1、第一节：平面向量的坐标运算考点一：基本坐标运算1（2011六安模拟） 设向量 ， ，则下列结论中正确的是( )1,0a1,2bA BC 与 垂直 D 来源:Z ab2Aab2. （2014 河北省衡水中学高三上学期三调文 13）. 已知向量 、 满足 ，(0,1)，则 _.(1,2)abab3. （2013 河南省南阳市部分示范高中高三上学期期中考试理 08）. 在 为原点）OAB中， ，若 ，(cos,in),(5cos,in)OAOB 5则 BSA B C D33253324. （2013 河南省郑州市盛同学校高三上学期期末考试文 05）. 已知向量 ，,1a， ，则1,bk0abkA.
2、-12 B. -6 C. 6 D. 125. （2012 河南省卢氏一高高三上学期期末调研理 05）. 在平行四边形 中，ABCD为一条对角线， 则AC(2,4)(1,3)ABCADA B C D2,43.52,41,6. （2011 河南省郑州市五校联考高三上学期期中考试文 16）. 已知平面向量， ，若 ，则 =_.),(a)2,1(b()cab|c7. （2013 河南省郑州市高三第二次预测文 09）. 已知 , ， ,(12)A34B2C，则向量 在向量 上的投影为(3,5)DABCDA. B.C.D. 102310548. （2014 唐山二模理 14）. 已知向量 ， ，若 ， 在
3、向量2,1a,2bab上的投影相等，且 ，则向量 的坐标为_c5cabc9. （2014 河北省衡水一中高三上学期二调理 15）. 在直角三角形 中，ABC， ，点 是斜边 上的一个三等分点，则90ACB2BCPABP10（2013 银川一中高三第四次月考理 12）. 已知 ， ，|1OA|B，点 在 的边 上， 设 ，则0OABC30AOAC),(Rnm等于( ) mnA. B. 3 C. D. 13311. （2014 河北省衡水中学高三上学期三调理 03）. 平面直角坐标系 中，已xOy知 ， ，点 在第二象限内， ，且 ，若1,0A,BC56AOC2，则 ， 的值是（ ）OCA ，1
4、B 1， C ， D ，1 33133考点二：平行垂直的充要条件1. （2014 河北省唐山一模文 08）已知向量 ， ，若 ，则1,ax1,2babAxA 或 2 B 或 1 C1 或 2 D 或12. （2014 河北省保定市一模理 03）. 已知向量 ， ，若1,2a1,0b， 则实数 等于ambA. B. C .0 D. 5523. （2014 河南省郑州市高三第二次模拟考试文 02） . 设向量 , ,则1ax4bx“ ”是“ ”的abA2xA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件4. （2011石狮模拟）已知向量 ， ，若 ，则实,2
5、ax3,1b2abA数 的值为( )xA B2 C4 D365. （2013 银川一中高三第四次月考理 10）. 已知向量 ， ，若向量1,2a,4bx，则 =( )abAxA. B. D. D. 12226. （2013 河南省郑州市盛同学校高三 4 月模拟考试理 03）. 已知向量 ，3,4a，如果向量 与 垂直，则实数 的值为,1bakbkA B C2 D2332 257. （2013 宁夏吴忠回中高三第四次模拟考试文 08）. 向量 ，1,a， 若 与 共线（ 且 ） ，则 等于( )2,3bmanb,mnR0mnA B C D1221228. （2013 宁夏吴忠回中高三第四次模拟考
6、试文 14）. 已知向量 ，3,1a， ，若 ， 则 = 1,3b,7ckacbAk9. （2014 河南省郑州一中高三上学期期中考试理 13）. 已知向量 ，3,1a， ，若 ，则 .1,3b,7ckabcAk10. （2013 河南省郑州市盛同学校高三 4 月模拟考试文 06）. 已知，且 ，则锐角 的值（ ） )23,cos1(),sin2,3(ba/A. B. C. D.864311. （2014 山西省太原五中高三五月月考文 13）. 设向量 ， ，如(1,2)a(,1)bm果向量 与 平行，那么 等于2abab12. （2011 河南省焦作市修武一中高三上学期期中考试理 02）.
7、已知向量 ，1,2a向量 ，且 ，则实数 等于（ ）,2bxabxA. B. C. 0 D. 44 913. （2013 河南省新乡许昌平顶山一模文 06）. 已知 ， ，向量3,2a1,0b与 垂直，则实数 的值为（ ）ab2A 17B 17C16D 614. （2014 河北省冀州中学高三 3 月月考文 05） . 已知直线 与圆30xym交于 ， 两点，则与向量 ( 为坐标原点)共线的一个向量为（）29xy OABA. B. C. D.31,31,1,31,315. （河北省保定市八校联合体 2014 届高三上学期第一次月考）已知向量,若 则实数 等于（ ）1,20ababA. -5 B
8、. C. D.5525考点三：求模求角1. （2013 山西省平遥中学高三上学期 12 月质检文 05）. 已知向量 ,21a, ，则 等于（ ）10ab52bA B C5 D25102. （2013 河南省许昌新乡平顶山高三二模理 13）. 已知平面向量 ， ， ，ab1， ，则 的值是 2bab2a3. （2014 河南省豫南五市高三一模文 13）. 已知向量 ， ，若,1a2,1b，则实数 =.ab4. （2013 河南省郑州市智林学校高三上学期期末考试文 04）. 已知向量 ,(1)m， ，则向量 与向量 夹角的余弦值为(1,)nt3mn若 nA. B. C. D. 5025015.
9、（2013 山西省太原五中高三 4 月月考文 07）. 设向量 ，cos,ina，其中 ，若 ，则 等于( )cos,inb02bA. B C. D22446（2011洛阳模拟）设 ， ， ， ，(1,)OA(,1)Ba(,0)OCba， 为坐标原点，若 、 、 三点共线，则 的最小值是_0bOC2考点四：最值问题1（2010金华十校） 三顶点坐标为 ， ， ，ABO1,0A,2B0,O是坐标平面内一点，满 足 ， ，则 的最小值为()Px， yPPA_2. （2013 山西省四校第二次联考理 11）. 已知在平面直角坐标系 中，xy, , , ，动点 满足条件 ，(0)O12)A(B21)C
10、(,)Mxy221OMAB则 的最大值为MA.1 B.-1 C.4 D.-43. （2010 河南省周口市高三上学期期末统考文 13）. 向量 且)5,3(),2(ba与 夹角为锐角,则 的范围为_；ab4. （2013 河南省驻马店市确山二中高三上学期期中考试理 16）. 向量 ，2,0a，若 与 的夹角等于 ，则 的最大值为 ,bxyba6b5. 已知 ， ， 是坐标原点，动点 满足 ，2,0A,1BOM1OBOA并且 ，则实数 的取值范围是( )OMA. BC. D65212第二节：平面向量的线性运算1（2011 四川卷） 如图 K241，正六边形 中， ( )ABCDEFAEF图 K2
11、41A B. C. D.0BEADCF2. （2011深圳一调） 如图 K242 所示的方格纸中有定点 ， ， ， ， ，OPQEF， ，则 ( )GHOPQ图 K242A. B. C. D.OHGFOE3已知 ，则下列命题正确的是( )RA aBC D 0a4( 2011成都模拟)设非零向量 ， ， ，若 ，那么 的取值abcabcpp范围为( )A B C D0,1,20,31,25. (2013 年河南省十所名校高三第三次联考试题)在 中， 是 边所在直线ABCM上任意一点，若 ，则 ( )2CMABA1 B2 C3 D46. （2014 河北省唐山一中高三 12 月月考理 11）. 内
12、接于以 为圆心， 为半ABCO1径的圆，且 ，则 的值为（）02OA. B.1 C. D.1227. （2014 河南省商丘市一高高三上学期期末考试文 15）. 如图，设 是平面内相交成 的两条数轴， 分别是与 轴， 轴正方向同向的单位,Oxy6012,exy向量，若向量 ，则把有序数对 叫做向量 在坐标系 中的坐标.假12Pxey()xyOPx设 则 的大小为_.123,8. （2013 河南省郑州市盛同学校高三 4 月模拟考试理 08）. 已知 和点 满ABCM足 若存在实数 使得 成立，则 ( )0MABCmABCMmA2 B3 C4 D59(2011信阳模拟)如图 K243， 中， ，
13、 ， 与DED交于 .设 ， ， ，则 为( )EFaAbFxayb,x图 K243A. B. C. D.1,22,31,321,10(2 011济南调研)如图 K244，在 中， ， 是 上的一点，ABC3NPBN若 ，则实数 的值为_21APmBCmxyPOOBPAC图 K24411(2 011泰州模拟)若 为 内一点，且满足 ，则MABC314AMBC与 的面积之比为_ABMC12 设 、 为平面向量，若存在不全为零的实数 ， 使得 ，则称 、ab0aba线性相关，下面的命题中， 、 、 均为已知平面 上的向量babc若 ，则 、 线性相关；2若 、 为非零向量，且 ，则 、 线性相关；
14、若 、 线性相关， 、 线性相关，则 、 线性相关；a a向量 、 线性相关的充要条件是 、 共线bb上述命题中正确的是_(写出所有正确命题的编号)13. （2014 河南省郑州市高三第二次模拟考试理 11）. 如图所示，点 、 、B是圆 上一点，线段 与线段 交于圆内一点 , 若COCABP， ，则2mABPA.B.C.D.5643214. （2014 河南省郑州市高三第二次模拟考试文 08）. 已知中，平面内一点 满足 ，若 , 则 的值ABCP13CABPtAt为A. B. C. D.31215. （2014 河南省濮阳市二模理 11）. 在 中， 为边 上任意一点，ABCM为 中点，
15、，则 的值为 ( )NAMNABCA B C D112131416. （2014 河北省石家庄市一模 A 卷文 16）已知 为锐角 的外心，OABC， ， ，且 ，则边 的长为 _6B10COxy2105xy17(2011潍坊检测)已知 ， 、 、 是共起点的向量， 、 不共线，,mnRabcab，则 、 、 的终点共线的充分必要条件是( )cmanbcA B C D10n1mn1n18(2011银川一中二模) 已知两点 ， ， 为坐标原点，点 在(,0)A(,3)BOC第二象限，且 ，设 ，则 等于( )2O2ORA B 2 C1 D119. (2011青岛模拟平面直角坐标系中， 为坐标原点
16、，已知两点 ，(3,1)A，若点 满足 ，其中 、 ，且 ，则点 的(,3)AB轨迹方程为( )A B210xy22(1)()5xyC D 5020如图 K251，设 ， 为 内的两点，且 ，PQAC1APBC，则 的面积与 的面积之比为_来源:学.科.网234AQBB图 K251第三节：平面向量的数量积考点一：数量积的基本运算1. （2013 银川一中高三第五次月考理 03）. 已知向量 , ，则 在(21)a(3,0)ba方向上的投影为( )bA B C D2552. （2014 山西省高三第四次四校联考文 15）. 在 中, ，ABCAM,点 在 上且满足 ,则 1MPA2PM()P3.
17、 （2011 河南省许昌市三校高三上学期期末考试文06 ）. 已知 、 为非零向量，且ab， ，则 是 的 （ ）cabdcdabA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4. (山东省烟台市 2012-2013 学年度第一学期模块检测)已知向量 ，其中 ，ba、 2，且 ，则向量 和 的夹角是 2bab)（ bA B C D42435. (山东省东阿县第一中学 2012-2013 学年度上学期考试)已知向量，则 （ ）25,10),2(baabA. B. C. D.5 256. (北京四中 2012-2013 年度第一学期高三年级期中)向量 ， 满足，且 ， ，则
18、， 夹角的等于_. )24abA7. (广东省华南师大附中 2012-2013 学年度高三第三次月考)定义：，其中 为向量 与 的夹角，若 ， ， ，则|sinab ab|2a|5b6a等于（ ）|（A） （B） （C） 或 （D）8888. (2012 年秋湖北省部分重点中学期中联考)已知| |1 ，| | ， ，点 R 在POQ 内，且POR30，OP OQ 3 OP OQ m n (m，nR) ，则 等于（ ）OR OP OQ mnA B3 C D13 39. (2013 年浙江省高考测试卷)如图，在四边形 ABCD 中， ，若,ABCD， ，则 ( ) |Ba|DbAA B C D2b
19、2a2abab10. （2013 河南省安阳市二中高三上学期期中考试文 04）. 已知非零向量 、 ，若ab与 互相垂直，则 等于（ ）2ab|abA B4 C D21111. （2013 银川一中高三第四次月考理 14）. 已知 ， ， 与 的夹2abab角为 ，要使 与 垂直，则 =45ba12. （2014 河南省商丘市一高高三上学期期末考试文 08）. 已知 ，ab，且 向量 与 互相垂直，则 的值为（ ）2,3ab2abkkA B C D1332考点二：求模求角1. 山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中 2014 届高三第一次四校联考）已知向量 ， 满足 ， ， ，则向量 与
20、向量 的夹角为ab1|2|ba)( b2. 中原名校联盟 20132014 学年高三上期第一次摸底考试】已知 ，1a，且 ， 的夹角为 ，则 的值为_3barb6ab3（2011新余二模）已知向量 ， 均为单位向量，若它们的夹角是 ，则60等于_4. （2014 河南省河南大学附中高三上学期期中考试文03）. 设向量 满足,ab， ，则 ( )1ab2abA B C D2,3,5,75. （2013 河南省新乡许昌平顶山一模理 06）. 设向量 ， 均为非零向量，ab， ，则 ， 的夹角为（ ）2ab2abA 6B 3C56D236. （河北省唐山市 2013 届高三第二次模拟考试） ， 是两
21、个向量，ab， ，且 ，则 与 的夹角为( )1a2babab（A） （B） （C） （D）30601201507. （2014 河北省邯郸市二模文 13）. 平面向量 与 的夹角为 ， ，ab62,a,则 等于.1b2ab8. （2014 河南省焦作市一模文 03）. 已知平面向量 ， 满足 ， ，且ab12b，则 与 的夹角是（ ）()ababA. B. C. D.5623369. （河北衡水中学 2014 届高三上学期期中考试）已知平面向量 的夹角为 且,mnur,，在 中， ， ，2,3nmABC2mnurr26ACur为 中点，则 ( )DBCDrA.2 B.4 C.6 D.810.
22、 （2014 河南省郑州外国语学校高三上学期期中考试文03）. 设向量 满足,ab， ，则 ( )1ab2abA B C D2,3,5,711. （2014 河北省邯郸市二模理 13）. 已知 , , ,则1a)3(ba_.ba,cos12. （2013 山西省四校第二次联考理 07）. 已知向量 满足 ，,ab|1,|7ab，则3,ba A. 2 B. 3 C. D. 4313. （2013 山西省高三第四次四校联考文 07）. 已知平面向量 , ,(12)a0b,则 = （ ）53abA B252C D 2514. （2014 河北省衡水中学高三下学期期中考试文 04）. 是两个向量，ba
23、,且 ，则 与 的夹角为（ ）2,1baa)(bA. B. C. D.306012015015. （2014 河南省商丘市高三第三次模拟考试理 13）. 已知向量 ， 的夹角为 ，ab45且 ， ，则 =。1a210bb16. （2014 河南省内黄一中一模理 16）. 在平行四边形 ABCD 中， ，4ADur, 为 的中点，若 ，则 =_60BDAEC4ABEurAur17（2011宜昌模拟）已知平面向量 ， ( ， )满足 ，且01与 的夹角为 ，则 的取值范围是_12018（2011襄阳模拟）若向量 与 不共线， ，且 ，ababacb则向量 与 的夹角为( )acA0 B. C. D
24、.63219. （2014 河南省濮阳市二模文 11）. 若 ，且 与 的夹角为 ，2,1abab60当 取得最小值时，实数 的值为 ( )axbxA2 B C1 D220. （2014 河北省衡水中学高三上学期五调理 10）. 已知向量 满足,abc， ，则 的最小值为（ ）|ab()0acb|bcA B C D732312327221. (天津市新华中学 2011-2012 学年度第一学期第二次月考)平面上的向量 与MA满足 ，且 ，若点 满足 ，则MB24AB0MBAB321的最小值为_.C考点三：三角形中的数量积运算1. （河北衡水中学 20132014 学年度高三上学期二调高三数学试
25、卷）在 中，ABC， ， 是边 上的高，则 的值等于（ ）3BCA30ADBCACDA0 B C4 D9492. （2014 河北省衡水中学高三上学期二调理 03） . 在 中， ，BA3BC， 是边 上的高，则 的值等于（ ）30CADACA0 B C4 D9493. （ 2014 河北省唐山市一模理 11）. , 分别是 的中线，若BEAC，且 与 的夹角为 ，则 =1EE120ACA B C D 894934. （2012 河南省南阳市高三上学期期终质量评估文 07）. 的三个内角 、ABA、 的对边分别为 、 、 ，已知 ， ， 若 ，BCabcsin1B,pab(1,2)qpq则 的
26、大小为A B C D 63235. （2014 河南省南阳市高三第二次模拟理 10）. 已知 的重心为 ，内角ABCG， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则角 为（ ）BCabc03aGAbcA B C D64326. （2013 山西省太原五中高三 12 月月考文 10）. 已知点 是 重心 ,若GABC, , 则 的最小值是( )120AGA. B. C. D. 3223347. （2011 河南省许昌市三校高三上学期期末考试理08）. 已知 ，如果对一切实数 ，都有 ，则 一定为 （ ）tBtCABCA锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D与 t的值有关8. （2014 河南省郑州
27、外国语学校高三上学期期中考试文 09）. 是 所在平OABC面内的一点，且满足 ，则 的形状一定为（ ()(2)0OO）A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D斜三角形9（2011日照模拟）在 所在平面上有三点 、 、 ，满足ABCPQR， ， ，则 的面积PABCQRBCAP与 的面积之比为( )A B C D 1:21:31:4:510 （2011内江模拟）平面上 ， ， 三点不共线，设 ， ，则OOaBb的面积等于( )OA. . B.2ab2abC.D.21 2111. （ 2014 河北省衡水中学高三下学期二调理 09）. 在 所在的平面内，点ABC满足 ， ，且对于任意实数 ，恒
28、有0,P014BAPB， 则 （ ）CA B C D 990CB12. （ 2014 河南省高三毕业班高考适应性测试理 09）. 在 中， ，A3， ，则直线 通过 的2C134DACDBA垂心 B外心 C重心 D内心 13. （2012 河南省南阳市高三上学期期终质量评估理 16）. 已知点 是 的GABC重心， ，若 ， ，则 的最(,)RG120A2C小值是_ 14. （2014 河北省冀州中学高三 3 月月考理 11）. 若 是 的重心，AB分别是角 的对边，若 ，则角 （ ） ,abc,ABC0aGAbBcA. B. C. D.906045 第四节：平面向量的应用1. （2014 河
29、南省豫南五市高三一模理 06）. 在平面直角坐标平面上， ,14OA,且， 与 在直线 的方向向量上的投影的长度相等，则直线 的斜率为31OBAOBl l（ ）A. B. C. 或 D.4252543522. （2011 山大附中 1 月月考文 07）. 设向量 与 的夹角为 ，定义 与 的“向abab量积”： 是一个向量，它的模 ，若 ,ab sinab(31)，则 （ ）(1,3)A B C2 D4233. （2013 宁夏吴忠回中高三第四次模拟考试文 11）. 已知两点 和 ，(1,0)M(,)N若直线 上存在点 满足 ，则实数 的取值范围是（ ）340xymP0MNmA B,5,25,
30、C D24. （2014 河北省衡水中学高三上学期四调理 08）. 已知点 在 外且 设实数 满足5O1,B3,AO,6CAOBC0.,mn则 等于（ ）Cmn,A2 B C D :3235. （2014 河南省郑州市高三第三次质量预测理 08）.若两非零向量 与 的夹角为 ,定ab义向量运算 ,已知向量 , 满足 , , ,则sinabmn34n6m( )mnA.2 B. C. D.323236. （2014 河南省洛阳市三模文 16）. 已知 外接圆的半径为 1，圆心为 ，且ABCO， ， ， 为边 的三等分点，则 = 20OABCOABEFBEF_ 7. （山西省山西大学附中 2014
31、届高三 9 月月考题）已知 的外接圆半径为A1，圆心为 O，且 ，则 的值为（ ）3450ABCOABA. B. C. D.5165658 （2011 三明联考）半圆的直径 ， 为圆心， 是半圆上不同于 、 的任4 CAB意一点，若 为半径 的中点，则 的值是( )P()PABA B C2 来 D无法确定，与 点位置有关2 19. （2014 河南省北大附中河南分校高三冲刺训练理 09）. 的外接圆的圆心为AB，半径为 ， 且 ，则向量 在 方向上的投影为 O0AOC（ ）A B C D）333310（2011江西师大附中等重点学校联考）已知两不共线向量 ，cos,ina，则下列说法不正确的是
32、( )cos,inbA B 与 的夹角等于ababC D 与 在 方向上的投影相等2 11. （河北衡水中学 20132014 学年度高三上学期二调高三数学试卷）在 所ABC在平面上有三点 、 、 ，满足 , ,PQRPABCQA，则 的面积与 的面积之比为（ ）RABCAA B C D1:2:31:4:512. （2014 山大附中高三 4 月月考理 11）在 中， 、 分别为 、ABEFAB中点 为 上任一点，实数 ， 满足 设 ，PEFxy0PCyx， ， 的面积分别为 ，记 ， ， ，BAB321,S12S3则 取最大值时， 的值为（ ）32 yx2A B C D1313. （2014
33、 河南省郑州市高三第一次质量预测理 10）. 已知 是两个互相垂直,ab的单位向量，且 ，则对任意的正实数 ， 的最小值是（ 1cab t1|ct）A2 B C4 D2214. （2014 河南省郑州市高三第一次质量预测文 11）. 已知向量 是与单位向量a夹角为 的任意向量，则对任意的正实数 ， 的最小值是（ ）b06t|abA0 B C D112315. （2014 河南省豫东、豫北十所名校高三阶段性测试（五）理 15）. 已知 ，若函数 的最小值为 1，则 _ab()()fxabxRab16. （2014 河南省洛阳市三模理 11）. 如图，半圆的直径 ， 为圆心， 为6ABOC半圆上不同于 、 的任意一点，若 为半径 上的动点，则 的最小ABPOCP值为（ ）A B 9 C D 992 9217. （2011 河南省焦作市修武一中高三上学期期中考试理 19）. 已知平面上三个向量 、 、 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为abc 120（I）求证： ；（II）若 ，求 的取值范围.(kR)kc
