1、相对论1 相对论力学原理1.1 时空假设我在火车上，以速度 U 相对你运动，你有你的参照系 (X, Y, Z) 和时钟记录的时间 t, 我有我的参照系(X, Y, Z) 和时钟记录的时间 t，你的 XYZ 轴方向与我的 XYZ 轴方向一致，速度 U 沿 Z-方向。我们都没加速，所以都是惯性参照系。一事件(比如你打开门，你边上的人打了你一下，等等) 发生了。根据你的参照系和时钟，事件是在某地点(x, y, z) 和时间 t 发生的。根据我的参照系和时钟，该事件的地点为(x, y, z) ，时间为 t.为方便起见，让我们把事件的时间和地点用一个量来表述。事件的时空矢定义为：在你的参照系 , 在我的
2、参照系)(),(321ictxitx。 c 真空中的光速，i 为虚数，其平方为-1。),(),(321txictx(时空矢的形式在不同的书里有些不同。ict 项有时以 ct 代替。)根据经典物理，对于同一事件我俩的时空矢的关系如下 (Galileo 变换). (1)tux321例-1 你我测到的粒子速度你测到一粒子的速度为 V ，沿 Z 方向。求我测到该粒子的速度。解:考虑两个事件。你看到:事件-1: 粒子在 t = 0 时位置在 z = 0。事件-2: 粒子在 t = T 时位置在 z = VT 。你测到的速度为 (VT 0)/T = V 。根据 Galileo 变换，同样两个事件我看到的是
3、事件-1: 粒子在 t = 0 时位置在 z = 0。(方便起见)事件-2: 粒子在 t = t = T 时的位置是 z = z ut。我测到的速度为V = (z 0)/t = (z uT)/T = V u。这就是通常见到的相对速度关系。根据 Einstein 的相对论，时空矢的变换为：xx(x,yzt)(x,yz,t)(2)2333 21 cuxtorititcxx其中 (3)u/12用矩阵形式表达:(4)ictxiictx3213210 简写为 , 其中 是 Lorentz 变换矩阵，时空矢以四维矢量表示。x例-2 重返例 -1，用 Lorentz 变换用式(2) 经过一些简单代数运算的：
4、 。当 V 和 u t1。在 S, 该两事件发生的时间差为： .)(1211 xcutt如果 , 则 为负数，即在 S看来, 事件-1 在事件-2 之后发生。)(1212cut12t现在我们来看 x 2 x1 要多大才能使 S里两事件的先后次序颠倒。既然 u 最大可到 c, 可见如果 x 2 x1 c(t2 t1) 则两事件的先后次序可颠倒。 由于满足这一条件的两事件不可能有逻辑关联，即事件-2 是由事件-1 引发，因为两事件间的距离太大而相隔时间太短，就算事件-1 发生后立刻发出光信号，在光信号到达事件-2 的地点前事件-2 已经发生了。而无逻辑关联的两个事件，哪个先发生也就无关紧要了。1.
5、2 原时不变量： ，即：22tcxxx(练习: 利用 Lorentz 变换验证 ，只需代数运算即可。) 此结果可理解为xLorentz 变换只是把时空矢量转了一下，矢量的模（长度 ）不变。考虑一以速度 u 相对你和实验室（惯性参照系 S）运动的粒子。 在和粒子一起运动的惯性参照系 S0，粒子的时空矢为 X = (0, ic), 你看到的时空矢为。 X 与 以 Lorentz 变换相连。 并有),() ,(321ictxitxx xX现考虑过了一极小段时间时空矢的变化。在 S0 里为 dX = (0, icd), 在 S 里为 。) ,() , ,(321idtitdd(5)x原时的定义为 。X
6、c从式(5)得 , (6) /122/12 dtcudttdctdxidj 实验室参照系中粒子的通常速度为 。 原时 d 是不变量。如果我在惯性参照系xuS相对你和实验室 S 运动，我得到粒子的原时 d 与你得到的是一样的。Einstein 的相对性原理要求所有物理原理在任何惯性参照系都成立。例如，如果在 S 里, 则在 S必须有 。0B0B如果有些物理定律，比如牛顿定律，不符合上述原理，则需将定律修改。但首先我们要确定除了时空外，其它物理量怎样转换。比如磁场，在 S 里看到 ，在 S里看到 。BB和 怎样转换? 1.3 其它 4-矢要转换物理量，一个方法是将它们造成 4-矢，并令所有 4-矢
7、和时空矢 一),(321ictx样跟从 Lorentz 变换。速度 4-矢 (7) ,() ,() ,(ciudtictxdicxU 是 4-矢，因为 是 4-矢，而 d 是不变量。d动量 4- 矢 , 其中 m 粒子的静止质量。 静止质量是不变量。W 是 (被)/,(cipP说成是) 粒子的总能量， = mc2 （自己验证）。这就是有名的公式能量 = Mc 2其中 M = m 是运动质量， 是修正后的动量。和经典的动量相比多了个因子 ump，或可理解为动量仍是质量乘速度 ，但运动质量 M = m。在粒子的参照系里，粒子一直是静止的，所以它的动量 4-矢为, 粒子的静止能量为 W 0 = mc
8、2。)/ ,0() ,(0ciicP既然 是粒子在粒子的参照系里的动量 4-矢， 是它在实验室参照系的动量 4-矢, 所P以 。代入各量后可得：0W2 = (pc)2 + m2c4 (8)其中 p 是粒子的动量。 粒子的动能为粒子运动时的能量与静止时的能量之差， KE = W(p) W(p=0)。用式 (8) 得KE = (9).242)(mcpc当 pc 真空里光速 c 不变。3 相对论电动力学电流密度 4-矢(15) ,() ,(0ciuUicJ是静止电荷密度。0，原因是 Lorentz 长度缩短以及电荷守恒。0(16)|BE2cEuB例 6 在 S 里有一长直中性导线载有电流 I。 求在
9、沿导线以速度 u 运动的 S 里导线上的电流和电荷密度。解: 取适当坐标轴，在 S 里导线的电流密度 4-矢为： 。)0 ,(IJ在 S 里导线的电流密度 4-矢为： ) ,(IJ可见在 S 里导线带负电 , 并产生电场。cI/例 7 匀速运动的点电荷在点电荷静止的 S 里， ,304rqE0B在沿 方向运动的 S 里，3x, , 311rE 322rx 3rx还要把 变成 , , (在 t = 0 时刻)1x2x 3因此 13 rr 另外： )sin1()cos(sin22222322 r得 。/30)si(4rqE注意要将场和坐标时间都转换。,ncB20|B例 8 运动的均匀带电长直线在直线静止的 S 里， , ,|E20R0B在沿导线以速度 u 运动的 S 里， （因与运动方向垂直）。 ,0B| 202022 Ruucc 但 得 ， 和从安培定理得到的结果一致。 , 0I IRIB ,B0E ,2E|00R
