1、教育学期刊 2012 年 5 月刊推荐稿件例谈高中数学一题多解和一题多变的意义杨水长摘 要： 高中数学教学中 ,用一题 多解和一题多变的形式,可以使所学的知 识得到活化，融会 贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和 创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。关键词：一题多变 一题多解 创新思维 数学效果很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒” 的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。我觉得要使学生学
2、好数学，首先要提高学生的学习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明：例题： 已知 tan= 43,求 sin,cos 的值分析：因为题中有 sin、cos、tan，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：法一 根据同角三角函数关系式 tan= 43= cosin，且 sina2 + cos2 =1。两式联立，得出：cos2= 2516,cos= 或者cos= - 54；而 sin
3、=3或者 sin=- 。分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：法二 tan= 43： 在第一、三象限在第一象限时： cos2 = cosin225= tan21=2516cos=4sin= cos21= 53而在第三象限时： cosa=- 4sina=- 53分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙：法三 tan= 43= cosincos= 4= 3in= si2sin= 53，cos= 4或 sin=- ，cos=-分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑 sin、 cos、tan，可用定义来解此题。初中时，三
4、角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之：法四 当 为锐角时，由于 tana= 43,在直角教育学期刊 2012 年 5 月刊推荐稿件ABC 中，设 =A,a=3x,b=4x，则勾股定理，得，c=5xsinA= ABC= 53,cosA= = 54sin= ，cos= 或 sin= - 53，cos= -4分析 ：用初中三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更广：法五 当 为锐角时，如下图所示，在单位圆中，设 =AOT， 因为 tan= 43，则 T 点坐标是T(1, 43),由勾股定理得： OT=21= 5OMP0AT ATMP= O= ，
5、OM= 5, MP =3, p( 54, ),sin= 53，cos= 4或 sin=- ，cos= -分析： 圆和直线已经放入直角坐标系中，肯定可以尝试用解析几何法来解此题：解法六，如上图，易求出直线 OT 的方程和单位圆的方程y= 43x；x2+y2=1两式联立，得出： 543xy， 或 543xy.T 点坐标是 P(- 54, - ) P( , 3)sin= 3，cos= 或 sin= - 5，cos= -4分析： 先考虑 sin、cos 两者之间的关系，容易想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题：解法七 tan= 43= cosin4sina-3cosa=0由三角函数辅助角公式得，5
6、sin（a+）= 0,其中，sin= 5 , cos=4a+=k ，kZsina=sin（k - ） =sin 在第一、三象限容易求出 sin= 53，cos= 4或 sin=- ，cos= -分析： 仅仅从角度变换考虑，看一看，用二倍角公式是否能解决此问题：解法八，由二倍角公式，得，tan= 2tan1= 433tan2 +8tan -3=0tan 2= -3,或 tan = 31教育学期刊 2012 年 5 月刊推荐稿件sin=2sin 2cos = 2cosin2=21tan2sin= 53，cos=4或 sin= - ，cos= - 判别式 此外，我们还可以尝试从向量的角度思考这个问题
7、，这里就不再赘述。下面展示本题的变式与推广：变式 1： 已知 tan=-3，求 sincos 的值变式 2：已知 tan=m，求 sin，cos 的值变式 3 ：已知 sin=m，求 cos，tan 的值由上例可以看出，一题多解和一题多变可以使学生更积极参与到课堂中来,从而激发学生对数学学习的兴趣和信心。一道数学题因思考的角度不同可得到多种不同的解法,这有助于拓宽解题思路,提高学生分析问题的能力；一道数学题通过联想、类比、推广，可以得到一系列新的题目,甚至得到更一般的结论,这有助于学生应变能力的提高和发散思维的形成,增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。一题多解和一题多变犹如一座金桥，,能把学生从已知的此岸渡到未知的彼岸。
