1、2018 届江苏省常州市高三学生学业水平监测期末卷数学（文）高三数学试题 2018 年 1 月一、填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 计 70 分 请 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置上 1若集合 ，则集合 22,0|ABxAB2命题“ ,1x ”是 命题（选填“真”或“假” ） 3若复数 z满足 2i(i)z其 中 为 虚 数 单 位 ，则 z 4若一组样本数据 2015，2017，x，2018，2016 的平均数为 2017，则该组样本数据的方差为 5右图是一个算法的流程图，则输出的 n的值是 6函数 1()lnfx的定义域记作集
2、合 D随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数 ） ，记骰子1,26向上的点数为 ，则事件“ ”的概率为 tt7已知圆锥的高为 6，体积为 8用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是 7，则该圆台的高为 8各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 的最小值为 na234234aa3注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20题） 本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 05 毫米黑色
3、墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔（第 5 题）结束开始输出 nY2,1A07N9在平面直角坐标系 中，设直线 与双曲线 的两xOy:10lxy2:1(0,)xyCab条渐近线都相交且交点都在 y 轴左侧，则双曲线 C 的离心率 的取值范围是 e10已知实数 满足 则 的取值范围是 ,xy0,24,xy xy11已
4、知函数 ，其中 若过原点且斜率为 的直线与曲线 相()lnfbxbRk()yfx切，则 的值为 k12如图，在平面直角坐标系 中，函数xOy的图象与 轴的sin()0,)yxx交点 满足 ，则 ,ABC2B13在 中， ， 为 内一点（含边界） ，若满足3,7,5CAPABC，则 的取值范围为 )(41RP14已知 中， ， 所在平面内存在点 使得ABC3P，则 面积的最大值为 223ABC二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）已知 中， 分别为三个内角 的对边， ABCabc, ABC,
5、3sincosbCB（1）求角 ；（2）若 ，求 的值2bac1tnta16 （本小题满分 14 分）如图，四棱锥 的底面 是平行四边形，PABCD， ，点 是棱 上异于 P，C 的C平 面 Q一点（1）求证： ； BAC（2）过点 和 的平面截四棱锥得到截面 （点QDADF（第 16 题）1-1（第 12 题）在棱 上） ，求证： FPBQFBC17 （本小题满分 14 分）已知小明（如图中 AB 所示）身高 1.8 米，路灯 OM 高 3.6 米，AB ，OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点 A，O 点光源从 M 发出，小明在地面上的影子记作 AB（1）小明沿着圆心为 O，半径为 3
6、米的圆周在地面上走一圈，求 扫过的图形面积；（2）若 米，小明从 A 出发，以 1 米/秒的速度沿线段 走到 ， ，且3 1A31O米 秒时，小明在地面上的影子长度记为 （单位：米） ，求 的表达式与10At )(tf )(tf最小值 18 （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的右焦点为 ，点 是xOy)0(1:2bayxCFA椭圆的左顶点，过原点的直线 与椭圆交于 两点（ 在第三象限） ，与椭圆的右准MNN,M线交于 点已知 ，且 PA243Ab（1）求椭圆 的离心率 ； Ce（2）若 ，求椭圆 的标准方程103AMNPOFSaC（第 17 题） xy（第 18 题）1
7、9 （本小题满分 16 分）已知各项均为正数的无穷数列 的前 项和为 ，且满足 （其中 为常数） ，nanS1a数列 满足 1()(1)nnS*Nnb21n(*)N（1）证明数列 是等差数列，并求出 的通项公式；nana（2）若无穷等比数列 满足：对任意的 ，数列 中总存在两个不同的项 ，c*nbsb（ ） ，使得 ，求 的公比 tb*,sNsntb ncq20 （本小题满分 16 分）已知函数 ，其中 为常数2ln()xfa（1）若 ，求函数 的极值；0(f（2）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；()fx)， a（3）若 ，设函数 在 上的极值点为 ，求证： 1a(fx01)， 0
8、x0()2fx常州市教育学会学生学业水平监测高三数学试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1 2真 31 42 57 673 58 910 11 12 13 143(,),81e342,845216二、解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 计 90 分 解 答 时 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 15解：（1）由正弦定理得 ， 中， ，所以3sincosinBCCABsin0C，所以 ， ， ，所以 ；3sinco1B1()25663（2）因为 ，由正弦定理得 ，2basiisAsconcoin()
9、si()sintatiniiA BCCCAC所以， 21123ttasiiB16 （1）证明： ， ，所以PAD平 面 ABD平 面，记 交于点 ，平行四边形对角线互相平BDC， O分，则 为 的中点，又 中， ，所以OBP，又 ， ，所以 ，=PPAC， 平 面 PAC平 面又 ，所以 ；AC平 面 D（2）四边形 是平行四边形，所以 ，又BB， ，所以 ，D平 面 B平 面 平 面又 ， ，所以 ，QF平 面 APQF平 面 平 面 ADF又 ，所以 ACC17解：（1）由题意 ， ， ，所以 ，BOM1.83623O6B小明在地面上的身影 扫过的图形是圆环，其面积为 ；A 227()平
10、方 米（2）经过 秒，小明走到了 处，身影为 ，由（1）知 ，所以t00AB01AM，200 0() cosftBOO化简得 ， ，当 时， 的最小值为2()39,01fttt 237()4ft32t()ft，32答： ，当 （秒）时， 的最小值为 （米） 2()39,01fttt 32t()ft3218解：（1）由题意 ，消去 y 得 ，解得222()()xyab220cxab，22abxc， 所以 ， ， ，所以 ；(,0)M2243MAabOxcca32e（2）由（1） ，右准线方程为 ，2(,)3bx直线 的方程为 ，所以 ，Nyx436(,)Pb， ，21346=2POFPSb 22
11、43AMNOMSAybb所以 ， ，所以 ，210+a203b2,ba椭圆 的标准方程为 C8yx19解：（1）方法一：因为 ，1()(1)nnS所以 ，2()()2nS由-得， ，11()()2()nnnS即 ，又 ，2(1)()n S 10则 ，即 nSS21na在 中令 得， ，即 1()()n21a21a综上，对任意 ，都有 ，*N1n故数列 是以 2 为公差的等差数列na又 ，则 1a方法二：因为 ，所以 ，又 ，则数列1()(1)nnS1nS1Sa是以 为首项， 为公差的等差数列， na因此 ，即 1nSa2(1)nSan当 时， ，又 也符合上式，2 1n1a故 ，na(*)N故
12、对任意 ，都有 ，即数列 是以 2 为公差的等差数列12nan（2）令 ，则数列 是递减数列，所以 1nee21nea考察函数 ，因为 ，所以 在 上递yx()210xyyx(,)增 因此 ，从而 1422()nea 42,)nnbea(因为对任意的 ，总存在数列 中的两个不同项 ， ，使得 ，所以*Nstbsntcb 对任意的 都有 ，明显 42,)nca(0q若 ，当 时，有 ，不1qlog1q 11422)nnca(符合题意，舍去；若 ，当 时，有 ，02lqan 11)nncqq( 不符合题意，舍去；故 120解：（1）当 时， ，定义域为 0a2ln()xf (0)，令 ，得 32l
13、n()xf 0fe(e)， (e)，()fx 0 极大值 12e当 时， 的极大值为 ，无极小值ex()fx12e（2） ，由题意 对 恒成立312ln()afx ()0fx ()a， ， ，0， 3(a 对 恒成立12lnax )x， 对 恒成立2lnax (0)xa，令 ， ， 则 ，()g， ()2ln1gx若 ，即 ，则 对 恒成立，120e 12e - 0()xa， 在 上单调递减，()lnxx(0)a，则 ， ， 与 矛盾，舍去；)a - ln() 1a12e -若 ，即 ，令 ，得 ，12e12e)20gxx当 时， ， 单调递减，0x()ln()2lng当 时， ， 单调递增，
14、12ea210gxxx当 时， ，x1122min()(e)ln(e)eA 综上 12ea 1a（3）当 时， ， 2l()xf 3l()()xxf令 ， ，()1lnhx01，则 ，令 ，得 2()lxx()0hx12e当 时， ， 单调递减， ，1e 0h 1ln12()0ehx， 恒成立， 单调递减，且 ，3ln()(1)xxf 2()xf()ff当 时， ， 单调递增，20ex ()0hx ()1lnhxx其中 ，114()lnl2eh又 ，2 25eel()10存在唯一 ，使得 ， ，201(,)xhx()fx当 时， ， 单调递增，0f2ln()1f当 时， ， 单调递减，且 ，120ex ()fx2l()xf12()e)fxf由和可知， 在 单调递增，在 上单调递减，2ln(1)f0， 0(1，当 时， 取极大值0x2ln()1xf ， ，0()1lh 01l2x ，0200ln(1)()()xf x又 ， ， 01()2x， 201()()x， 201()f
