1、1导数应用：含参函数的单调性讨论教师版一、思想方法： 上 为 常 函 数在 区 间时 上 为 减 函 数在 区 间时 上 为 增 函 数在 区 间时 和增 区 间 为 和增 区 间 为DxfxfDff CfCf BAxBAx)(0)( .,)(.)(0讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。二、典例讲解例 1 讨论 的单调性，求其单调区间xaf)(解： 的定义域为 ),0(),(它与 同号)1)( 2xaxf axg2I）当 时， 恒成立，0a)(0)f此时 在 和 都是单调增函数，(,即 的增区间是 和 ;f )(II) 当 时 axxf 或)0)0(或此时 在 和
2、 都是单调增函数，)f,a),(在 和 都是单调减函数，(x)即 的增区间为 和 ;f,a的减区间为 和 .)0()(步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负） ，3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界） ，5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。变式练习 1 : 讨论 的单调性，求其单调区间xaxfln)(解： 的定义域为 ),0(它与 同号)()( xxf axgI）当 时， 恒成立，0a0)f此时 在 为单调增函数，(,2即 的增区间为 ，不存在减区间;)(xf),0(II) 当
3、 时 ;0aaxf )此时 在 为单调增函数，(xf),a在 是单调减函数，0即 的增区间为 ; 的减区间为 .)f,()(xf),0(a例 2讨论 的单调性xaxln(解： 的定义域为f) ),0(它与 同号)1( xx 1)axgI） 当 时， 恒成立 （此时 没有意义）0a)(f axf10( 此时 在 为单调增函数，即 的增区间为x,)x),(II） 当 时， 恒成立，)0()f（此时 不在定义域内，没有意义）a1( 此时 在 为单调增函数，即 的增区间为)xf),)(xf),0(III) 当 时, 令0ax0(于是，当 x 变化时， 的变化情况如下表：(结合 g(x)图象定号),fx
4、 )1,0(a),1a)f 0 (增 减所以， 此时 在 为单调增函数， 在 是单调减函数，)xf)1,(a)(xf),1a即 的增区间为 ; 的减区间为 .,0f,小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。即先求出的零点，再其分区间然后定 在相应区间内的符号。一般先讨论 无解情况，再)(xf )(xf 0)(xf讨论解 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量0x 范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的） ，即根据 零点个数从少到多，相应原函)(xf数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单
5、调性。3变式练习 2. 讨论 的单调性xaxfln21)(解： 的定义域为fl)( ),0(, 它与 同号.)(1 2xxaf 12axg令 ，0)( 当 时，无解；当 时, (另一根不在定义域内舍去)0aaxi)当 时， 恒成立 （此时 没有意义）0a)()xf xf10)(2此时 在 为单调增函数，即 的增区间为,),(ii)当 时， 恒成立，)0()f(此时 方程 判别式 ,方程无解)12ax0此时 在 为单调增函数，即 的增区间为f, (xf),0(iii) 当 时,0当 x 变化时， 的变化情况如下表：(结合 g(x)图象定号) ),(fx 1a,1(a)(f 0 增 减所以， 此时
6、 在 为单调增函数， 在 是单调减函数，)(xf)1,a)(xf),1a即 的增区间为 ; 的减区间为 .)(f,0(xf,小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如 i),ii)可合并为一类结果。对于二次型函数（如 ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。1)(2axg例 3 设函数 f(x) x3 x2 bxc，曲线 yf (x)在点(0，f(0) 处的切线方程为 y1.13 a2(1)求 b，c 的值；(2)若 a0，求函数 f(x)的单调区间；(3)设函数 g(x)f( x)2x ，且 g(x)在区间( 2，1)内存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围解 (1)f(x) x2
7、axb，由题意得Error!即Error!(2)由(1)得，f(x )x 2ax x( xa)(a0)，当 x( ，0)时，f(x )0；4当 x(0 ，a)时，f(x )0.所以函数 f(x)的单调递增区间为(，0)，(a， )，单调递减区间为(0，a)(3)g(x) x 2ax 2，依题意，存在 x( 2，1)，使不等式 g(x)x 2ax20 时恒成立即 aln x 0，在 x0 时恒成立1x所以 a ln x ，在 x0 时恒成立1x令 g(x) ln x( x0)，1x则 g(x) (x0)，1x2 1x x 1x2由 g(x)0，得 x1；由 g(x)0 时恒成立，即 aln x0，在 x0 时 恒成立，1x所以 a ln x ，在 x0 时恒成立，由上述推理可知此 时 a1.1x故实数 a 的取值范围是( ，16三、巩固作业：1. 已知函数 ，求 的单调区间.()ln.afx()fx解： 21+,ax函 数 的 定 义 域 为 （ 0， ） ，fxa令 得 ：,(0,)00(,)affxffx若 即 ， 则 在 上 单 调 递 增 ；若 即 ， 则 由 得 -由 得 0, 故 ()fx在 0,)单调递增.若 00 时，f( x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，)；当 a0，即 m .373所以 m9.373即实数 m 的取值范围是( ，9)373
