1、2018 届广东省华南师范大学附属中学高三综合测试（三）数学（文）试题（解析版）第卷（选择题部分，共 60 分）一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若集合 ，且 ，则集合 可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 集合 ，且 ，故 ，故 答案中 满足要求，故选 A.2. 下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 是奇函数又在定义域上单调递增; 在定义域上单调递增但是非奇非偶函数; 是奇函数但在 和 上单调递增, 在定义域上不具单调性;是奇函数又在定义
2、域上有增有减,所以选 A.3. 等差数列 满足 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意， ，所以 ，所以 ，故选 B。4. 已知向量 ， ，且 ，则实数 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ，所以 ，故选 D。5. 实数 ， 满足 ，且 ，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】所以过点 时， 的最大值为 5。故选 C。6. 在正方体 中， 是线段 上的动点， 是线段 上的动点，且 ， 不重合，则直线与直线 的位置关系是（ ）A. 相交且垂直 B. 共面 C. 平行 D. 异面且垂直【答案】D【解析】由题意易知：直线 ， 又直线
3、与直线 异面直线，故选：D7. 有 6 名学生参加数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是 16 号，得第一名者将参加全国数学竞赛.今有甲，乙，丙，丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：4 号，5 号，6 号都不可能；乙猜：3 号不可能；丙猜：不是 1 号就是 2 号；丁猜：是 4 号，5 号，6 号中的某一个.以上只有一个人猜对，则他应该是（ ）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】A【解析】若甲猜对，当第一名为 3 号时，则乙、丙、丁都猜错；若乙猜对，由于只有一个猜对，则丙猜错，即 1,2,3 都不可能，那么丁就猜对了，不符合题意；若丙猜对，则乙也猜对了，不符合题意；若丁猜对，则乙也猜对了，不
4、符合题意；所以只有一个人猜对，应该是甲。故选 A。8. 过点 ，且倾斜角为 的直角与圆 ： 相切于点 ，且 ，则 的面积是（ ）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】在直角三角形 AOB 中 ，选 B.9. 已知流程图如图所示，该程序运行后，若输出的值为 16，则循环体的判断框内处应填（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，（1） ；（2） ；（3） ，输出 ，即 不满足循环条件，所以处应填 3。故选 B。10. 函数 ， ，设 的最大值是 ，最小正周期为 ，则 的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，所以最大值 ，周期 ，所以 ，故选 B。点睛：本题
5、考查三角函数的化简及计算。三角函数化简的基本思想是把一个复杂的三角函数式转化到一次的单个三角函数式，期间一般会用到和差公式、降幂公式、辅助角公式。化简题型需学生掌握基本化简技巧。11. 等比数列 的前 项和 （为常数） ，若 恒成立，则实数的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ，所以 ，得 ，所以 ，得 ，所以 时， 。故选 C。点睛：本题考查数列与对勾函数的综合应用。首先由题目已知的等比数列的条件可以求出通项公式和求和公式，得不等式 ，分离参数， ，由对勾函数的性质，得 。12. 已知函数 ，对于任意 ，且 ，均存在唯一实数，使得 ，且 ，若关于 的方程 有 4 个
6、不相等的实数根，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得示意图,所以 ,选 C.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.第卷（非选择题部分，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分， 13. 已知为虚数单位，复数满足 ，则 _【答案】2【解析】 ， ，所以 。14. 已知如图所示的矩形，长为 ，宽为 ，在矩形内随机地投掷 颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为颗，则可以估计阴影部分的
7、面积约为_【答案】36【解析】 ，所以 。15. 某组合体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 1，则该多面体的体积是_【答案】【解析】几何体为如图，两个三棱锥和一个正方体的组合体，所以 16. 将正整数 分解成两个正整数的乘积有 ， ， 三种，其中 是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称 为 12 的最佳分解.当 （ 且 、 ）是正整数 的最佳分解时，我们定义函数 ，例如 ，则数列 的前 100 项和为_【答案】【解析】当 为偶数时， ；当 为奇数时， ，故答案为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在 中，角 、
8、 、 所对边分别为、 、 ，满足 .（1）求角 ；（2）若 ， ，求 的面积.【答案】 （1） .（2） .【解析】试题分析：（1）利用正弦定理边化角，求得 ，所以 ；（2）利用余弦定理，得 ，所以 。试题解析：（1） 中，由条件及正弦定理得 ， . ， ， ， .（2） ， ，由余弦定理得， . .点睛：本题考查解三角形。解三角形的关键是正确应用正弦定理和余弦定理，本题中，条件是边角都有的复杂式子，同时边是左右齐次的关系，所以可以利用正弦定理进行边化角处理。若条件都是边的关系，则可以用余弦定理处理。18. 汉字听写大会不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市大约 10 万名市民
9、进行了汉字听写测试.现从某社区居民中随机抽取 50 名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在 到 之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组 ，第二组 ，第六组 ，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若电视台记者要从抽取的市民中选 1 人进行采访，求被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的概率；（2）已知第 5，6 两组市民中有 3 名女性，组织方要从第 5，6 两组中随机抽取 2 名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有 1 名女性市民的概率.【答案】 （1）0.28， （2） .【解析】试题分析：（1）第 1 组或第 4 组的频率为 ，所以被采访人恰好在第 1
10、组或第4 组的概率为 0.28；（2）第 5，6 两组中共有 6 名市民，其中女性市民共 3 名，记 3 名男性市民为 ， ，3 名女性市民为 ， ， ，穷举所有事件，求得至少有 1 名女性市民的概率为 .试题解析：（1）被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的频率为 ，估计被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的概率为 0.28，（2）第 5，6 两组 的人数为 ，第 5，6 两组中共有 6 名市民，其中女性市民共 3 名，记第 5，6 两组中的 3 名男性市民分别为 ， ， ，3 名女性市民分别为 ， ， ，从第 5，6 两组中随机抽取 2 名市民组成宣传队，共有 15 个基本事件，列举如下：
11、 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，至少有 1 名女性 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 12 个基本事件，从第 5，6 两组中随机抽取 2 名市民组成宣传务队，至少有 1 名女性的概率为 .19. 如图， 为圆 的直径，点 、 在圆 上， ，矩形 所在平面和圆 所在的平面互相垂直，已知 ， .（1）求证：平面 平面 .（2）设几何体 、 的体积分别为 、 ，求 的值.【答案】 （1）见解析；（2）4.【解析】试题分析：（I）由于直径所对圆周角为直角，故 ，由于 平面 ，故 ，所以 平面 ，由此得到平面 平面 .（2）过 作 ，根据面面垂直的性质定理可知
12、平面 ，由此可求得两个几何体的体积，进而求得体积比 .试题解析：（）证明：如图，平面 平面 ， ,平面 平面 ， 平面 . 平面 ， ，又 为圆 的直径， ， 平面 . 平面 ，平面 平面 .【注】也可证明 平面 .（）解：几何体 是四棱锥、 是三棱锥，过点 作 ，交 于 .平面 平面 ， 平面 .则 ， .因此， .20. 已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴上，且抛物线上有一点 到焦点的距离为 .（1）求该抛物线 的方程；（2）已知抛物线上一点 ，过点 作抛物线的两条弦 和 ，且 ，判断直线 是否过定点？并说明理由.【答案】 （1） .（2） .试题解析：（1）由题意设抛物线方程为 ，其准
13、线方程为 ， 到焦点的距离等于 到其准线的距离， ， .抛物线 的方程为 .（2）由（1）可得点 ，可得直线 的斜率不为 0，设直线 的方程为： ，联立 ，得 ，则 .设 ，则 .即 ，得： ， ，即 或 ，代人式检验均满足 ，直线 的方程为： 或 .直线过定点 （定点 不满足题意，故舍去）.点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问
14、题简单化21. 已知函数 .（1）讨论函数 在区间 上的单调性；（2）已知函数 ，若 ，且函数 在区间 内有零点，求的取值范围.【答案】 （1）见解析.（2） .【解析】试题分析：（1）先求导数： ，再根据导函数符号是否变化分类讨论：当 时，当 时， ，当 时，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.（2）先求函数 导数 ，因为 ，结合（1）结论得： ，因此， ， ,由于 ，所以 恒成立，解 ， 得的取值范围.试题解析：解：(1)由题得 ，所以 .当 时， ，所以 在 上单调递增；当 时， ，所以 在 上单调递减；当 时，令 ，得 ，所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.综上所述，当 时， 在 上单调递增；当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；当 时，所以 在 上单调递减.(2) ， ，
