（含 40 单）的部分每单抽成 5 元，超出 40 单的部分每单抽成 7 元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 100 天的送餐单数，得到频数表如下：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 20 40 20 10 10乙公司送餐员送餐单
10、数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 10 20 20 40 10将上表中的频率视为概率，回答下列问题：（1 ）现从甲公司随机抽取 3 名送餐员，求恰有 2 名送餐员送餐单数超过 40 的概率；（2 ） （i ）记乙公司送餐员日工资为 X（单位：元） ，求 X 的数学期望；（ii）某人拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日平均工资的角度考虑，他应该选择去哪家公司应聘，说明理由【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）由表格可知 100 天中，送餐天数超过 40 的有 20 天，根据古典概型即可求出概率；（2）计算乙公司送餐员日工资的期望值，计算甲公司的送餐员
11、日平均工资，比较两者大小即可.试题解析：（1）从甲公司记录的 100 天中随机抽取 1 天，送餐单数超过 40 的概率 有放回地抽取 3 次，3 次抽取中，恰有 2 次送餐单数超过 40 的概率是 （2 ） （i ）设乙公司送餐员送餐单数为 a，乙公司送餐员日工资为 X 元当 a=38 时，X=385=190；当 a=39 时，X=395=195；当 a=40 时，X=405=200；当 a=41 时，X=405+17=207；当 a=42 时，X=405+27=214X 的所有可能取值为 190，195，200，207，214 故 X 的分布列为：X 190 195 200 207 214P
12、X 的数学期望 E（X）=190 +195 +200 +207 +214 = （元） （ii）公司送餐员日平均送餐单数为 380.2+390.4+400.2+410.1+420.1=39.5所以甲公司送餐员日平均工资为 70+339.5=188.5（元） 因为 188.5202.2，故这个人应该选择去乙公司应聘 点睛：解决古典概型问题时，首先分析试验的基本事件是什么，然后找到所有的基本事件，计算事件总数，其次要找到所研究事件包含的基本事件，计算总数，然后根据比值计算概率. 19. 长方形 中， ， 是 中点（图 1） 将 沿 折起，使得 （图 2）在图2 中：（1）求证：平面 平面 ； （2）
13、在线段 上是否存点 ，使得二面角 为大小为 ，说明理由【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）长方形 中，连结 ，因为 ， 是 中点，所以，从而 ，所以 ,再根据 ，可得线面垂直，从而证明平面 平面 （2）建立空间直角坐标系，计算平面 的法向量，取面 的一个法向量是，利用其夹角为 ，即可得出.试题解析：（1）在长方形 中，连结 ，因为 ， 是 中点，所以 ，从而 ，所以 因为 ， ，所以 平面 因为 平面 ，所以平面 平面 （2 ） 因为平面 平面 ，交线是 ，所以在面 过 垂直于 的直线必然垂直平面以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，过 作平面 的垂线为轴，建立空间直角坐标
14、系 设 ，则 ， ， ， 设 ，则 设 是平面 的法向量，则 ，即 ，取 ，平取面 的一个法向量是 依题意 ，即 ，解方程得 ，或 ，取 ，因此在线段上存点 ，使得二面角 为大小为 点睛：立体几何问题对于第一问，要注意结合图形，特别是中点，寻求垂直或平行关系，对于第二问关键是建系写点的坐标，利用求得的法向量来求二面角的余弦，注意对角是锐角钝角的分析.20. 已知动点 E 到点 A 与点 B 的直线斜率之积为 ，点 E 的轨迹为曲线 C（1 ）求 C 的方程；（2 ）过点 D 作直线 l 与曲线 C 交于 ， 两点，求 的最大值【答案】 （1） （2 ） 【解析】试题分析：（1）直接设动点 的坐标为 ，把已知条件用数学式子翻译出来并化简即可，同时要注意变量的取值范围；（2）按直线的斜率存在不存在分类，斜率不存在时，直线方程为 ，直接求出 坐标，计算出数量积；当直线斜率存在时，设交点坐标为 ，设方程为 ，代入曲线 的方程，消去 ，由韦达定理可得 ，计算出数量积 ，并把 代入可得关于 的函数，再由不等式知识求得最大值试题解析：（1）设 ，则 因为 E 到点 A ，与点 B 的斜率之积为 ，所以 ，整理得 C 的方程为 （2）当 l 垂直于轴时，l 的方程为 ，代入 得 ，
