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2018年湖南师大附中高三月考试卷(七) 数学(理)(word版).doc

上传人:cjc2202537 文档编号:943302 上传时间:2018-05-04 格式:DOC 页数:9 大小:294KB
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1、湖南师大附中 2018 届高三月考试卷(七)数 学(理科) 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 10 页时量 120 分钟满分 150 分第卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(1)已知集合 A ,B ,则 AB(B)x|( x 1) 2 y2 1, x R) y|y 1 x2, x R)(A) (B) (C)(,0 (D)1,)0, 2 0, 1【解析】A ,B ( ,1 AB .0, 2 0, 1(2)已知复数 z 满足(1i)z2i ,且 zai(aR )为实数,则 a(C)(A)1 (B)2 (C)1

2、 (D)2【解析】由(1i)z2i,解得 z1i,故 zai 1 (a1)i 为实数时,a1.(3)已知 Sn 为等差数列 的前 n 项和,若 a71,a 1S 49,则数列 中的最小项为(B)an Sn(A)S1 (B)S5,S 6 (C)S4 (D)S7【解析】令等差数列 的公差为 d,则 解得 a15,d1,an a1 6d 1,a1 4a1 6d 9, )有 ann6,S n ,则当 n5 或 6 时,S n 最小n(n 11)2(4)已知 的展开式中第 3 项与第 6 项的二项式系数相等,记展开式中系数最大的项为第 k 项,则(x 1x)n k(A)(A)5 (B)4 (C)4 或

3、5 (D)5 或 6【解析】 的展开式中第 3 项与第 6 项的二项式系数相等,n257,第 r1 项的系数为(x 1x)n Tr1 C (1) r,r4 时 Tr1 最大,故展开式中系数最大的项为第 5 项r7(5)执行如右图所示的程序框图,若输入 a7,b1,则输出 S 的结果是(D)(A)16 (B)19(C)34 (D)50【解析】第一次 a7,b1,S7,第二次 a6,b2,S19,第三次 a5,b3,S34,第四次 a4,b4,S50 后,程序结束(6)从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这九个数字中任意取出两个数字作和 ,则使得和为偶数的概率值为(C)(A) (B)13 23

4、(C) (D)49 59【解析】p .49(7)为得到函数 ycos 的图象,只需将函数 ysin 2x 的图象(C)(2x 3)(A)向左平移 个长度单位 (B)向右平移 个长度单位56 56(C)向左平移 个长度单位 (D)向右平移 个长度单位512 512【解析】ysin 2xf(x)cos ,f cos .(2x 2) (x 512 ) (2x 3)(8)一个三棱锥的正视图和俯视图如右图所示,则该三棱锥的侧视图可能为 (D)【解析】分析三视图可知,该几何体为如下图所示的三棱锥,其中平面 ACD平面 BCD.(9)已知 A 是双曲线 1(a0,b0)的左顶点,F 1、F 2 分别为双曲线

5、的左、右焦点,P 为双曲线上x2a2 y2b2一点,G 是PF 1F2 的重心, 若存在实数 使得 ,则双曲线的离心率为(A)GA PF1 (A)3 (B)2 (C)4 (D)与 的取值有关【解析】由题意,PG2GO,GAPF 1,2OAAF 1,2aca,c3a,e 3.(10)已知对任意的 x(0, ),函数 f(x)满足:00,于是 g(x)在(0,)上单调递增,f(x)x xf(x) f(x)x2故有 g(2)g(1),即 ,也就是 2;f(2)2 f(1)1 f(2)f(1)再令 h(x) (x(0, ),则 h(x) f(0)0,符合题意;34若 23 340,即 f(x)在(0,

6、t)上递增,有 f(x)f(0)0,符合题意综上,a .(23, )三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(17)(本小题满分 12 分)已知数列 的前 n 项和为 Sn,且 an2S n1.an()求数列 的通项公式;an()设 bn an,求数列b n的前 n 项和 Tn.(n2 2n 1n( n 1) )【解析】()a n2S n1 中令 n1 得 a11,由 an2S n1 可得,a n1 S n1 S n ,整理得 an1 a n,an 1 12 an 12所以 是首项为 1,公比为 1 的等比数列,故 an .(5 分)an ( 1)n ()由题意,b n

7、 (1) nn2( 1) n(n2 2n 1n(n 1))( 1)n 2n 1n(n 1)(1) nn2( 1) n .1n 1(n 1)当 n 为偶数时,T n ( 1 22 32 42 (n 1)2 n2) (11 12) (12 13) ( 1n 1 1n) 1 ;(9 分)(1n 1n 1) (1 2 3 n) 1n 1 n(n 1)2 nn 1当 n 为奇数时,T nT n1 b n n 2 ,n(n 1)2 n 1n (1n 1n 1) n(n 1)2 n 2n 1综上所述,T n (12 分)n(n 1)2 nn 1, n为 偶 数 , n(n 1)2 n 2n 1, n为 奇

8、数 .)(18)(本小题满分 12 分)如图(1),在边长为 2 的正方形 ABCD 中,E 是边 AB 的中点将 ADE 沿 DE 折起,如图(2),F 是折叠后 AC 的中点()求证:BF 平面 ADE;()若平面 ADE平面 BCDE,求 BF 与平面 ABD 所成角的正弦值【解析】() 取 AD 中点 G,连结 EG,FG,F 为 AC 中点 , FG 綊 CD,BE 綊 CD12 12FG 綊 BE,从而四边形 EBFG 是平行四边形(3 分)BF EG,又 BF平面 ADE,EG 平面 ADE,BF 平面 ADE.(5 分)() 如图所示以 B 为坐标原点,建立空间直角坐标系,在图

9、(1)中作 AHDE 于 H,易求得EH ,AH ,15 25作 HNAE 于 N,HMBC 于 M,则 HN ,HM ,25 65所以 A .(7 分)(25, 65, 25)而 B(0,0,0),D(2 ,2,0),则 , (2,2,0) BA (25, 65, 25) BD 设平面 ABD 的法向量为 n(x,y,z),则 nBA 0,nBD 0) 25x 65y 25z 0,2x 2y 0, )解得一个法向量为 n( , ,2)(9 分)5 5又 C(2,0,0),F , ,(65, 35, 15) BF (65, 35, 15)cosn, .BF nBF |n|BF | 3514BF

10、 与平面 ABD 所成角的正弦值为 .(12 分)3514(19)(本小题满分 12 分)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投 3 次,在 A 处每投进一球得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分,没有投进得 0 分;如果前两次得分之和超过 3 分,即停止投篮,否则投三次,且假设所有人在 A 处的命中率为 , 在 B 处的命中率为 q .已知同学甲选择只在 B 处投球14 (140,52 12 12故同学甲最终得分超过 3 分的概率更大一些(12 分)(20)(本小题满分 12 分)设 x,yR,向量 i,j 分别为平面直角坐标内 x,y 轴正方向上的单位向量,若向量 a(x

11、1)iyj ,b(x1)iyj,且|a| b|4.()求点 M(x, y)的轨迹 C 的方程;()记轨迹 C 与 x 轴的左、右交点分别为 A,B ,点 S 是 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AS,BS 与直线 l:x4 分别交于 M, N 两点,当线段 MN 的长度最小时,在轨迹 C 上是否存在点 T 使得TSA 的面积为 ?若存在,确定点 T 的个数;若不存在,说明理由 【解析】() a(x1)iyj,b(x1)iyj 14,且| a| |b|4. 4,(x 1)2 y2 (x 1)2 y2即点 M(x,y)到两个定点 F1(1,0),F 2(1,0)的距离之和为 4.(2 分) 点

12、 M 的轨迹 C 是以 F1、F 2 为焦点的椭圆,设所求椭圆的标准方程为 1(ab0) ,则:a2, c1,b 2a 2c 23,x2a2 y2b2故所求轨迹 C 的方程为 1.(4 分)x24 y23()易知 A ,B 的坐标为 A(2,0),B(2,0),直线 AS 的斜率 k 显然存在,且 k0, 故可设直线 AS的方程为 yk(x2),从而 M(4,2k)由 得(34k 2)x216k 2x16k 2120,y k(x 2),x24 y23 1 )设 S(x1,y 1),则(2)x 1 ,得 x1 ,16k2 123 4k2 6 8k23 4k2从而 y1 ,即 S .12k3 4k

13、2 (6 8k23 4k2, 12k3 4k2)又 B(2,0),故直线 BS 的方程为 y (x2),34k由 得 所以 N .y 34k(x 2),x 4 ) x 4,y 92k, ) ( 4, 92k)故 2k 2 6,|MN| | 2k 92k| 92k 2k92k当且仅当 2k 时,即 k 时等号成立,92k 32所以 k 时,线段 MN 的长度取最小值 6.(8 分)32此时直线 AS 的方程为 3x2y60,S ,( 1, 32)所以 ,要使TSA 的面积为 ,|AS|132 14只需点 T 到直线 AS 的距离等于 ,1313所以点 T 在平行于 AS 且与 AS 距离等于 的

14、直线 l上,1313设 l:3x2y t0,则由 ,解得 t7 或 t5.|t 6|13 1313当 t7 时,由 得 12x242x370,x24 y23 1,3x 2y 7 0)由于 120 ,故直线 l与椭圆 C 有两个交点,综上所求点 T 的个数是 2 个(12 分)(21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) ,a R,e 为自然对数的底数a sin xex()若函数 f(x)存在单调递增区间 ,求实数 a 的取值范围;()若 a0,试讨论方程 f(x) 在 上解的个数;cos xx 4, 2()证明:对任意的 a0,x ,恒有 e13x 2f(x)成立 1, 1【解析】()

15、由已知得 f(x) ,cos x a sin xex因为函数 f(x)存在单调递增区间,所以 f(x)0 有解即 cos xasin x0 有解,所以 a0, 4, 2所以 g(x)0 得 x0,所以 h(x)在(0,) 单调递增,故 h(x)h(0) 0,从而 exx1x.于是 g 0,( 4) 22(e 4 4)而 g 0 对 a0,x 成立,cos x a sin xex 1, 1只需证:e 12x 2 sin 0 对 x 恒成立,2 (x 4) 1, 1由()可知,e xx1,所以有: e12x 22x( 当且仅当 x 时取等) 12只需证:22x2 sin 0 对 x 恒成立,2 (

16、x 4) 1, 1令函数 (x)22x2 sin ,x ,2 (x 4) 1, 1则 (x)22 cos 2 ,2 (x 4) 2cos(x 4) 22当 x 时,x ,(x)0,即 (x)在 上是增函数,0, 1 4 4, 1 4 0, 1当 x 时,x ,(x)0 对 x 恒成立,2 (x 4) 1, 1所以对任意的 a0,x ,恒有 e13x 2f(x) 成立(12 分) 1, 1请考生在第(22)、(23) 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分(22)(本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的参数方程为 (a0, 为参

17、数)以 O 为极点,x a acos ,y asin )x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 sin .( 6) 32()若曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为 1,求实数 a 的值;()若 A,B 为曲线 C 上的两点 ,且AOB ,求OAB 的周长的最大值 3【解析】() 曲线 C 是以 为圆心,以 a 为半径的圆;(a, 0)直线 l 的直角坐标方程为 x y30.(2 分)3若曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为 1,则有 a 1,|a 3|2解得:a .故所求实数 a 的值为 .(5 分)13 13()由题意,曲线 C 的极坐标方程为 2aco

18、s , ,设 A 的极角为 ,B 的极角为 2, 2),则: 3 , ,由正弦定理得: 2a,所以 a,|OA| |2acos | |OB| |2acos( 3)|AB|sin 3 |AB| 3所以ABO 的周长为 CABO a ,|OA| |OB| |AB| 3 2|cos | 2|cos( 3)|而 cos cos sin cos sin ,( 3) 32 32 3 ( 3) 3所以当 时,cos cos 取得最大值 . 6 ( 3) 3所以OAB 的周长的最大值为 3 a.(10 分)3(23)(本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲设函数 f(x)|2x1|,xR.()解不等式

19、f(x)f(x 1)2;()已知不等式 f(x)f(x 2) 的解集为 M,若 M,求实数 a 的取值范围|x a| (12, 1)【解析】() 原不等式等价于 2,而 2 当且仅当 (2x1)0|2x 1| |2x 1| |2x 1| |2x 1| (2x 1)时取等,即 x ,12 12故不等式的解集为 .(5 分) 12, 12()因为 M,则当 x 时,f(x)f(x2) 恒成立,(12, 1) (12, 1) |x a|等价于 0 在 x 恒成立,|2x 1| |2x 3| |x a| (12, 1)即 4 在 x 恒成立,即 x4a x4 在 x 恒成立,|x a| (12, 1) (12, 1)所以 a , 故所求 a 的取值范围是 . (10 分) (x 4)max (x 4) min 3, 92

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