高中数学一题多解.doc

1、高中数学一题多解思维训练“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通” 。这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。例 1 已知复数 的模为 2，求 的最大值。ziz解法一（代数法）：设 ，、 )(Ryxiz.25)1(.42

2、22 yyiz则 3, maxizyy时 ，当解法二（三角法）：设 ),sin(co2z则 .sin45)1i242 （i.31snmaxz时 ，当 解法三（几何法）： 。所 对 应 的 点 之 间 的 距 离与表 示 上 的 点 ，是 圆点 iziy4,22如图 1 所示，可知当 时，iz.3maxiz解法四（运用模的性质）： 312iziyxO i-2i图 1Z而当 时，iz2.3.3maxiziz解法五（运用模的性质）： 1)()(2 iziziz.,5的 虚 部 ）表I又 39,2)( max2maxizizI例 2 已知 求证：.1,22yxb.1byx分析 1 用比较法。本题只要证

3、 为了同时利用两个已知条件，只需要观0)(a察到两式相加等于 2 便不难解决。证法 1 ：)()12)( byaxbyax22,0)()(21)22 2ybxayb所以 .1分析 2 运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范。证法 2 ：要证 .1byax只需证 ,0)(即 2yx因为 .1,22yxba所以只需证 ,0)()( byax即 .0()22yx因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。分析 3 运用综合法（综合运用不等式的有关性

4、质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）证法 3 ：.2,2ybxa.122ybxabyx即 .1by分析 4 三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于 1 的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。证法 4 ：可设,1,122yxbacossin.cosiny,1)(si yx分析 5 数形结合法：由于条件 可看作是以原点为圆心，半径为 1 的单位圆，2yx而 联系到点到直线距离公式，可得下面证法。.2bayx证法 5 ：（如图 2）因

5、为直线 经过0:yxlxlMyd图 2O圆 的圆心 O，所以圆上任意一点12yx ),(yxM到直线 的距离都小于或等于圆半径 1，0ba即 .|2 byaxbyaxd简评 五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法。除了证法 4、证法 5 的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择。例 3 如果 求证： 成等差数列。,0)(4)(2zyxz zyx、分析 1 要证 ，必须有 成立才行。此条件应从已知条件中得出。故y、此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换。证法 1 ：,0)(4)(2zyxz,02)( ,)(

6、)422yzxyz故 ，即 成等差数列。zx、分析 2 由于已知条件具有 轮换对称特点，此特点的充分利用就是以换xy,元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利。证法 2 ：设 则,bzyax.bazx于是，已知条件可化为： .0)(04)( 22 zyxbababa 所以 成等差数列。zyx、分析 3 已知条件呈现二次方程判别式 的结构特点引人注目，提供了构造一acb42个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会。证法 3 ：当 时，由已知条件知 即 成等差数列。0yx ,0zyxzzyx、当 时，关于 的一元二次方程：t ,0)()()(2tt其判别式 故方程有等根，显然 1 为方程的一

7、个根，,0)(4)(2zyxz从而方程的两根均为 1，由韦达定理知 即 成等差数列。.121 zyxyxzt zyx、简评：证法 1 是常用方法，略嫌呆板，但稳妥可靠。证法 2 简单明了，是最好的解法，其换元的技巧有较大的参考价值。证法 3 引入辅助方程的方法，技巧性强，给人以新鲜的感受和启发。例 4 已知 ，求 的最小值。1yx2yx分析 1 虽然所求函数的结构式具有两个字母 ，但已知条件恰有 的关系式，可yx、 yx、用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题。解法 1 ：.1,xyx设 ，则2z .12)(22xz二次项系数为 故 有最小值。,0当 时，21x .24） （

8、 最 小 值 z的最小值为2yx.1分析 2 已知的一次式 两边平方后与所求的二次式 有密切关联，于是所yx2yx求的最小值可由等式转换成不等式而求得。解法 2 ：即,1)(,12yxyx.212xyx)(2即 当且仅当 时取等号。 的最小值为,yx2yx2yx.1分析 3 配方法是解决求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。解法 3 ：设 .2yxz .21)()21(,1 22 yxyxz当 时， 即 的最小值为yx.1最 小 2.分析 4 因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故可得到用解析法求解的启发。解法

9、 4 ：如图 3， 表示直线1yx,l2yx表示原点到直线 上的点 的距离的平方。l)(P显然其中以原点到直线 的距离最短。此时， 即,2|10|d .2)(2最 小yx ),(yxP11O xyl图 3所以 的最小值为2yx.1注 ：如果设 则问题还可转化为直线 与圆 有交点时，,2z1yxzyx2半径 的最小值。z简评： 几种解法都有特点和代表性。解法 1 是基本方法，解法 2、3、4 都紧紧地抓住题设条件的特点，与相关知识联系起来，所以具有灵巧简捷的优点，特别是解法 4，形象直观，值得效仿。例 5 设 求证：.1,2Rz.1|z分析 1 由已知条件 为实数这一特点，可提供设实系数二次方程

10、的可能，在该二次2方程有两个虚根的条件下，它们是一对共轭虚根，运用韦达定理可以探求证题途径。证法 1 ：设 当 时，可得 与 条件不合。),(2Raz00zR于是有 .0.2z该方程有一对共轭虚根，设为 ，于是,z21,z .|,2121zz又由韦达定理知 .|.|, 212121 az分析 2 由于实数的共轭复数仍然是这个实数，利用这一关系可以建立复数方程，注意到这一重要性质，即可求出 的值。|z|z证法 2 ：设 当 时，可得 与 条件不合，),(12Raz00zR.0a则有 ，2.1,22即 ).()()1()(22 zzzz 但 ,| .0)|1,|22而 即.|2zRz.1|z分析

11、3 因为实数的倒数仍为实数，若对原式取倒数，可变换化简为易于进行运算的形式。再运用共轭复数的性质，建立复数方程，具有更加简捷的特点。证法 3 ：即,1,122RzRz .1Rzz从而必有 .|.简评：设出复数的代数形式或三角形式，代入已知条件化简求证，一般也能够证明，它是解决复数问题的基本方法。但这些方法通常运算量大，较繁。现在的三种证法都应用复数的性质去证，技巧性较强，思路都建立在方程的观点上，这是需要体会的关键之处。证法3 利用倒数的变换，十分巧妙是最好的方法。例 6 由圆 外一点 引圆的割线交圆于 两点，求弦 的中点92yx)12,5(PBA、 A的轨迹方程。M分析 1 （直接法）根据题

12、设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，可得下面解法。解法 1 ：如图 42 3，设弦 的中点 的坐标为 ，连接 ，ABM),(yxOMP、则 ，在 中，由两点间的距离公式和勾股定理有OMP.169)2()5(22yxy图4 2 3PMBAOyx整理，得 其中.01252yxy.3x分析 2 （定义法）根据题设条件，判断并确定轨迹的曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。解法 2 ：因为 是 的中点，所以 ，MABABOM所以点 的轨迹是以 为直径的圆，圆心为 ,|P)625(半径为 该圆的方程为：

13、,213|O22)(6()5(yx化简，得 其中.0152yx.3x分析 3 （交轨法）将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点 可看作直线M与割线 的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。OMP解法 3 ：设过 点的割线的斜率为 则过 点的割线方程为： .,kP)5(12xky且过原点， 的方程为 这两条直线的交点就是 点的ABOMOM. M轨迹。两方程相乘消去 化简，得： 其中,k .01252yxy.3x分析 4 （参数法）将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数。由于动点 随直线的斜率变化而发生变化，所以动点 的坐标是直线斜率的函数，从而可得如下解法。解法 4

14、 ：设过 点的割线方程为：P)5(12xky它与圆 的两个交点为 ， 的中点为 .92yxBA、 M解方程组 ,912)5(2yxk利用韦达定理和中点坐标公式，可求得 点的轨迹方程为：M其中.01252yxy.3x分析 5 （代点法）根据曲线和方程的对应关系：点在曲线上则点的坐标满足方程。设而不求，代点运算。从整体的角度看待问题。这里由于中点 的坐标 与两交点),(yx通过中点公式联系起来，又点 构成 4 点共线的和谐关),(),(21yxBA、 、 MPBA、系，根据它们的斜率相等，可求得轨迹方程。解法 5 ：设 则),(),(),21yxBAyxM.2,211 yx.9,9221两式相减，

15、整理，得 .0)()( 212121yyxx所以 ,212yxy即为 的斜率，而 对斜率又可表示为AB,512xy,yx化简并整理，得 其中.052xy.3简评 ：上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法。其中解法 1、2、3 局限于曲线是圆的条件，而解法 4、5 适用于一般的过定点 且与二次曲线 交于 两点，求 中点PCBA、的轨迹问题。具有普遍意义，值得重视。对于解法 5 通常利用 可较简捷地求MPMk出轨迹方程，比解法 4 计算量要小，要简捷得多。例 7.若 ，则函数 的最大值为 （ ） 。42x3tan2yx法一：二次函数求最值令 , tan,x142xt4432222tant 811()

16、4tyxt法二：二次除以一次，均值定理令2tan,xt142xt24232-41+tan 2t 481ttty tx当且仅当 时等号成立1=法三：导数求单调性令2tan,xt142xt1yt则224+=1tt（ ） （ ）（ ） （ ）取到最大值为-8t例 8 已知圆 O 的半径为 1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么的最小值为（ ）PAB(A) (B) (C) (D)42324232法一：设 PA、PB 的长度P A B O 第 8 题图如图所示：设 PA=PB= ,x(0)APO= ，则 APB= ，PO= ，221x，21sinx= = = ，|cosPABP22(

17、1sin)x2(1)x42x令 ，则 ，令 ，y422,0tt则2(1)33tttt等号当且仅当 ，即 时成立。t2t故 .此时 .，选择答案 D。min()3PAB 1x法二：设 OP 的长度设 OP=t(t1), APO= ，则APB= , PA=PB= , 221tsint= |cos2PAB 22cos()3PABtt等号当且仅当 ，即 时成立2t2t法三：设APO= ，则 APB= , PA=PB= 21tan22 22 2si 1cosco=(1sin)()(sin)t siPAB A。当且仅当 ，即 时等号成立221+sin3i221=sini2si=例 9 解不等式 532x法

18、一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当 时，不等式可化为0-x 53-2x4x（2）当 时，不等式可化为3 ,故不符合题意，故选 D35x|0x3|8法八：设圆方程为： 椭圆方程为：92yx 1625yx两者联立解方程组得： 7259162591)9(162516222 xxyx9725x不可能，故圆 与椭圆 无交点92yx1652yx即 不可能垂直 故选 D1PF2例 11 求函数 的值域)()(01xxf+=法一：判别式法 设 ，则 ，由 -xy101y-2 2y=204 y当 时， - ， 因此当 时，2=+ x1x有最小值 2，即值域为)()(01xxf )+,2法二：单调性法

19、先判断函数 的单调性)()(01xxf+=任取 ，则2102121xf )-(-)(-当 时，即 ，此时 在 上时减函数xfxf)(f0,当 时， 在 上是增函数21 )(21+,由 在 上是减函数， 在 上是增函数，知)(xf0,xf1时， 有最小值 2，即值域为=f ,法三：配方法，当 时， ，此时21+)-()(xxf 01=x-1有最小值 2，即值域为)(xf )+,2法四：基本不等式法 xf1+=)( 21122=xx)()有最小值 2，即值域为 ,例 12 已知函数),)(+=12xaxf（1）当 时，求函数 的最小值；-2a)(f（2）若对于任意 恒成立，试求实数 的取值范围，0

20、1 ,xx a解：（1）当 时， ，当且仅当 时取等号2=a212+f)( 2=x由 性质可知， 在 上是增函数)()(0+kxf )(xf),，所以 在 是增函数， 在区间 上的最小值为, 1xf,1,127=)(f（2）法一：在区间上 ， 恒成立 恒成立),+102+xaf( 02+ ax设 ， 在 上增ax=2y), 112 -)(yx=),所以 时， ，于是当且仅当 时，函数 恒成立，3miny 3min (xf故 -3a法二： ),)(+=12xaxf当 时，函数 的值恒为正；0(f当 时，函数 为增函数，故当 时， ，于是当且仅当y0(f-法三：在区间 上， 恒成立 恒成立),+1

21、02+=xaf)( 02+ ax恒成立，故 应大于 ， 时的最大值-3，xa2- x2- u),1所以 3例 13 设二次函数 满足 即)()(22xfxf=且函数图象 y 轴上的截距为 1，)(f被 x 轴截的线段长为 ，求 的解析式2分析：设二次函数的一般形式 ，然后根据条件求出待)()(02+acbxaxf定系数 a,b,c法一：设 )()(02+=acbxaxf由 即f 得：又04221ax由题意可知 解之得：84cb= 1=c12=cba,+xxf)(法二： 即)()(22xfxf=故函数 的图象有对称轴y2=x可设 kxa+2)(函数图象与 y 轴上的截距为 1，则14ka又 被

22、x 轴截的线段长为 ，则2221dx整理得： 解之得：02=+ka1,21xxf)(法三：即)()(22xfxf=故 函数 的图象有对称轴 ，又fy 21=x与 x 轴的交点为： )(即02),02+故可设 (=xay 21f,)( xx例 14 设 ， ，求 的值。10=+alg10bba+法一（构造函数）设 ，则 ，由于 在xflg)( )(lg)(bbbfaf 101010=)(xf上是单调递增函数，所以 ，故 。,+0=+a法二（图象法）因为 是方程 的一个根，也就是方程 的一个根a10+xlg x-lg10是方程 的一个根，也就是方程 的一个根b=x令 ， ， ，在同一坐标系中作出他

23、们的图象，如图所xgl)(xh10)(-)(10示：108642-5 5 10B A AC是方程 的根，即图中 OA=a)(xg=a是方程 的根，即图中 OB=bhb易得 OA+OB=10，所以 10+a法三：方程 ， 的根为 ， 由 ，得 ，10=+xlg10xab10=+x xx-10，又 ，)-(lglgx)-l(，10x即 021-x即21=+)()(n-nna +1法二：作商0na 123123121 +=+=+ nnn)(- na方法三：（单调性）， 关于 单调递增=+2na2n- +1na1方法四：（此法重理解，不适合数学解答）浓度法 把 看成是一杯溶液（糖）的浓度，随着 的增大

24、（相当于向溶液中加2+=na n糖） ，浓度 当然增大，易得 na1+例 16 等比数列 的前 n 项和为 ， 已知对任意的 ，点 ，均在函数nSnN(,)nS且 均为常数)的图像上.(0xybr1,br（1）求 r 的值； （11 ）当 b=2 时，记 2(log1)(nnbaN证明：对任意的 ，不等式 成立N121nb解:（1）因为对任意的 ,点 ，均在函数 且 均为常数n()nS(0xyr1,br的图像上.所以得 ,当 时, ,当 时,Sbr1ab2n,又因为 为等比数列,所以1 11()()nnnna na,公比为 ,rbna（2）当 b=2 时， , 1()2nb 122(log1)

25、(log)nnnb则 ,所以1nb1235746n法一：数学归纳法下面用数学归纳法证明不等式 成立.1213572146nbbn当 时,左边= ,右边= ,因为 ,所以不等式成立. 1n323假设当 时不等式成立,即 成立. 则k1213572146kbbk当 时,左边=1n112 322kkbbk2223()4()()1()()14()k k所以当 时,不等式也成立. 1nk由、可得不等式恒成立.法二：构造数列设数列 满足 则nc12=1ncA1nc所以原不等式等价于357234146n A21n21nn22414n显然上式成立法三：构造函数令135721()46nfn则241=(-1)21

26、f nn 所以函数 在定义域上单调递增3574621f所以原式成立()=2fn法四：放缩法 235713572134567821=1246462nnnn （ ）法五：均值定理2+4682+() 2()35712468= =1246nnn 总结：细致的观察、大胆的想象以及扎实的数学基础是一题多解必备的基础条件，经常训练一题多解可以提高学生解决综合问题的能力，另外不同的思路解决同一个问题，有利于让自己的知识体系更网络化，从而在考试之中利于不败之地。所以在平时做题的过程中不要满足于通法通解，在能够完成一种或一类题的基础上（高考对于结果的要求使我们不得不追求通法通解） ，通过细致的观察、大胆的想象、合理的运用数学知识和方法创造出新的方法和技巧。同时对比各种方法和简便性、通用性，加入到自己的方法库中，为解题提供更多更有效的武器。