1、2017 届湖南师大附中高三月考试卷（三）数学文科试题 数学文科试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1) 集合 ，集合 ，则 等于( )2|(10)Mxlog - 1|Nx -MNA B C D1,0,(2) 若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 的共轭复数为( )z(3iz =izA B C D32i2i34i34i(3) 在等差数列 中，已知 ，则 ( )na510a =79a =A12 B18 C24 D30 (4) 设 ，则 的大小关系是( )0.322,.3xbclog +,bc
2、A B C. Daaabca(5) 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为( )A B C. D13141516(6) 右图是函数 在区间 上的图象，为了得到,0) 2(yAsinxRA ， 56，这个函数的图象，只需将 的图象上所有的点( ) iA向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变6B向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变1C. 向左平移 个单位长度，再把所得各
3、点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 3D向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变(7) 已知函数 是 上的增函数，则 的取值范围是( )251xaf-（ ）（ ） RaA B C. D30a- 232- 0(8) 过抛物线 的焦点 且倾斜角为 60的直线 与抛物线在第一、四象限分别交于20ypx Fl两点，则 的值等于 ( ),BFA5 B4 C. 3 D2(9) 函数 的图象的大致形状是( )21cosxfe -(10) 执行如图所示的程序框图，输入 ，则输出的 为( )10p AA-12 B10 C. 16 D32(11) 在体积为 的三棱锥 中， ，且
4、平面 平面 ，43SABC 2,90,ABCS SACB若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是( )A B C. D8292721(12) 设 满足 ，若 的最小值为12，则实数 的取值范围是( )xy，013axy 220zxy aA B C. D2a21a1a第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）(13) 若 ，且 ，那么 与 的夹角为 1,2abca= +cab(14) 在平面直角坐标系 中，若直线 与圆心为 的圆 相交于 两点，xOy20xy+-=C22()16xya-+ ,AB且 为直角三角形，则实数 的值是 ABC(15) 如
5、图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为 (16)设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取21()xfea=10x0fxa值范围是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） (17) （本小题满分 12 分）已知向量 ，记 . 2=31,44xxmsincos， ， =fxmn()若 ，求 的值； fc+()在锐角 中，角 的对边分别是 ，且满足 ，求 的取值ABC,abc2 ) (acosBbC-=2fA范围(18) （本小题满分 12 分）如图 1，在 中， ， 是 上的高，沿 将 折成
6、60的二RtAB60,9BAC=DBADB面角 ，如图 2. DC()证明：平面 平面 ； D()设 为 的中点，求异面直线 与 所成的角EE(19) （本小题满分 12 分）设数列 的前 项和为 ，已知 nanS(1)32na-()求 的值，并求数列 的通项公式； 1a()若数列 为等差数列，且 .设 ，数列 的前 项和为 ，证nb35148,0bbnncabncnT明：对任意 是一个与 无关的常数*1,2nnNT(20)（本小题满分 12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆 上 2:10xyCab12,0F， AC()求椭圆 的标准方程； ()是否存在斜率为 2 的直线 ，使得
7、当直线 与椭圆 有两个不同交点 时，能在直线 上找llCMN、 53y到一点 ，在椭圆 上找到一点 ，满足 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理PCQPMNl由(21) （本小题满分 12 分）已知函数 . 2(1,)fxgxaln()若曲线 在 处的切线的方程为 ，求实数 的值； y16250xya()设 ，若对任意两个不等的正数 ，都有 恒成立，求实数hxfgx12,12hx的取值范围； a()若在 上存在一点 ，使得 成立，求实数 的取值范围 1,e0x0000fxgxf（ ） a请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.(22) （本小题满分
8、 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程xOyx l为 ，曲线 的参数方程为 . 4R C2sincoy()写出直线 及曲线 的直角坐标方程； l()过点 平行于直线 的直线与曲线 交于 两点，若 ，求点 轨迹的直角坐标方MlAB、 83MAB程 (23) （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .12xaf()若 ，求不等式 的解集； afx()若不等式 的解集为非空集合，求 的取值范围()fxa试卷答案一、选择题(1)-(5): DCCBA (6)-(10): DCCBC (11)
9、、(12)：BD（9）【解析】由题意得， ，所以21 1xxefcoscose，所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，排1 xxefcosffx除选项 A，C；令 ，则 ，故选 B. 1xf12coscs1ee（10）【解析】第 1 次执行循环体： ，是，0280SnA，否， ； 8,0Snp2第 2 次执行循环体： ，是， ，否，1841Sn14,210Snp； 4第 3 次执行循环体： ，是， ，否，2064A6,； 28n第 4 次执行循环体： ，否， ，否，1101Sn810np； 16第 5 次执行循环体： ，否， ，是，输出20326A，故选 C.A（11）【解析】 外接圆圆心为
10、中点 ，连接 ，则由平面 平面 及 ，ABCADSSCABSC知 平面 ，且球心 在 上，则 ，解得 .设三棱锥 外接球SDOS1433ABC2D半径为 ，则 ，所以在 中， ，即 ，解RRt2O22RR得 ， 32故所求球的体积为 ，故选 B. 3492V（12）【解析】由题意作平面区域如下， 的最小值为12， 222()105zxyxy 的最小值为 13，()5直线 恒过点 ， axy0,1A直线 与圆 相切于点 ； 31225)3(xy2,B 可化为 ，0xya故 ，ABak故 ，故选 D. 12二、填空题(13) 120 (14) 【解析】圆的半径是 4， 是直角三角形，则圆心 到直线
11、 的距离为 ,所以1ABCCAB2，解得 . 2a1a(15) 【解析】相当于一个圆锥和一个长方体，故体积为 . 43 122433(16) 【解析】 ，记 ， ,12e021xfeaxxge则题意说明存在唯一的整数 ，使 的图象在直线 下方， ， 0xgy21x当 时， ；当 时， ，2xg20x因此当 时， 取得极小值也是最小值 ，又 ， 1x12ge0,10ge=-直线 过点 且斜率为 ，yax,0a故 ，103eaga-=解得 . 2三、解答题（17）【解析】() ， 2311344226xxxxfxmnsicosincosin由 ，得 ，所以 . 1f 16i 2ci所以 ，且 ，所
12、以 ，又 ，所以 ， sinBCsinA0i1 2cosB 023B则 ，又 ，2,3ACA，则 ，得 ， 6263所以 ，又因为 ，12sin162fsin故函数 的取值范围是 .fA3,2（18）【解析】()因为折起前 是 边上的高，则当 折起后，ADBCABD.,DCB又 ，则 平面 . CDBABCD因为 平面 ，所以平面 平面 . A()取 的中点 ，连结 ，则 ， FEF所以 为异面直线 与 所成的角 E连结 .设 ，则 . D、 2B1,23,6,3ADCF在 中， .RtAF2F在 中，由题设 ， C60C则 ，即 ， 22 8BBcos+27BC从而 ， . 17E21D+在
13、 中， . D22 3Ecos在 中， .RtA5A在 中， . EF221FcosE所以异面直线 与 所成的角为 60.BD（19）【解析】()当 时， ，即 ，所以 . 1n132Sa123a 13因为 ，则 32nnSan两式相减，得 ，即 1n13n所以数列 是首项为 3，公比为 3 的等比数列，故 . n 113nnnaq()因为 ，则 .又 ，则 . 35428b4b1420b12设 的公差为 ，则 ，所以 ，nd1d所以 .()n由题设， ，则 . 423nnc123()302(3)4nT . 23 1()()30623423nnnT 两式相减，得 1()(4)23nnn .23
14、 16()()n所以 .111952332nnnnT 故 为常数.1532nn（20）【解析】()设椭圆 的焦距为 ，则 ， C2c1因为 在椭圆 上，所以 ，1,2A 2aAF因此 ，故椭圆 的方程为 . 2,1abc21xy()椭圆 上不存在这样的点 ，证明如下：设直线 的方程为 ， CQlxt设 ， ， 的中点为 ， 12(),()MxyN435P,()yxMN0D,y由 消去 ，得 ， 2txy22980yt所以 ，且 ，故 且 ， 12t2(436)t1209yt3t由 知四边形 为平行四边形，而 为线段 的中点，因此， 也为线段 的中点，PMNQPNDMNDPQ所以 ，可得 ，40
15、5329yt42159ty又 ，所以 ，t7因此点 不在椭圆上Q（21）【解析】()由 ，得 ， 21 yfxgxalnayx由题意， ，所以 .13a2( ， 1hxfgaln因为对任意两个不等的正数 ，都有 ， 12,x12hx设 ，则 ，即 恒成立， 12x1212h12xhx问题等价于函数 ，即 在 为增函数 Fxx2lnFa0,所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 0a,2x所以 ，即实数 的取值范围是 . 2max1a1,()不等式 等价于 ， 0000fgxf 00 axlnx整理得 . 001 axlnx设 ，由题意知，在 上存在一点 ，使得 . ml1,e0x0mx由 .
16、2 211xaaxax （ ） =因为 ，所以 ，令 ，得 . 000m 当 ，即 时， 在 上单调递增， 1ax1,e只需 ，解得 . 2m2a当 ，即 时， 在 处取最小值 e0emxa令 ，即 ，可得 11()()aln1ln11lna考查式子 ，因为 ，可得左端大于 1，而右端小于 1，所以不等式不能成立 ttte 当 ，即 时， 在 上单调递减， emx,只需 ，解得 . 10am21e综上所述，实数 的取值范围是 .2,e（22）【解析】()直线 ，曲线 的直角坐标方程为 ， lyx： C21xy()设点 ，过点 的直线为 ( 为参数) 0(),Mxy012:xtly由直线 与曲线 相交可得 ， 1lC220030txtxy由 得 ，即 表示椭圆 8AB208xy20163取 代入 得 ， yxm21y2234xm由 ，故点 的轨迹是椭圆 夹在平行直线 之间的两段椭圆03M2163xy3yx弧（23）【解析】()当 ，不等式 ，即为 ，不等式1a12| 2|xx|1|2xx等价于 ，或 ,或 或 或 ， 13x330所以所求不等式的解集为 0|2x或()由 ，即 ()|21)2(fxaax|1()23|xa设 如图， ， . ,3,|1,1.gx3,0P,PADBCkk=-故由题可知 或 ，即 的取值范围为 .3a2a1,2
