1、广西贺州市桂梧高中 2018 届高三上学期第四次联考数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数 （ ）2i3i=A. B. C. D. 710110i 710+110i 110+710i 110710i【答案】A【解析】由题意得 。选 A。2. 已知集合 ， ，则 的一个真子集为（ ）A=0,1,2,3,4,5 B=x|x22x80 ，c=2由余弦定理得 。 .选 B。a=39. 执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 （ ）t=4 i=A. 7 B. 10 C. 13
2、 D. 16【答案】D10. 如图，在菱形 中， ， ，以 4 个顶点为圆心的扇形的半径为 1，若在该菱形中ABCD AB=3 BAD=60任意选取一点，该点落在阴影部分的概率为 ，则圆周率 的近似值为（ ）p0 A. B. C. D. 7.74p0 7.76p0 7.79p0 7.81p0【答案】C【解析】因为菱形的内角和为 360，所以阴影部分的面积为半径为 1 的圆的面积，故由几何概型可知 ，p0= 1234322解得 .选 C。=932p04.51.732p0=7.791p011. 过双曲线 的右焦点 作 轴的垂线，与 在第一象限的交点为 ，且直线 的斜：x2a2y2b2=1(a0,b
3、0) F x M AM率大于 2，其中 为 的左顶点，则 的离心率的取值范围为（ ）A A. B. C. D. (1,3) (3,+) (1,23) (23,+)【答案】B【解析】 ， ， ， .选 B.|FM|=b2a |AF|=c+a kAM=|FM|AF|= b2a(c+a)=c2a2a(c+a)=caa=e12 e312. 已知 表示不大于 的最大整数，若函数 在 上仅有一个零点，则 的取值范x x f(x)=ax2+xx2(a0) a围为（ ）A. B. C. D. (0,2) (0,1)(2,+) (1,2) (0,1(2,+)【答案】D【解析】当 时， ， ，00 a2 f(x)
4、 (0,1)当 时， ， ，1x0 00) y=2 p=【答案】6【解析】由题可得抛物线的焦点为 。(0,p2)抛物线的焦点到直线 的距离为 5，y=2 ，2+p2=5解得 .p=6答案：615. 有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线长是底面半径的 2 倍，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的 6 倍，则圆柱的高是底面半径的_倍【答案】 22【解析】设圆柱的高为 ，底面半径为 ，圆柱的外接球的半径为 ，h r R则 .母线长 ， l=2r圆锥的高为 ，3r圆锥的侧面积为 ，rl=2r2 ，4R2=4(h2)2+r2 =62r2 ，h24+r2=3r2 ，h2=8r2 .hr=22答
5、案： 22点睛：与球有关的组合体问题，一种是几何体的内切球，一种是几何体的外接球解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径16. 已知曲线 在 处的切线经过点 ，则 _y=xex x=x0 (1,2) (x20x01)ex0=【答案】 2【解析】由 ，得 ，y=xex y=(x+1)ex根据题意得 ，(x0+1)ex0=x0ex02x01 ，(x201)ex0=x0ex02 .(x20x01)ex0=2答案：
6、 2三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 是数列 的前 项和， ， .Sn an n a1=4 an=2n+1(n2)（1）证明：当 时， ；n2 Sn=an+n2（2）若等比数列 的前两项分别为 ， ，求 的前 项和 .bn S2 S5 bn n Tn【答案】 （1）证明见解析；（2） .34n3【解析】试题分析：（1）根据 可求得当 时， ,验证可得结论成立。 （2）由题意可求得数列 的an=2n+1(n2) n2 Sn=n2+2n-3 bn公比，然后利用等比数列的求和公式可得 。Tn试题解析：（1）证明：当 时，n2Sn
7、=4+5+7+(2n+1)，=2n+1+n2 .Sn=2n+1+n2=an+n2（2）解：由（1）知 ， ，S2=9 S5=36等比数列 的公比 ，bn q=369=4且 ，b1=S2=9 .Tn=9(1-4n)1-4 =3(4n-1)=34n-318. 为了了解甲、乙两个工厂的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了 10 个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位： ）记录下来并绘制出如下的折线图：mm（1）分别计算甲、乙两厂提供的 10 个轮胎宽度的平均值；（2）轮胎的宽度在 内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分别提供的 10 个轮胎中所有194,196标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂
8、的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？【答案】 （1） ， ；（2）乙厂的轮胎相对更好.195194【解析】试题分析：（1）由题给出的数据及平均数的计算方法可得 。（2）可得x甲 =195(mm)，x乙 =194(mm)满足条件的甲厂这批轮胎宽度的平均数为 195，方差为 ；乙厂这批轮胎宽度的平均数为 195，方差为 。故23 23乙厂的轮胎相对更好。试题解析：（1）甲厂这批轮胎宽度的平均值为乙厂这批轮胎宽度的平均值为x乙 =195+196+193+192+195+194+195+192+195+19310 =194(mm)（2）甲厂这批轮胎宽度都在 内的数
9、据为 195,194,196,194,196,195，194,196平均数为 195，方差为23乙厂这批轮胎宽度都在 内的数据为 195,196,195,194,195,195，194,196平均数为 195，方差为 ，13由于两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差更小，所以乙厂的轮胎相对更好.点睛：平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述 ，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小19. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， 是以 为斜边的等腰直角三PABCD ACBD ACBD=O POAB POD PD角形，且 .2
10、OB=2OC=OD=2（1）证明：平面 平面 ；PAC PBD（2）过 作平面 的垂线，垂足为 ，若四棱锥 的体积为 4，求线段 的长.O PAB H PABCD PH【答案】 （1）证明见解析；（2） .4107【解析】试题分析：学%科%网.学%科% 网.学% 科%网.学%科%网.学% 科%网.学% 科%网.学%科% 网.试题解析：(1)证明： 是以 为斜边的等腰直角三角形，POD PD ，PODO又 ， ，POAB DOAB=B 平面PO ABCD则 ，POAC又 ， ，BDAC BDPO=O 平面 ，AC PBD又 平面 ，AC PAC平面 平面 .PAC PBD(2)解：四边形 的面积
11、 ，ABCD S=12ACBD=12(AO+1)(1+2)=32(1+AO)且 ，PO=OD=2 ，VP-ABCD=13232(1+AO)=1+AO=4 ，AO=3过 作 于 ，连接 ，O OEAB E PE由 平面 ，得OH PAB OHPE ，OE=OAOBAB =310 PE= 22+(310)2= 4910=710在 中，由射影定理得 ，RtPOE PHPE=PO2 .PH=4710=410720. 已知中心为坐标原点 ，焦点在 轴上的椭圆 的焦距为 4，且椭圆 过点 .O y M M (1，3)（1）求椭圆 的方程；M（2）若过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点， ，求直线 的方程.
12、C(0,1) l M A B AC=2CB l【答案】 （1） ；（2） .y26+x22=1 y= 5x+1【解析】试题分析：（1）由焦距为 4 得 ，故 ，又由椭圆 过点 得到 ，解得 ， ，进而可c=2 a2-b2=4 M (1，3)3a2+1b2=1 a2=6 b2=2得椭圆的方程。 （2）设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立消元后由根与系数的关系得l y=kx+1， ，结合 ，得 ，以上各式消去 后可得 ，从而可得x1+x2=-2k3+k2 x1x2=- 53+k2 AC=2CB x1=-2x2 x1，x2 k2=5直线方程。试题解析：（1）设椭圆 的方程为 ，My2a2+x2b2=1
13、(ab0)， ，2c=4 c=2 ，a2-b2=c2=4又椭圆 过点 ，M (1，3) ，3a2+1b2=1由 ，解得 ， ，a2b2=43a2+1b2=1 a2=6 b2=2椭圆 的方程为 .My26+x22=1（2）设直线 的方程为 ，l y=kx+1由 消去 y 整理得 ，y=kx+1,y26+x22=1, (3+k2)x2+2kx-5=0直线 与椭圆交于 A,B 两点，l ，=4k2+20(3+k2)=24k2+600设 ， ，A(x1,y1) B(x2,y2)则 ， ，x1+x2=-2k3+k2 x1x2=- 53+k2，AC=2CB ，(-x1,1-y1)=2(x2,y2-1) ，x1=-2x2
