1、2018 届福建省漳州市高三上学期期末调研测试数学(文)试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 ， 得： ， ，所以 ，故选 D.2. 在复平面内，复数 和 对应的点分别是 和 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由复数 和 对应的点分别是 和 得： ， ，故 ，故选 C.3. 已知向量 ， ， ，若 ，则实数 的值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， ， ，又 ， ，
2、，解得 ，故选 A.4. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】第一次循环： ， ， ，执行“否”；第二次循环： ， ， ，执行“否”；第三次循环： ， ， ，执行“ 否”；第四次循环： ， ， ，执行“否”；第五次循环： ， ， ，执行“是”，输出 32，故选 C.5. 函数 的图象可能是 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为函数 的定义域为 ， ，所以函数 为奇函数，排除 A，B；当 时，因为 ，所以 ，即 在 时，其图象恒在 x 轴上方，排除 D，故选 C.点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，
3、是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中， M 为 AD 的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥 D1M B1C，故通过计算可得 D1CD 1B1B 1C2 ，D1MMC ，MB13， 故最长棱的长度为 3，故选 C.7. 已知函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图
4、象，则下列是函数 的图象的对称轴方程的为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 的图象的对称轴方程为 ，故函数 的图象的对称轴方程为，当 时， ，故选 A.8. 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配).”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二” ，则簪裹得( )A. 一鹿、三分鹿之一 B. 一鹿C. 三分鹿之二 D. 三分鹿之一【答案】B【解析】由题意可知，五人按等差数列进行
5、分五鹿 ，设大夫得的鹿数为首项 a1，且 a11 ，公差为 d，则 5a1 d5，解得 d ，所以 a3a 12d 2 1，所以簪裹得一鹿，故选 B.9. 已知正四棱锥 的顶点均在球 上，且该正四棱锥的各个棱长均为 ，则球 的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】设点 在底面 的投影点为 ，则 ， ， 平面 ，故，而底面 所在截面圆的半径 ，故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径，故球 的表面积 ，故选 C.点睛：本题考查球的内接体的判断与应用，球的表面积的求法，考查计算能力；研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系； （2）球的半
6、径与多面体的棱长的关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做出轴截面.10. 已知命题 ：椭圆 与双曲线 有相同的焦点；命题 ：函数 的最小值为 .下列命题为真命题的是 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 中椭圆为 ： ，双曲线为 ，焦点坐标分别为 和 ，故 为假命题； 中，设 (当且仅当 时，等号成立)，则 在区间上单调递增，故 ，故 为真命题，所以 为真命题，故选 B.11. 若不等式组 所表示的平面区域被直线： 分为面积相等的两部分，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意 可画出可行域为如图ABC 及其内部所表示的区域，联立可行域边界所在直
7、线方程，可得 A(1， 1)，B ，C(4，6)因为直线 l：ym(x1) 1 过定点A(1，1) ，直线 l 平分ABC 的面积， 所以直线 l 过边 BC 的中点 D，易得 D ，代入 mxym10，得m ，故选 A.12. 设函数 ，若对于任意的 ，都有 ，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题知 ， 为函数的一个极大值， 所以 ，得 ，设 ，则， ，当 时， ， 为增函数；当 时， ， 为减函数，所以 ，即 ，故选 A.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 在半径为 的圆 内任取一点 ，以点 为中点的弦的弦长小于 的概
8、率为_.【答案】【解析】由题知，当且仅当弦心距 d 1，即|CP|1 时， 以点 P 为中点的弦的弦长小于 2 ，由几何概型的概率公式可得所求概率为 .14. 甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为 的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球.现知道：甲取出的小球编号为偶数；乙取出的小球编号比甲大；乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大.则丁取出的小球编号是_.【答案】3【解析】由可知，甲取出的小球编号为 2，乙取出的小球编号可能是 3 或 4.又|14|32， |13|2，所以由可知，乙取出的小球编号是 4，丙取出的小球编号是 1，故丁取出的小球编号是 3.15. 已知 分别是锐角 的内角 ，
9、 ， 的对边，且 ， ，则 的取值范围是_.【答案】【解析】由题得 ，即 ，则 ，所以 ，由，得 ，因为 ，所以 ，故 的取值范围为 ，故答案为 .16. 已知直线过抛物线 ： 的焦点，与 交于 ， 两点，过点 ， 分别作 的切线，且交于点 ，则点 的轨迹方程为_.【答案】【解析】不妨将抛物线翻转为 ，设翻转后的直线的方程为 ，翻转后的 A，B 两点的坐标分别为 ， ，则联立 ，得 ，易得抛物线 在点 A 处的切线方程为，同理可得抛物线 在点 B 处的切线方程为 ，联立得 ，再由可得 ，所以 ，故原抛物线 C 相应的点 P 的轨迹方程为，故答案为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70
10、分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设数列 的前 项和为 ，且 .()求数列 的通项公式；()若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：()由 结合 化简可得 ，根据等比数列通项公式可得结果；()根据()可得 ，利用错位相减法得其前前 项和 .试题解析：()当 n2 时，a nS nS n1 3a n13a n1 1，即 2an3a n1 ，所以 ，当 n1 时，a 13a 11，解得 .所以数列a n是以 为首项， 为公比的等比数列，即 .()由()可得 所以 ，则，得 ，化简整理可得点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式， 这一
11、常用等式的应用以及数列求和，属于常规题；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于 ，其中 和 分别为特殊数列，裂项相消法类似于 ，错位相减法类似于 ，其中 为等差数列， 为等比数列等.18. 2017 年是内蒙古自治区成立 70 周年.某市旅游文化局为了庆祝内蒙古自治区成立 70 周年，举办了第十三届成吉思汗旅游文化周.为了了解该市关注“旅游文化周”居民的年龄段分布，随机抽取了 名年龄在且关注“ 旅游文化周”的居民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图.年龄单人促销价格（单位：元）()根据频率分布直方图，估计该市被抽取市民的年龄的平均数；()某旅行社针对“旅
12、游文化周”开展不同年龄段的旅游促销活动，各年龄段的促销价位如表所示.已知该旅行社的运营成本为每人 元，以频率分布直方图中各年龄段的频率分布作为参团旅客的年龄频率分布，试通过计算确定该旅行社的这一活动是否盈利；()若按照分层抽样的方法从年龄在 ， 的居民中抽取 人进行旅游知识推广，并在知识推广后再抽取 人进行反馈，求进行反馈的居民中至少有 人的年龄在 的概率.【答案】(1) 0.3,32;（2）旅行社的这一活动是盈利的；(3) 【解析】试题分析：（1）频率分布直方图中所有小矩形的面积（频率）之和为 1，由此可求得 的概率，取各组的中间数作为各组均值乘以相应的频率后相加可得；（2）由频率分布直方图
13、可得三组的频率，分别乘以对应的促销价相加后减去成本为正时是赢利，为负时是不赢利；（3）把 6 人分别编号，其中两个年龄段的人可用不同的编号，然后用列举法可得所有抽取 2 人的组合，并能得出至少有 1 人的年龄在50，60的组合数，从而计算出概率试题解析：(1)年龄在30 ，40)的频率为 1(0.0200.0250.0150.010)100.3，故估计该市被抽取市民的年龄的平均数 x150.2250.25350.3450.15550.132.(2)平均每个旅客为旅行社带来的利润为 1500.2240 0.71800.1200160， 故旅行社的这一活动是盈利的(3)由题意得被抽取的 6 人中，
14、 有 4 人年龄在10 ，20)，分别记为 a，b，c，d；有 2 人年龄在50，60，分别记为E，F.“抽取 2 人进行反馈”包含的基本事件为 a，b，a，c，a，d，a，E，a，F，b，c，b，d，b，E，b，F，c，d，c，E，c，F，d，E，d，F，E，F，共 15 种，其中事件“至少有 1 人的年龄在50，60”包含的基本事件为a，E，a ，F，b，E，b，F，c，E，c，F，d，E，d，F，E，F，共 9 种，故该事件发生的概率为 P .19. 如图，底面半径为 ，母线长为 的圆柱的轴截面是四边形 ，线段 上的两动点 ， 满足 .点 在底面圆 上，且 ， 为线段 的中点. ()求证
15、： 平面 ；()四棱锥 的体积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 .【答案】(1)见解析；（2）【解析】试题分析：（1）要证线面平行，考虑到 Q 是 AP 的中点，因此可再取 PB 的中点 H，从而由中位线定理得 HQ 与 EF 平行且相等，因此有 FQ/HE，从而得线面平行；（2）P 点是固定的，平面 ABCD 是不变的，因此四棱锥的高是定值，而四棱锥的底面 ABEF 的面积也是不变的，因此体积为定值，由体积公式可得体积试题解析：(1)证明：设 PB 的中点为 F，连接 HE，HQ，在ABP 中，利用三角形中位线的性质可得 QHAB ，且 QH AB，又 EFAB， EF A
16、B，所以 EFHQ ，EFH Q，所以四边形 EFQH 为平行四边形， 所以 FQHE，所以 FQ平面 BPE.(2)四棱锥 PABEF 的体积为定值， 定值为 .理由如下：由已知可得梯形 ABEF 的高为 2，所以 S 梯形 ABEF 23，又平面 ABCD平面 ABP，过点 P 向 AB 作垂线 PG，垂足为 G，则由面面垂直的性质定理可得 PG平面 ABCD，又 AP ，AB2，APB 90， 所以 BP1，所以 PG ，所以 V 四棱锥 PABEF PGS 梯形 ABEF 3 ，所以四棱锥 PABEF 的体积为定值，定值为20. 已知椭圆 : 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且过点 .
17、过点的直线交椭圆 于 ， 两点， 为椭圆的左顶点.()求椭圆 的标准方程；()求 面积的最大值，并求此时直线的方程.【答案】 （1） ；（2 ）直线 l 的方程为 x1.【解析】试题分析：(1)利用椭圆和抛物线有一个公共焦点和点在椭圆上进行求解；(2) 联立直线和椭圆的方程，得到关于 的一元二次方程，再利用根与系数的关系、弦长公式和基本不等式进行求解.试题解析：(1)因为抛物线 y24 x 的焦点为( ，0)，所以椭圆 C 的半焦距 c ，即 a2 b23. 把点 Q 代入 1，得 1. 由解得 a24， b21.所以椭圆 C 的标准方程为 y 21.(2)设直线 l 的方程为 xty1，代入
18、 y 21，得(t 24)y 22ty30.设 M(x1，y 1)，N( x2，y 2)，则有 y1y 2 ，y 1y2 .则|y 1y 2| .令 m(m )易知函数 y m 在 ，)上单调递增，则 ，当且仅当 m ，即 t0 时，取等号所以|y 1y 2| .所以AMN 的面积 S |AP|y1y 2| 3 ，所以 Smax ，此时直线 l 的方程为 x1.21. 已知函数 .()求函数 的单调区间；()若对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） f(x)在(， )上单调递减，在( ， )上单调递增，在( ，)上单调递减；（2）实数 m 的取值范围为1，).【解析】试题
19、分析：()对函数进行求导得 ，分别解不等式 和 可得单调区间；() 令 ，首先得到 ，对函数 进行二次求导，得到 在上单调递减，则 ，对 分为 和 两种情形，判断 和 0 的关系，得到 的单调性，进而得到其与 的关系，从而可得结论.试题解析：()由已知得 ，当 ，即 时， 或 ；当 ，即时， ，所以 f(x)在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减()令 ， ，由已知可得 ，即 ，下面只要考虑 的情况即可g(x)(2x 2)ex1 m，令 h(x)(2x 2)ex1 m，则 h(x)(x 22x2)e x1 ，因为 x1，所以 x22x20，所以 h(x)0，所以 h(x)在1，)上单调递减，即 g(x)在1，)上单调递减，则 g(x)g(1)1m.当 1m0，即 m1 时，此时 g(x)0，所以 g(x)在1，)上单调递减，所以 g(x)g(1)0，满足条件；
