1、2018届河南省南阳市高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版）第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 或 ， ，故选 A.2. 已知 （为虚数单位） ，则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ， ， ，故选 C.3. 已知双曲线 的一条渐近线的方程是： ，且该双曲线 经过点 ，则双曲线 的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题可设双曲线的方程为： ，将点 代入，可得 ，整理即可得双曲线的方程为
2、.故选 D.4. 设 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ， ，故选 B.5. 从甲、乙等 5名学生中随机选出 2人，则甲被选中的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：从甲乙等 名学生中随机选出 人，基本事件的总数为 ，甲被选中包含的基本事件的个数 ，所以甲被选中的概率 ，故选 B考点：古典概型及其概率的计算视频6. 已知实数 满足 ，则目标函数 （ ）A. ， B. ，C. ， 无最小值 D. ， 无最小值【答案】C【解析】画出约束条件表示的可行域，如图所示的开发区域， 变形为 ，平移直线 ，由图知，到直线 经过 时 ，因为可行域是开发区域，
3、所以 无最小值，无最小值，故选 C. . . . . . .7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥 ，图中正方体的棱长为 ， 该多面体如图所示，外接球的半径为 为 ，外接圆的半径，由 可得 ， ，故该多面体的外接球的表面积 ，故选 C.8. 运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）A. 2017 B. 2016 C. 1009 D. 1008【答案】D【解析】输出结果为 ，选 D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰
4、算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9. 为得到 的图象，只需要将 的图象（ ）A. 向右平移 个单位B. 向右平移 个单位C. 向左平移 个单位D. 向左平移 个单位【答案】D【解析】试题分析：因为 ，所以为得到的图象，只需要将 的图象向左平移 个单位；故选 D考点：1.诱导公式；2.三角函数的图像变换10. 函数 的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当 时， ，由 ，得 ，由 ，得 ， 在上递增，在 上递减， ，即 时， ，只有选项 C 符
5、合题意，故选 C.11. 设数列 的通项公式 ，若数列 的前 项积为，则使 成立的最小正整数 为（ ）A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】C【解析】因为 ，所以 ，该数列的前项积为 ，使 成立的最小正整数 为 ，故选 C.12. 抛物线 的焦点为 ，过 且倾斜角为 60的直线为， ，若抛物线 上存在一点 ，使 关于直线对称，则 （ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A【解析】 关于过 倾斜角为 的直线对称， ，由抛物线定义知， 等于点 到准线的距离，即 ，由于 ， ， ，代入抛物线方程可得 ，解得 ，故选 A.【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及
6、点关于直线对称问题，属于难题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 曲线 在点 处的切线方程为_【答案】【解析】 ， 切线的斜率 ，又过 所求切线方程为 ，即 ，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于简单题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出 在 处的导数，即 在点 出的切线斜率（当曲线
7、 在 处的切线与 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为 ）；（2）由点斜式求得切线方程 .14. 已知点 ， ， ，若 ，则实数 的值为_【答案】【解析】点 ， ， ， ，又 ，两边平方得 ，解得 ，经检验 是原方程的解， 实数 的值为 ，故答案为 .15. 已知 得三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_【答案】【解析】设 的三边分别为 ，由余弦定理可得， 可得 ，可得该三角形的外接圆半径为 故答案为16. 若不等式 对任意正数 恒成立，则实数 的取值范围为_【答案】三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 等差数列 中，已
8、知 ， ，且 ， ， 构成等比数列 的前三项.（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）根据等差数列 的 ，且 ， ， 构成等比数列，列出关于首项 、公差 的方程组，解方程组可得 与 的值，从而可得数列 的通项公式，进而可得 的通项公式；（2）由（1）可得 ，利用错误相减法求和后即可得结果.试题解析：（1）设等差数列的公差为 ，则由已知又 解得 或 （舍去） ，又 ， ，（2）两式相减得 则 .【易错点晴】本题主要等差数列、等比数列的通项公式、 “错位相减法”求数列的和，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“
9、错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积） ；相减时注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以 .18. 某二手车交易市场对某型号二手汽车的使用年数 与销售价格 （单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：使用年数 2 4 6 8 10售价 16 13 9.5 7 4.5（1）试求 关于 的回归直线方程；（参考公式： ， .）（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为 万元，根据（1）中所求的回归方程，预测为何值时，销售一辆该型号汽车所获得的利润最大？【答案】(1) (2) 预测当 时,销售
10、利润取得最大值【解析】试题分析：（1）由表中数据利用平均数公式计算 ，根据公式求出 将样本中心点坐标代入回归方程求得，即可写出回归直线方程 ；（2）写出利润函数 ，利用二次函数的图象与性质求出 时取得最大值.试题解析：（1）由已知： , , ,， ；所以回归直线的方程为（2），所以预测当 时,销售利润取得最大值19. 如图，在三棱柱 中，侧面 为矩形， ， ， 是 的中点， 与交于点 ，且 平面 .（1）证明： ；（2）若 ，求三棱柱 的高.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）在矩形 中，根据相似三角形的性质可知 ，由 平面 ，可得 平面 平面 ， ；（2）设三棱柱 的高为 ，
11、即三棱锥的高为 .又 ，由 得 , .试题解析：（1）在矩形 中，由平面几何知识可知又 平面 ， ， 平面平面 平面 ， .（2）在矩形 中，由平面几何知识可知 ， ， ， ，设三棱柱 的高为 ，即三棱锥 的高为 .又 ，由 得, .20. 平面直角坐标系 中，已知椭圆 （ ）的左焦点为 ，离心率为 ，过点且垂直于长轴的弦长为 （1）求椭圆 的标准方程；（2）若过点 的直线与椭圆相交于不同两点 、 ，求 面积的最大值【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，结合 的关系列出关于、的方程组，求出 、 ，可得椭圆的方程；（2）讨论直线 的斜率为
12、 和不为 ，设 方程为 ，代入椭圆方程，运用韦达定理与弦长公式求得弦长 ，求出点 到直线的距离 运用三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和基本不等式 ，即可得到 面积的最大值.试题解析：（1）由题意可得 ， 令 ，可得 ，即有 ，又 ，所以 ， 所以椭圆的标准方程为 ；（2）设 ， ，直线 方程为 ，代入椭圆方程，整理得 ，则 ，所以 当且仅当 ，即 （此时适合 的条件）取得等号则 面积的最大值是 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.
