1、2018 届广东省华南师范大学附属中学高三综合测试（三）数学（理）试题第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数 cos3inz（ 为虚数单位） ，则 z为（ ）A4 B3 C2 D12.已知集合 1,0， ,1，则集合 AB（ ）A B C , D ,013.“ma”是“ log0am”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4.已知 sin3cos5i，则 21cosin的值是（ ）A 5 B C -3 D35.如图，将绘有函数 53sin06fxx部分图
2、象的纸片沿 x轴折成直二面角，若 A、B之间的空间距离为 10，则 f（ ）A-1 B1 C 32 D 326.已知向量 3O， 2， 1mnOAB，若 OA与的夹角为 60，且C，则实数 mn的值为（ ）A 87 B 43 C 65 D 67.已知 0a， x， y满足约束条件 13xya，若 2zxy的最小值为 1，则 a（ ）A 12 B 3 C1 D28. 04xd（ ）A7 B 2 C. 3 D49.已知双曲线 E： 210,xyab，点 F为 E的左焦点，点 P为 E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为 Q，且满足 3PQ，若 Ob，则 的离心率为（ ）A 2 B C. 2
3、D 510.如图是函数 2fxab的部分图象，则函数 lngxfx的零点所在的区间是（ ）A 1,42 B 1,2 C.1,2 D 2,311.函数 2xfe的图象大致为（ ）A B C. D12.已知函数 fx是定义在 R上的奇函数，当 0x时， 1xfe，给出下列命题：当 0时， 1xe； 函数 有 2 个零点； fx的解集为 ,0,； 1,xR，都有 12fxf.A4 B3 C2 D1第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.曲线 3xfe在点 0,f处的切线方程是 14.在 ABC:中， a， b， c为 A， B， C的对边， a， b， c成等比数列，
4、ac， os4，则 15.已知函数 2lg,0xf，若 0abc，满足 fafbfc，则 abf的取值范围为 16.设有两个命题：p：关于 x的不等式 1xa（ 0，且 1a）的解集是 |0x；q：函数 2lgy的定义域为 R.如果 为真命题， pq为假命题，则实数 的取值范围是 三、解答题：本大题共 7 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 17.设数列 na的前 项和为 nS，且 *2naSN.（1）求数列 的通项公式；（2）设 2lognnba，求数列 21nb的前 项和 nT.18.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生，将其数学成绩（均为整数）分
5、成六段 40,5，50,6 9,10后，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校学生的数学成绩的中位数.（2）从被抽取的数学成绩是 70分以上（包括 70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取 4个学生，设这四个学生中数学成绩为 80 分以上（包括 80分）的人数为 X（以该校学生的成绩的频率估计概率） ，求 X的分布列和数学期望.19.在五面体 ABCDEF中， /EF， ADC， 60F，22，平面 平面 B.（1）证明：直线 CE平面 ADF；（2）已知
6、P为棱 B上的点，试确定 P点位置，使二面角 PDFA的大小为 60.20.已知点 是圆 ： 216xy上任意一点，点 与圆心 关于原点对称.线段 CF的中垂线与CF交于 点.（1）求动点 P的轨迹方程 E；（2）设点 4,0A，若直线 Qx轴且与曲线 E交于另一点 Q，直线 A与直线 P交于点 B，证明：点 B恒在曲线 上，并求 AB面积的最大值.21.函数 2ln1fxm.（1）讨论 的单调性；（2）若函数 fx有两个极值点 1x、 2，且 12x，求证： 21ln2fxx.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程
7、已知直线 l的参数方程为 1cosinxty（ t为参数）.以 O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 2.（）写出直线 l经过的定点的直角坐标，并求曲线 C的普通方程；（）若 4，求直线 l的极坐标方程，以及直线 l与曲线 的交点的极坐标.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 12fxx，记 fx的最小值为 k.（1）解不等式 1fx；（2）是否存在正数 a， b，同时满足： 2abk， 124？并说明理由.华南师大附中 2018 届高三综合测试（三）数学（理）参考答案一、选择题1-5: DCBAD 6-10: AACBB 11、12： AC二、填空题13.
8、310xy 14. 32 15. 1,2 16. 1(0,)2三、解答题17.（1）当 n时， 1a；由 2aS得，当 2时， 12nS，两式相减得 12na，所以数列 n是首项是 2，公比为 2 的等比数列，则 n.（2）由（1）知， b，所以 211()2nbn，则数列 21nb的前 项和()3435T()()11()22n.18.（1）因为各组的频率和等于 1，故第四组的频率：4(0.5.*0.f5)*0.3.直方图如图所示.中位数是 .1773.0cx，估计这次考试的中位数是 分.（2） 70,8)， ,90)， ,1)的人数是 18， 5， 3，所以从成绩是 70分以上（包括 70分
9、）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率： 221853670CP.（3）因为 4,.XB:， 440.37kkpXC， 0,1234，所以其分布列为：0 1 2 3 4PXk0.2401 0.4116 0.2646 0.0756 0.0081数学期望为 4.32Enp.19.（1）证明： /CDF， 2ECF，四边形 为菱形， ，平面 E平面 AB，平面 平面 ABD， ADC， 平面 ACDEF， E，又 ，直线 平面 .（2） 60DCF， EF为正三角形，取 E的中点 G，连接 ，则 D， GCD，平面 平面 AB， 平面 ，平面 EF平面 ABCD， 平面 ， ADC， ， ， 两两
10、垂直，以 为原点， ， ， DG为 x， y轴，建立空间直角坐标系 xyz，如图， 2EF， 1AB， 0,13， 0,3.由（1）知 C是平面 F的法向量， ,DF， 1,B，设 ,0Paa，则 ,20DPCa.设平面 的法向量为 ,nxyz， 0nDF， ， 302ay，令 3ya，则 x， z， 32,naa，二面角 PA为 60， cos,nCE224311a，解得 23a. P点靠近 B点的 C的三等分点处.20.（1）由题意得， F点坐标为 1,0，因为 P为 CF中垂线上的点，所以 PFC，又 4PC，所以 42P，由椭圆的定义知， 2a， c.所以动点 的轨迹方程 E：2143
11、xy.（2）证明：设 P点坐标为 ,0mn，则 Q点的坐标为 ,mn，且 2341n，所以直线 QA： 4yx，即 40xy，直线 F： 1，即 1n；联立方程组0nxynm，解得 582Bmx， 325Bny，则222583435Bxy206422168014m.所以点 恒在椭圆 E上.设直线 PF： 1xty， 1,Pxy， 2,By，则由 234，消去 整理得 34690tt，所以 126ty， 129yt，所以 1426334tt2134t，从而 12PABSFy:22218834ttt，令 21t，则函数 13g在 ,上单调递增，故 min4g，所以 8942PABS，即当 0t时，
12、 面积取得最大值，且最大值为 .21. fx的定义域是 1,， 21xmf，（1）由题设知， 0x，令 2g，这是开口向上，以 12x为对称轴的抛物线，2gm，当 10，即 12时， 0gx，即 0fx在 1,上恒成立.当 2g，即 m时，由 2m得 2m，令1x， 21x，则 1x， 21.1）当 0g即 时， 1，故在 2,上， 0gx，即 0fx，在 2,x上，x，即 fx.2）当 时，即 2m时，x1,x1x12,x2x2,x0g+ 0 - 0 +fx+ 0 - 0 +fx递增 递减 递增综上： 0m时， fx在 12,m上单调递减，在 12,m上单调递增；12时， f在 12,上单调递减，在 12,m和,上单调递增；12m时， fx在 1,上单调递增.（2）若函数 有两个极值点 1x、 2，且 12x，则必是 0， 0g，则 0，且 fx在 12,上单减，在 1,x和 2,上单增，则 20fxf， 1、 是 xm的二根，21xm，即 12， 12x，若证 21lnfxx成立，只需证2214lxx222nlxx221.即证 24ln1xx2l0对 0x恒成立，设 lx
