1、关于含参导数的练习题一解答题（共 20 小题）1 （2014遵义二模）设函数 f（x）=x 2+aln（1+x）有两个极值点 x1、x 2，且 x1x 2，（）求 a 的取值范围，并讨论 f（x）的单调性；（）证明：f（x 2） 2 （2014河西区三模）已知函数 f（x）= +cx+d（a，c ，d R）满足 f（0）=0，f（1）=0，且f（x）0 在 R 上恒成立（1）求 a，c，d 的值；（2）若 ，解不等式 f（x）+h（x）0；（3）是否存在实数 m，使函数 g（x）=f （x）mx 在区间 m，m+2 上有最小值5？若存在，请求出实数 m 的值；若不存在，请说明理由3 （2014
2、孝感二模）已知函数 f（x）=alnx ax3（a R） （）求函数 f（x）的单调区间；（）若函数 y=f（x）的图象在点（2，f（2） ）处的切线的倾斜角为 45，对于任意的 t1，2 ，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求 m 的取值范围；（）求证： 4 （2014天津三模）已知函数 f（x）=（2a） （x 1）2lnx，g（x）=xe 1x （aR ，e 为自然对数的底数）（）当 a=1 时，求 f（x）的单调区间；（）若函数 f（x）在 上无零点，求 a 的最小值；（）若对任意给定的 x0（ 0，e ，在（0，e 上总存在两个不同的 xi（i=1，2） ，使得 f（x i）=g
3、（x 0）成立，求 a的取值范围5 （2014市中区二模）已知函数 f（x）=x 2+axlnx，a R（1）若函数 f（x）在1，2上是减函数，求实数 a 的取值范围；（2）令 g（x）=f（x）x 2，是否存在实数 a，当 x（0，e （e 是自然常数）时，函数 g（x）的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由；（3）当 x（0，e 时，证明： 6 （2014凉州区二模）已知函数 f（x）=plnx+（p1）x 2+1（1）讨论函数 f（x）的单调性；（2）当 P=1 时，f（x）kx 恒成立，求实数 k 的取值范围；（3）证明：1n（n+1）1+ + （n N+） 7
4、（2014甘肃二模）已知函数 f（x）= +lnx2，g（x）=lnx+2x（）求函数 f（x）的单调区间；（）试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线 y=g（x）相切？请说明理由8 （2014吉林三模）已知函数 f（x）=lnx ，g（x）=f（ x）+ax 6lnx，其中 aR（1）当 a=1 时，判断 f（x）的单调性；（2）若 g（x）在其定义域内为增函数，求正实数 a 的取值范围；（3）设函数 h（x）=x 2mx+4，当 a=2 时，若x 1（0，1） ，x 21，2 ，总有 g（x 1） h（x 2）成立，求实数 m的取值范围9 （2014和平区三模）设函数 f（x）=xae x
5、1（）求函数 f（x）单调区间；（）若 f（x）0 对 xR 恒成立，求 a 的取值范围；（）对任意 n 的个正整数 a1，a 2，a n 记 A=（1）求证： （i=1，2，3n） （2）求证：A 10 （2014宿迁一模）已知函数 f（x）=x 3+ x2+ax+b（a，b 为常数） ，其图象是曲线 C（1）当 a=2 时，求函数 f（x）的单调减区间；（2）设函数 f（x）的导函数为 f（x） ，若存在唯一的实数 x0，使得 f（x 0）=x 0 与 f（x 0）=0 同时成立，求实数 b的取值范围；（3）已知点 A 为曲线 C 上的动点，在点 A 处作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C
6、 交于另一点 B，在点 B 处作曲线 C 的切线 l2，设切线 l1，l 2 的斜率分别为 k1，k 2问：是否存在常数 ，使得 k2=k1？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由11 （2014珠海二模）已知函数 f（x）=（a+1）lnx+ax 2+ ，aR（1）当 a= 时，求 f（x）的最大值；（2）讨论函数 f（x）的单调性；（3）如果对任意 x1，x 2（0 ，+） ，|f（x 1） f（x 2）| 4|x1x2|恒成立，求实数 a 的取值范围12 （2014天津二模）已知函数 f（x）=（a+ ）e n，a，b 为常数，a0（）若 a=2，b=1，求函数 f（x）在（0，+）上
7、的单调区间；（）若 a0，b0，求函数 f（x）在区间1 ，2的最小值；（）若 a=1，b= 2 时，不等式 f（x）lnxe n 恒成立，判断代数式（n+1）！ 2 与（n+1）e n2（n N*）的大小13 （2014南昌模拟）已知函数 f（x）=ax1 lnx（a R） （1）讨论函数 f（x）在定义域内的极值点的个数；（2）若函数 f（x）在 x=1 处取得极值，对 x（0，+） ，f（x）bx2 恒成立，求实数 b 的取值范围；（3）当 xye1 时，求证： 14 （2014广州模拟）已知函数 f（x）=ax 3+bx23x（a，bR）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y+2=0
8、（1）求函数 f（x）的解析式；（2）若对于区间2，2上任意两个自变量的值 x1，x 2 都有|f（x 1） f（x 2）| c，求实数 c 的最小值；（3）若过点 M（2，m） （m2）可作曲线 y=f（x）的三条切线，求实数 m 的取值范围15 （2014江西一模）已知函数 f（x）=xalnx，g（x）= ， （aR ） （）若 a=1，求函数 f（x）的极值；（）设函数 h（x）=f（x）g（x） ，求函数 h（x）的单调区间；（）若在1，e（e=2.718 ）上存在一点 x0，使得 f（x 0）g（x 0）成立，求 a 的取值范围16 （2014宝鸡三模）已知 f（x）=xlnx，g
9、（x）=x 3+ax2x+2（）求函数 f（x）的单调区间；（）求函数 f（x）在t，t+2（t0）上的最小值；（）对一切的 x（0，+ ） ，2f（x）g（x）+2 恒成立，求实数 a 的取值范围17 （2014揭阳三模）已知函数 f（x）=ln（x+a） x2x 在 x=0 处取得极值（1）求实数 a 的值；（2）若关于 x 的方程 在区间0，2 上恰有两个不同的实数根，求实数 b 的取值范围；（3）证明：对任意的正整数 n，不等式 都成立18 （2014湖北模拟）已知函数 f（x）= m（x1） 22x+3+lnx（m 1） （）当 时，求函数 f（ x）在区间1 ，3上的极小值；（）求
10、证：函数 f（x）存在单调递减区间 a，b；（）是否存在实数 m，使曲线 C：y=f（x）在点 P（1， 1）处的切线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点？若存在，求出实数 m 的值，若不存在，请说明理由19 （2015横峰县一模）已知函数 f（x）=alnx ax3（a R，a0） （）求函数 f（x）的单调区间；（）若函数 y=f（x）的图象在点（2，f（2） ）处的切线的倾斜角为 ，问：m 在什么范围取值时，对于任意的t1，2，函数 在区间t，3上总存在极值？（）当 a=2 时，设函数 ，若在区间1，e上至少存在一个 x0，使得 h（x 0）f（x 0）成立，试求实数 p 的取值范围20
11、 （2014聊城一模）已知函数 f（x）=ln（x+a） x2x 在 x=0 处取得极值（）求实数 a 的值；（）若关于 x 的方程 f（x） = x+b 在区间0 ，2上恰有两个不同的实数根，求实数 b 的取值范围；（）证明：对任意的正整数 n，不等式 2+ + + ln （n+1）都成立关于含参导数的练习题参考答案与试题解析一解答题（共 20 小题）1 （2014遵义二模）设函数 f（x）=x 2+aln（1+x）有两个极值点 x1、x 2，且 x1x 2，（）求 a 的取值范围，并讨论 f（x）的单调性；（）证明：f（x 2） 考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；不
12、等式的证明菁优网版权所有专题： 计算题；证明题；压轴题分析： （1）先确定函数的定义域然后求导数 f（x） ，令 g（x）=2x 2+2x+a，由题意知 x1、x 2 是方程 g（x）=0 的两个均大于1 的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式 f（x）0 和f（x）0，求出单调区间；（2）x 2 是方程 g（x）=0 的根，将 a 用 x2 表示，消去 a 得到关于 x2 的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式解答： 解：（I）令 g（x）=2x 2+2x+a，其对称轴为 由题意知 x1、x 2 是方程 g（x）=0 的两个均大于1 的不相等的实根，
13、其充要条件为 ，得（1）当 x（1，x 1）时，f（x）0，f （x）在（ 1，x 1）内为增函数；（2）当 x（x 1，x 2）时，f（x）0， f（x）在（x 1， x2）内为减函数；（3）当 x（x 2，+）时，f （x）0，f（x）在（x 2，+）内为增函数；（II）由（I）g （0）=a0， ，a= （2x 22+2x2）f（ x2）=x 22+aln（1+x 2）=x 22（2x 22+2x2）ln （1+x 2）设 ，则 h（x）=2x2（2x+1）ln（1+x）2x= 2（2x+1 ）ln（1+x）（1）当 时，h（x）0，h（x）在 单调递增；（2）当 x（0，+）时，h（x
14、）0，h（x）在（0，+ ）单调递减故 点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于基础题2 （2014河西区三模）已知函数 f（x）= +cx+d（a，c ，d R）满足 f（0）=0，f（1）=0，且f（x）0 在 R 上恒成立（1）求 a，c，d 的值；（2）若 ，解不等式 f（x）+h（x）0；（3）是否存在实数 m，使函数 g（x）=f （x）mx 在区间 m，m+2 上有最小值5？若存在，请求出实数 m 的值；若不存在，请说明理由考点： 导数的运算；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；其他不等式的解法菁优网版权所有专题： 计算
15、题；压轴题分析： （1）待定系数法求函数解析式，由 f（0）=0 ，f（1）=0，且 f（x）0 在 R 上恒成立列出三个方程，解出 a、b、c（2）一元二次不等式解法，注意根之间比较，考查分类讨论思想（3）考查二次函数最值问题，考查分类讨论思想，对 m 进行讨论，看对称轴与区间的关系解答： 解：（1）f （0）=0 ，d=0 x+c 及 f（1）=0，有f（x） 0 在 R 上恒成立，即 恒成立显然 a=0 时，上式不能恒成立a0，函数 f（x）=a 是二次函数由于对一切 xR，都有 f（x）0，于是由二次函数的性质可得即 ，即 ，解得：a= ， （2） 由 f（ x）+h （ x）0，即即
16、 0，即当 时，解集为（ ，b） ，当 b 时，解集为（b， ） ，当 b= 时，解集为 （3） ， f（x）= 该函数图象开口向上，且对称轴为 x=2m+1假设存在实数 m 使函数 区间mm+2 上有最小值5当 m1 时， 2m+1m，函数 g（x）在区间m，m+2上是递增的g（ m）= 5，即 解得 ， 舍去当 1m1 时，m 2m+1 m+2，函数 g（x）在区间m，2m+1 上是递减的，而在区间2m+1，m+2 上是递增的，g（2m+1 ）= 5即解得 或 m= ，均应舍去当 m1 时，2m+1 m+2，函数 g（x）在区间m，m+2上递减的g（m+2）=5即 解得 或 m=1+2 其
17、中 m=12 应舍去综上可得，当 m=3 或 m=1+2 时，函数 g（x）=f（x）mx 在区间m，m+2 上有最小值5点评： 本题考查导数的综合运用，具体包含导数的计算、恒成立问题、不等式的解法、待定系数法求函数解析式、二次函数最值问题，分类讨论思想，对学生有一定的能力要求，属于难题3 （2014孝感二模）已知函数 f（x）=alnx ax3（a R） （）求函数 f（x）的单调区间；（）若函数 y=f（x）的图象在点（2，f（2） ）处的切线的倾斜角为 45，对于任意的 t1，2 ，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求 m 的取值范围；（）求证： 考点： 利用导数研究函数的单调性；利
18、用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 利用导数求函数的单调区间的步骤是求导函数 f（x） ；解 f（x）0（或0） ；得到函数的增区间（或减区间） ，对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数 a 的讨论情况；（2）点（2，f（2） ）处的切线的倾斜角为 45，即切线斜率为 1，即 f（2）=1，可求 a 值，代入得 g（x）的解析式，由 t1，2，且 g（x）在区间（t ，3）上总不是单调函数可知： ，于是可求 m的范围（3）是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单
19、调区间上的正整数自变量 n 有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解解答： 解：（） （2 分）当 a0 时，f（x）的单调增区间为（0，1，减区间为1，+ ） ；当 a0 时，f（x）的单调增区间为1 ，+） ，减区间为（ 0，1 ；当 a=0 时，f （ x）不是单调函数（ 4 分）（） 得 a=2，f（x）=2lnx+2x 3 ，g（x）=3x 2+（m+4 ）x2（6 分）g（ x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且 g（0）= 2由题意知：对于任意的 t1，2 ，g（t ）0 恒成立，所以有： ， （10 分）（）令 a=1 此时 f（x）= lnx+x3，所以 f（1）=2，
20、由（）知 f（x）= lnx+x3 在（1，+）上单调递增，当 x（1，+）时 f（x）f （1） ，即 lnx+x10，lnxx 1 对一切 x（1，+）成立， （12 分）n2，nN*，则有 0lnn n1，点评： 本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，已知函数曲线上一点求曲线的切线方程即对函数导数的几何意义的考查，考查求导公式的掌握情况含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题4 （2014天津三模）已知函数 f（x）=（2a） （x 1）2lnx，g（x）=xe 1x （aR ，e 为自然对数的底数）（）当 a=1 时，求 f（x）的单调区间；（）若函数 f（x）在 上无零
21、点，求 a 的最小值；（）若对任意给定的 x0（ 0，e ，在（0，e 上总存在两个不同的 xi（i=1，2） ，使得 f（x i）=g（x 0）成立，求 a的取值范围考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： （）把 a=1 代入到 f（x）中求出 f（x） ，令 f（x）0 求出 x 的范围即为函数的增区间，令 f（x）0求出 x 的范围即为函数的减区间；（）f（x）0 时不可能恒成立，所以要使函数在（ 0， ）上无零点，只需要对 x（0， ）时 f（x）0 恒成立，列出不等式解出 a 大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根
22、据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到 a 的最小值；（）求出 g（x） ，根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出 g（x）的值域，而当 a=2 时不合题意；当 a2 时，求出 f（x）=0 时 x 的值，根据 x（0，e列出关于 a 的不等式得到，并根据此时的 x的值讨论导函数的正负得到函数 f（x）的单调区间，根据单调区间得到 和，令中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的最大值，即可解出恒成立和解出 得到 ，联立和即可解出满足题意 a 的取值范围解答： 解：（）当 a=1 时，f（x） =x12lnx，则 f
23、（x）=1 ，由 f（x）0，得 x2；由 f（x）0，得 0x2故 f（x）的单调减区间为（0 ，2 ，单调增区间为2，+ ） ；（）因为 f（x）0 在区间 上恒成立不可能，故要使函数 上无零点，只要对任意的 ，f（x）0 恒成立，即对 恒成立令 ，则 ，再令 ，则 ，故 m（x）在 上为减函数，于是，从而，l（x）0，于是 l（x）在 上为增函数，所以 ，故要使 恒成立，只要 a24ln2，+） ，综上，若函数 f（x）在 上无零点，则 a 的最小值为 24ln2；（）g（x）=e 1xxe1x=（1x）e 1x，当 x（0，1）时，g（x） 0，函数 g（x）单调递增；当 x（1，e时
24、，g（x）0，函数 g（x）单调递减又因为 g（0）=0，g（1）=1，g（e）=ee 1e0，所以，函数 g（x）在（0，e上的值域为（0，1当 a=2 时，不合题意；当 a2 时，f （x）= ，x（0，e当 x= 时，f（x）=0由题意得，f（x）在（0，e上不单调，故 ，即 此时，当 x 变化时，f（x） ，f （x）的变化情况如下：x （0， ） （ ，ef（x） 0+f（x）最小值又因为，当 x0 时，f（x）+，所以，对任意给定的 x0（0 ，e ，在（0，e 上总存在两个不同的 xi（i=1，2） ，使得 f（x i）=g（x 0）成立，当且仅当 a 满足下列条件：即令 h（a
25、）= ，则 h ，令 h（a）=0，得 a=0 或 a=2，故当 a（，0）时，h（a ）0，函数 h（a ）单调递增；当 时，h（a）0，函数 h（a ）单调递减所以，对任意 ，有 h（a）h（0）=0，即对任意 恒成立由式解得： 综合可知，当 时，对任意给定的 x0（0，e ，在（0，e上总存在两个不同的 xi（i=1 ，2） ，使 f（x i）=g （x 0）成立点评： 此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道压轴题5 （2014市中区二模）已知函数 f（x）=x 2+axlnx，a R（1）若函数
26、f（x）在1，2上是减函数，求实数 a 的取值范围；（2）令 g（x）=f（x）x 2，是否存在实数 a，当 x（0，e （e 是自然常数）时，函数 g（x）的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由；（3）当 x（0，e 时，证明： 考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有专题： 计算题；综合题；压轴题分析： （1）先对函数 f（x）进行求导，根据函数 f（x）在1，2上是减函数可得到其导函数在1，2上小于等于0 应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得 a 的范围（2）先假设存在，然后对函数 g（x）进行求导，再对 a 的值分情况讨论函数
27、g（x）在（0，e上的单调性和最小值取得，可知当 a=e2 能够保证当 x（0，e时 g（x）有最小值 3（3）令 F（x）=e 2xlnx 结合（ 2）中知 F（x）的最小值为 3，再令 并求导，再由导函数在 0xe 大于等于 0 可判断出函数 （x）在（0，e上单调递增，从而可求得最大值也为 3，即有成立，即 成立解答：解：（1） 在1，2上恒成立，令 h（x）=2x 2+ax1，有 得 ，得（2）假设存在实数 a，使 g（x）=ax lnx（x （0，e ）有最小值 3， =当 a0 时，g（x）在（0，e上单调递减，g（x） min=g（e）=ae1=3 ， （舍去） ，当 时，g（x
28、）在 上单调递减，在 上单调递增 ，a=e 2，满足条件当 时，g（x）在（0，e 上单调递减，g（x） min=g（e）=ae 1=3， （舍去） ，综上，存在实数 a=e2，使得当 x（0，e时 g（x）有最小值 3（3）令 F（x）=e 2xlnx，由（ 2）知，F （x） min=3令 ， ，当 0xe 时， （x）0，（x）在（0，e 上单调递增 ，即 （x+1）lnx点评： 本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减6 （2014凉州区二模）已知函数 f（x）=plnx+（p1）x 2+1（
29、1）讨论函数 f（x）的单调性；（2）当 P=1 时，f（x）kx 恒成立，求实数 k 的取值范围；（3）证明：1n（n+1）1+ + （n N+） 考点： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用菁优网版权所有专题： 计算题；证明题；综合题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想分析： （1）利用导数来讨论函数的单调性即可，具体的步骤是：（1）确定 f（x）的定义域；（2）求导数f（x） ；（3）在函数 的定义域内解不等式 f（x）0 和 f（x）0；（4）确定 的单调区间若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论 （2）当 P=1 时，f（x）kx 恒成立，分离参数等价于 k
30、，利用导数求函数 h（x）= 的最大值即可求得实数 k 的取值范围；（3）由（2）知，当 k=1 时，有 f（x）x，当 x1 时， f（x）x，即 lnxx 1，令 x= ，则得到 ，利用导数的运算法则进行化简，然后再相加，即可证得结论解答：解：（1）f（x）的定义域为（ 0，+ ） ，f（x）= ，当 p1 时，f （x）0，故 f（ x）在（0，+ ）上单调递增；当 p0 时，f （x）0，故 f（ x）在（0，+ ）上单调递减；当 0p1 时，令 f（x）=0 ，解得 x= 则当 x 时，f（x）0；x 时，f（x）0，故 f（x）在（0， ）上单调递增，在 上单调递减；（2）x0，当
31、 p=1 时，f （x） kx 恒成立 1+lnxkxk ，令 h（x）= ，则 kh（x） max，h（x）= =0，得 x=1，且当 x（0，1） ，h（x）0 ；当 x（1，+） ，h（x）0；所以 h（x）在 0，1）上递增，在（1，+）上递减，所以 h（x） max=h（1）=1，故 k1（3）由（2）知，当 k=1 时，有 f（x） x，当 x1 时，f （x）x，即 lnxx1，令 x= ，则 ，即 ，ln2ln11， ，相加得 1n（n+1）1+ + 点评： 此题是个难题本题主要考查导数的概念、利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性证明不等式和利用导数研究函数性质的能力，考
32、查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想7 （2014甘肃二模）已知函数 f（x）= +lnx2，g（x）=lnx+2x（）求函数 f（x）的单调区间；（）试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线 y=g（x）相切？请说明理由考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： （I）对函数 f（x）求导，当导数 f（x）大于 0 时可求单调增区间，当导数 f（x）小于 0 时可求单调减区间（II） 先表示出过点（2，5）与曲线 y=g（x）相切的直线，进而假设函数，可求得切线的条数解答：解：（I） 由题意得，函数的定义域为（ 0，+ ）
33、， =当 a0 时，f （x）0 恒成立，f（x）的单调递增区间为（0，+）当 a0 时，令 f（x）0，xa令 f（x）0， 0xa故 f（x）的单调递增区间为 （a，+） ，单调递减区间为（0，a）（II） 设切点为（m ，n）令由导数为 0 可得，x=2，h（ x）在（ 0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增 f（ ）0，f（2）=ln2 1 0h（ x）与 x 轴有两个交点过点（2，5）可作 2 条曲线 y=g（x）的切线点评： 本题主要考查通过求函数的导数来确定函数增减区间的问题，考查利用导数解决切线问题，有一定的综合性 8 （2014吉林三模）已知函数 f（x）=lnx ，g（
34、x）=f（ x）+ax 6lnx，其中 aR（1）当 a=1 时，判断 f（x）的单调性；（2）若 g（x）在其定义域内为增函数，求正实数 a 的取值范围；（3）设函数 h（x）=x 2mx+4，当 a=2 时，若x 1（0，1） ，x 21，2 ，总有 g（x 1） h（x 2）成立，求实数 m的取值范围考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题菁优网版权所有专题： 综合题；压轴题；导数的综合应用分析： （1）当 a=1 时，f（x）=lnx ，f（x）= + = ，由此能推导出 f（x）在（0，+ ）上是增函数（2）将函数为增函数，转化为导函数大于等于 0 恒成立，分离出参数 a，求
35、出 a 的范围（3）对 h（x）进行配方，讨论其最值问题，根据题意x 1（0，1） ， x21，2，总有 g（x 1）h（x 2）成立，只要要求 g（x） maxh（x） max，即可，从而求出 m 的范围解答： 解：（1）当 a=1 时，f（x） =lnx ，f（x）= + = ，x0x 0， f（x ）0，f（ x）在（0，+ ）上是增函数（2）f （x）=lnx ，g（x）=f（x）+ax6lnx ，a0g（ x） =ax 5lnx，x0g（x）=a+ = ，若 g（x）0，可得 ax25x+a0，在 x0 上成立，a = ， = （x=1 时等号成立） ，a （3）当 a=2 时，g（
36、x）=2x 5lnx，h（x）=x 2mx+4=（x ） 2+4 ，x1（0，1） ，x 21，2 ，总有 g（x 1） h（x 2）成立，要求 g（x）的最大值，大于 h（x）的最大值即可，g（x）= = ，令 g（x）=0，解得 x1= ，x 2=2，当 0x ，或 x2 时，g（x）0，g（x）为增函数；当 x2 时，g（x）0，g（x）为减函数；x1（0，1） ，g（ x）在 x= 处取得极大值，也是最大值，g（ x） max=g（ ）=1 4+5ln2=5ln23，h（ x） =x2mx+4=（x ） 2+4 ，若 m3，h max（x）=h （2）=42m+4=82m ，5ln23
37、82m， m ， 3，故 m 不存在；若 m3 时，h max（x）=h（1）=5m ，5ln235m，m 85ln2，实数 m 的取值范围：m85ln2；点评： 本题考查函数单调性与导数的关系，和分类讨论思想，及二次函数的知识，是导数中常见的恒成立问题，属难题9 （2014和平区三模）设函数 f（x）=xae x1（）求函数 f（x）单调区间；（）若 f（x）0 对 xR 恒成立，求 a 的取值范围；（）对任意 n 的个正整数 a1，a 2，a n 记 A=（1）求证： （i=1，2，3n） （2）求证：A 考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；导数在最大值、最小值问题中的应用
38、菁优网版权所有专题： 压轴题分析： （I）根据已知中的函数的解析式，我们易求出函数的导函数的解析式，分类讨论导函数的符号，即可得到答案（II）根据（I）的结论我们易当 a0 时，f （x） 0 不恒成立，当 a0 时，仅须函数的最大值小于 0 即可，由此构造关于 a 的不等式即可得到答案（III） （ 1）由（ II）的结论我们可以得到 f（x）=xe x10 恒成立，故 （i=1 ，2，3n）成立；（2）结合（1）的结论，我们分别取 i=1，2，3n，i=1 ， 2，3n，得到 n 个不等式，根据不等式的性质相乘后，即可得到结论解答： 解：（I） 函数 f（x）=x aex1函数 f（x）=
39、1 aex1当 a0 时，f （x）0，则 f（x）在 R 上是增函数当 a0 时，令 f（x）=0 得 x=1lna，则 f（x）在区间（，1 lna）上是增函数，在区间（1lna，+）上是减函数综上可知：当 a0 时，f（x）在 R 上是增函数；当 a0 时，f （x）在区间（ ，1lna）上是增函数，在区间（1lna，+）上是减函数（II）由（I）可知：当 a0 时，f （x） 0 不恒成立当 a0 时，f（x）在点 x=1lna 时取最大值 lna，令lna0，则 a1故若 f（x）0 对 xR 恒成立，则 a 的取值范围为1，+ ）（III） （ 1）由（ II）知：当 a=1 时恒
40、有 f（x）=xe x10 成立即 xex1（2）由（1）知： ， ，把以上 n 个式子相乘得 =1Ana1a2an故点评： 本题考查的知识点是利用导数求函数的单调性，函数单调性的性质，不等式的性质，其中根据已知条件中函数的解析式，求出导函数的解析式，并分析导函数的符号是解答本题的关键10 （2014宿迁一模）已知函数 f（x）=x 3+ x2+ax+b（a，b 为常数） ，其图象是曲线 C（1）当 a=2 时，求函数 f（x）的单调减区间；（2）设函数 f（x）的导函数为 f（x） ，若存在唯一的实数 x0，使得 f（x 0）=x 0 与 f（x 0）=0 同时成立，求实数 b的取值范围；（
41、3）已知点 A 为曲线 C 上的动点，在点 A 处作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B，在点 B 处作曲线 C 的切线 l2，设切线 l1，l 2 的斜率分别为 k1，k 2问：是否存在常数 ，使得 k2=k1？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专题： 压轴题；导数的综合应用分析： （1）先求原函数的导数，根据 f（x）0 求得的区间是单调减区间，即可；（2）由于存在唯一的实数 x0，使得 f（x 0）=x 0 与 f（x 0）=0 同时成立，则存在唯一的实数根 x0，即 b=2x3+ x2+x
42、 存在唯一的实数根 x0，就把问题转化为求函数最值问题；（3）假设存在常数 ，依据曲线 C 在点 A 处的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B，曲线 C 在点 B 处的切线l2，得到关于 的方程，有解则存在，无解则不存在解答： 解：（1）当 a=2 时，函数 f（x）=x 3+ x22x+b则 f（x）=3x 2+5x2=（3x1） （x+2）令 f（x）0，解得 2x ，所以 f（x）的单调递减区间为（ 2， ） ；（2）函数 f（x）的导函数为由于存在唯一的实数 x0，使得 f（x 0）=x 0 与 f（x 0）=0 同时成立，则 即 x3+ x2+（3x 25x1）x+b=0 存在唯一
43、的实数根 x0，故 b=2x3+ x2+x 存在唯一的实数根 x0，令 y=2x3+ x2+x，则 y=6x2+5x+1=（2x+1） （3x+1）=0，故 x= 或 x= ，则函数 y=2x3+ x2+x 在（， ） ， （ ，+）上是增函数，在（ ， ）上是减函数，由于 x= 时，y= ；x= 时， y= ；故实数 b 的取值范围为：（， ） （ ，+ ） ；（3）设点 A（x 0，f（x 0） ） ，则在点 A 处的切线 l1 的切线方程为 yf（x 0）=f （x 0） （xx 0） ，与曲线 C 联立得到 f（x）f（x 0）=f（x 0） （xx 0） ，即（x 3+ x2+ax+
44、b）（x 03+ x02+ax0+b）= （3x 02+5x0+a） （xx 0） ，整理得到（xx 0） 2x+（2x 0+ ）=0，故点 B 的横坐标为 xB=（2x 0+ ）由题意知，切线 l1 的斜率为 k1=f（x 0）=3x 02+5x0+a，l2 的斜率为 k2=f（2x 0+ ） ）=12x 02+20x0+ +a，若存在常数 ，使得 k2=k1，则 12x02+20x0+ +a=（3x 02+5x0+a） ，即存在常数 ，使得（4） （ 3x02+5x0）=（1）a ，故 ，解得 =4，a= ，故 a= 时，存在常数 =4，使得 k2=4k1；a 时，不存在常数，使得 k2=
45、4k1点评： 本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时还考查了方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决11 （2014珠海二模）已知函数 f（x）=（a+1）lnx+ax 2+ ，aR（1）当 a= 时，求 f（x）的最大值；（2）讨论函数 f（x）的单调性；（3）如果对任意 x1，x 2（0 ，+） ，|f（x 1） f（x 2）| 4|x1x2|恒成立，求实数 a 的取值范围考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有专题： 压轴题；导数的综合应用分析： （1）当 a= 时，求 f（x） ）= lnx x2+ ，先确定函
46、数的定义域，然后求导研究单调性求最大值；（2）求导数 f（x） ，在函数的定义域内解不等式 f（x）0 和 f（x）0，求出单调区间；（3）根据第一问的单调性先对|f（x 1）f（x 2）|4|x 1x2|进行化简整理，转化成研究 g（x）=f（x）+4x 在（0，+）单调性问题，然后再转化成导函数在（0，+）上恒大于等 0 或恒小于等于的恒成立问题解答： 解：（1）当 a= 时，求 f（x） ）= lnx x2+ ，定义域为（0，+）f（x）= = ， 2 分所以 f（x）的增区间为（0， 1） ，减区间为（1，+ ） ，3 分所以 f（x） max=f（1）= 4 分（2）对函数 f（x）=（a+1）lnx+ax 2+ ，定义域为（0，+）求导得：f （x
