1、云南省曲靖市第一中学 2018 届高三高考复习质量监测卷（四）理科数学一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，所以 ，当 时， ，符合题意，当 时， ，当 时，故选 D.2. 在复平面内，复数满足 ，则的共轭复数对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】 ，故在第一象限，选 A.3. 下列命题为假命题的是（ ）A. ，使得B. “ ”是“ ”的必要不充分条件C. 若向量 ，
2、，则D. 函数 ， 的值域为【答案】D【解析】对于 A， ，当 时， ，使得 ，正确；对于B， ，但 推不出 （真数大于零） ，故正确；对于 C，零向量与任意向量平行，正确；对于 D，显然函数的最大值为 1，故值域不正确，错误，选 D.4. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，有下列四个命题：若 ， ，则 ； 若 ， ，则 ；若 ， ， ，则 ； 若 ， ， ，则其中正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】两个面垂直，推不出面中任意直线和另一个面垂直，错误；故排除 A、B 选项，对于，两个平行平面，其中一个平面内的任意直线都和另一个平面平行，故正确，所以选 C.5
3、. 在等比数列 中， 是函数 的极值点，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，由 可知 ， 等比数列中 且 ，故选 B.6. 已知函数 （ 且 ）图象恒过的定点 在角 的终边上，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 恒过点 ，故选 C.7. 在 中，若 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C.解得： ，故选 C.8. 一个四棱锥的三视图如图所示，关于这个四棱锥，下列说法正确的是（ ）A. 最长的棱长为 B. 该四棱锥的体积为C. 侧面四个三角形都是直角三角形 D. 侧面三角形中有且仅有一个等腰三角形【答案】B【解析】还原四棱锥，如图所示，由主视图
4、可知， 底面 计算可知 B 正确，故选 B点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9. 已知单位向量 与 的夹角为 ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】单位向量 与 的夹角为 ，
5、向量 在向量 方向上的投影为： ，故选 A.10. 已知定义在非零实数集上的函数 满足： ，且 ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】令 ，则 ，所以函数是定义域上的减函数， ，即 ，故选 A.11. 设 ， ，若 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】两边取对数，得： ，当且仅当 时，取等号， ，故选 D.12. 已知函数 ， ，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 是偶函数 ， 当 时， ，故 在 上是增函数，又 是偶函数，故在 上是减函数，由知 ，解得 ，又由 得 ，所以 ，故选 B.二、填空题（每题 5 分，
6、满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若函数 ，且 ，则的值为_【答案】 【解析】 ，故填 .14. 若正三棱锥的底面边长为 ，侧棱长为 ，则其外接球的表面积为_【答案】【解析】设正三棱锥的外接球半径为 R，因为球心到四个顶点的距离相等，正三棱锥的底面边长为 ，侧棱长为 ，高为 1所以 ，解得 ， 外接球的表面积 ，故填 .15. 将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第 行从左向右的第 个数为_【答案】 【解析】由排列的规律可得，第 行结束的时候排了 个数.所以第 13 行从左向右的第 7 个数是 ，故填16. 点 的坐标满足约束条件 ，若 ， ，且 （ 为坐标原点）
7、，则的最大值为_【答案】【解析】 ，由 ，将 ，代入 得 画出其对应的可行域，则可用斜率的几何意义求得 的最大值为 ， 的最大值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列 满足： （ ）， ，该数列的前三项分别加上 后成等比数列，且.（1）求数列 ， 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ， ；（2） .【解析】试题分析：（1）设其公差为 d，前三项分别加上 后成等比数列，利用等比中项可求出 d，写出 通项公式，再根据 .写出 的通项公式；（2） ，利用分组求和，即可解决.试题解析：（1）设 为
8、等差数列 的公差，由题意 ，由 ， ， ，分别加上 后成等比数列， ， ， ， ，又 ， ，即 （2）由（1）得 ，18. 在 中，角 的对边分别为 ，面积为 ，已知 .（1）求证： 成等差数列；（2）若 ， ，求 .【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式变形，整理后再利用正弦定理化简，利用等差数列的性质判断即可得证；（2）利用余弦定理求出 ，再根据三角形面积公式即可求解.试题解析：（1）证明：由题意： ， ，由正弦定理得 ，即 ， ，即 ， ， ，即 ， 成等差数列（2）由余弦定理得 ， ，又由（1）得 ， ，则 点睛
9、：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.19. 如图，正方形 ，直角梯形 ，直角梯形 所在平面两两垂直， ，且， .（1）求证： 四点共面；（2）求二面角 的余弦值.【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）取 的中点 ，连接 ，利用平行四边形可证明 ， ，根据平行的传递性，可得 ，从而四边形 是平行四边形，问题得证；（2）建立空间直角坐标系，利用坐标求平面的法向量，根
10、据向量的夹角公式即可求出 .试题解析：（1）证明：方法 1：如图，取 的中点 ，连接 ，在正方形 中， ， ，在直角梯形 中， ， ， ， ，即四边形 是平行四边形， ，在直角梯形 中， ，即四边形 是平行四边形， ，由上得 ，即四边形 是平行四边形， 四点共面方法 2：由正方形 ，直角梯形 ，直角梯形 所在平面两两垂直，易证： 两两垂直，建立如图所示的坐标系，则 ， ，即四边形 是平行四边形，故 四点共面（2）解：设平面 的法向量为 ， ，则 令 ，则 ，设平面 的法向量为 ，且 ，则 令 ，则 ，设二面角 的平面角的大小为，则 点睛：本题考查线线平行，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面
11、角的余弦，属于中档题.对于第一问，要注意结合图形，特别是中点，寻求平行关系，一般证明四点共面，需要证明平行四边形，对于第二问关键是建系写点的坐标，利用求得的法向量来求二面角的余弦，注意对角是锐角钝角的分析.20. 定义行列式运算： ，若函数 （ ， ）的最小正周期是 ，将其图象向右平移 个单位后得到的图象关于原点对称.（1）求函数 的单调增区间；（2）数列 的前 项和 ，且 ，求证：数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由行列式得到 解析式， 根据周期计算 ，根据平移后是奇函数计算 ，根据解析式求单调区间即可；（2）根据 求数列的通项公式，再利用裂项
12、相消法求数列的前 n 项和，即可证出结论.试题解析：（1）解：由题意： ， ， ， 的图象向右平移 个单位后得 ，此函数为奇函数，则 ， ， ， ，由 可得 ， 的单调增区间为 （2）证明：由（）得 ， ，当 时， ；当 时， ，而 ， ，则 ， 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误21. 已知函数 ， ，其中 ， .（1）当 时，求 在点 处切线的方程；（2）若函数 在区间 上单调递增，求实数的取值范围；（3）记 ，求证： .【答案】 （1） ；（2） ；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，即可写出切线；（2）根据单调递增可知函数导数在 上大于等于零恒成立， 分离参数即可求出 a 的取值范围；（3）写出 ，求导数，利用导数求其最小值即可证明.试题解析：（1）解：当 时， ， ，此时切点为 ，的方程为 （2）解： ，函数 在区间 上单调递增， 在区间 上恒成立，
