1、曲线运动、运动的分解与合成一、考点突破 运动的分解与合成：全方位理解运动的合成与分解的方法及运动的合成与分解在实际问题中的应用。运动的合成与分解是分析解决曲线运动问题的重要方法，是每年高考的必考内容，曲线运动的条件及运动的合成与分解问题是高中物理问题的难点所在，特别是绳子的牵连速度问题，小船渡河问题是学生们学习曲线运动问题的难点，也是历次考试的重点。二、重难点提示1. 知道曲线运动中速度的方向，理解曲线运动是一种变速运动，必定具有加速度。2. 知道做曲线运动的条件。3. 能够准确地判断合运动与分运动；掌握应用运动的合成与分解的方法求解曲线运动类问题。一、曲线运动1. 曲线运动的速度方向：在曲线
2、运动中，运动质点在某一点的瞬时速度的方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。2. 曲线运动的性质：曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动，加速度不为零。3. 做曲线运动的条件：（1）从运动学角度说，物体的加速度方向跟运动方向不在同一条直线上，物体就做曲线运动。（2）从动力学角度说，如果物体受力的分方向跟运动方向不在同一条直线上，物体就做曲线运动。二、运动的合成与分解1. 合运动与分运动的关系一个物体的实际运动往往参与几个运动，我们把这几个运动叫做实际运动的分运动，把这个实际运动叫做这几个分运动的合运动。（1）等时性：各分运动经历的时
3、间与合运动经历的时间相等。（2）独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。（3）等效性：各分运动的叠加与合运动有完全相同的效果。2. 已知分运动求合运动叫运动的合成。即已知分运动的位移、速度和加速度等求合运动的位移、速度和加速度等，遵从平行四边形定则。3. 已知合运动求分运动叫运动的分解。它是运动合成的逆运算。处理曲线问题往往是把曲线运动按实效分解成两个方向上的分运动。4. 运动合成的方法（1）两个分运动在同一直线上时，运动合成前一般先要规定正方向，然后确定各分运动的速度、加速度和位移的正、负，再求代数和。（2）两个分运动不在同一直线上（即互成角度）时，要按平
4、行四边形定则来求合速度、合加速度和合位移。（3）互成角度的两个分运动的合成两个互成角度的匀速直线运动的合运动，仍然是匀速直线运动；两个互成角度的初速度为零的匀加速运动的合运动，一定是匀加速运动；两个互成角度的分运动，其中一个做匀速直线运动，另一个做匀变速直线运动，其合运动一定是匀变速曲线运动；两个初速度均不为零的匀变速直线运动合成时，若合加速度与合初速度的方向在同一直线上，则合运动仍然是匀变速直线运动；若合加速度的方向与合初速度的方向不在同一条直线上，则合运动一定是匀变速曲线运动。（4）两个互相垂直的都是匀速直线运动的合成其合运动与分运动都遵循平行四边形定则或三角形定则。则合位移的大小和方向为
5、：21x， 21tanx合速度的大小和方向为： 2v，tv5. 运动分解的方法（1）对运动进行分解时，要根据运动的实际效果来确定两个分运动的方向，否则分解无实际意义，也可以根据实际情况，对运动进行正交分解。（2）合运动与分运动的判断：合运动就是物体相对某一参考系（如地面）所做的实际运动，即物体合运动的轨迹一定是物体实际运动的轨迹，物体相对于参考系的速度即为合速度。（3）曲线运动一般可以分解成两个方向上的直线运动，通过对已知规律的直线运动的研究，可以知道曲线运动的规律，这是我们研究曲线运动的基本方法。命题规律：对物体做曲线运动的理解，会利用物体做曲线运动的条件判断物体是否做曲线运动及其运动性质和
6、运动轨迹。三、能力提升例题例 1 一个物体以初速度 0v从 A 点开始在光滑的水平面上运动，一个水平力作用在物体上，物体的运动轨迹如图中的实线所示，B 为轨迹上的一点，虚线是经过 A、B 两点并与轨迹相切的直线。虚线和实线将水平面分成五个区域，则关于施力物体的位置，下列各种说法中正确的是（ ）A. 如果这个力是引力，则施力物体一定在 区域中B. 如果这个力是引力，则施力物体可能在区域中C. 如果这个力是斥力，则施力物体一定在区域中D. 如果这个力是斥力，则施力物体可能在 区域中一点通：该题考查物体做曲线运动的条件，从动力学角度说，如果物体受力分方向跟运动方向不在同一条直线上，物体就做曲线运动。
7、而且物体受力的方向总是指向曲线弯曲的内侧。解：物体做曲线运动，一定受到与初速度 v0 方向不平行的力的作用，这个力与速度方向垂直的分量起到向心力的作用，使物体的运动轨迹向向心力的方向弯曲，且运动轨迹应在受力方向和初速度方向所夹的角度范围之内，所以此施力物体一定在轨迹两切线的交集处。如果是引力，施力物体在轨迹弯曲的内侧（相互吸引，使物体运动向轨迹内侧弯曲） 。如果是斥力，施力物体在轨迹弯曲的外侧（相互排斥，使物体运动向轨迹外侧弯曲） 。由 A 点的切线方向可知，施力物体可能在两区，由 B 点的切线方向可知施力物体可能在两区，综合可知如果是斥力，施力物体一定在区。答案：AC例 2 如图所示，在水平
8、地面上做匀速直线运动的小车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若小车和被吊的物体在同一时刻的速度分别为 v1 和 v2，绳子对物体的拉力为，物体所受的重力为，则下列说法正确的是（ ）A. 物体做匀速运动，且 v1=v2 B. 物体做加速运动，且 v2v1C. 物体做加速运动，且 D. 物体做匀速运动，且一点通：物体运动的速度和绳子的收缩速度相同，所以可以由小车运动速度和绳子收缩速度的关系求解，再结合竖直方向运动的规律，由牛顿运动定律判断绳子张力和重力的关系。解：小车在运动的过程中，其速度产生两个效果，故将小车的速度按照沿绳子方向与垂直绳子的方向进行分解，如右图所示，则由图可以看出 cos12v，则
9、 12v。随着小车向前移动， 将不断减小， cos将逐渐增大，则 2v逐渐增大，即物体做加速运动，根据牛顿第二定律可知，。答案：C例 3 如图所示，质量 m2.0 kg 的物体在水平外力的作用下在水平面上运动，已知物体运动过程中的坐标与时间的关系为 )(2.0tyx，g10 m/s 2。根据以上条件，求：（1）t10s 时刻物体的位置坐标；（2）t10s 时刻物体的速度和加速度的大小与方向。一点通：由题目的已知条件，物体参与 x、y 两个方向的运动，可以分别求出两个分方向运动的速度和加速度，再合成得到合运动的规律。解：（1）由于物体运动过程中的坐标与时间的关系为)(2.03mtyx，代入时间
10、t10 s，可得：x3.0t3.0 10 m30 my0.2t 20.2 102 m20 m。即 t10 s 时刻物体的位置坐标为（ 30,20） 。（2）由于物体运动过程中的坐标与时间的关系式 )(2.03mtyx，比较物体在两个方向的运动学公式，可求得：v 03.0 m/s，a0.4 m/s 2当 t10s 时，v yat0.410 m/s4.0 m/sv m/s5.0 m/s.tan即速度方向与 x 轴正方向的夹角为 53。物体在 x 轴方向做匀速运动，在 y 轴方向做匀加速运动，a0.4 m/s 2，沿 y 轴正方向。综合运用例题例 1 小船渡河，河宽 d180 m ，水流速度 v12
11、.5 m/s。（1）若船在静水中的速度为 v25 m/s ，求：欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？（2）若船在静水中的速度 v21.5 m/s ，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？K一点通：小船渡河同时参与两种形式的运动，从分运动的独立性出发，可知当船头垂直于河岸渡河时，渡河所需要的时间最短，对于船的最短航程问题，应把河水流速与船员在静水中的速度相比较，可分为两大类问题，对于河水的流速大于船速的情况，可通过矢量圆法进行分析。解：（1）若 v25 m/s欲使船在最短时间
12、内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时，如图所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为 v25 m/st 51802vds36 sv 合 1= m/ssv 合 t90 m欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一角度 。垂直河岸渡河要求 v 水平 0，所以船头应向上游偏转一定角度，如图所示，由 v2sinv 1 得 30所以当船头向上游偏 30时航程最短。sd180 mt324s 51803 cos2vs（2）若 v21.5 m/s与（1）中不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为 ，则航程s ind，欲使航程最短，需 最大，如
13、图所示，由出发点 A 作出 v1 矢量，以 v1 矢量末端为圆心，v 2 大小为半径作圆，A 点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使 v 合 与水平方向夹角最大，应使 v 合 与圆相切，即 v 合 v 2。sin 53.21v解得 37t .18037 cos2ds150sv 合 v 1cos 372 m/ssv 合 t300 m思维提升：（1）解决这类问题的关键是：首先要弄清楚合速度与分速度，然后正确画出速度的合成与分解的平行四边形图示，最后依据不同类型的极值对应的情景和条件进行求解。（2）运动分解的基本方法：按实际运动效果分解。高考资源网例 2 绳子末端速度（关联速度）的分解如图所示，水
14、平面上有一物体，小车通过定滑轮用绳子拉它，在图示位置时，若小车的速度为 sm/5，则物体的瞬时速度为 m/s。一点通：该题考查运动的合成与分解，注意区分合运动与分运动，找出物体实际的运动和参与的运动。对于绳子末端速度的分解类问题，一般以绳子和物体的连接点为研究对象，该点随物体的实际运动为合运动，其参与的两个分运动为沿绳子伸缩方向的运动和垂直于绳子的摆动，分运动与合运动构成平行四边形。解：由小车的速度为 5m/s，小车拉绳的速度smvx /3250cos2，则物体受到绳的拉力，拉绳的速度smvx/3251，则物体的瞬时速度为61/。答案： 35思维拓展例题例 1 宽 9 m 的成型玻璃板以 2
15、m/s 的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚割刀的速度为 10 m/s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，则：（1）金刚割刀的轨道应如何控制？（2）切割一次的时间为多长？一点通：该题目求解的重点在于合运动与分运动的确定，由题目条件知，割刀运动的速度是实际的速度，所以为合速度。其分速度的效果恰好相对玻璃垂直切割。解：（1）设割刀的速度 v2 的方向与玻璃板运动速度 v1 的方向之间的夹角为 ，如图所示。要保证割下的均是矩形的玻璃板，则由 v2 是合速度得 v1v 2cos所以 cos，即 51arcos所以，要割下矩形玻璃板，割刀速度方向与玻璃板运动速度方向成 51arcos。（2）
16、切割一次的时间 t s0.92 s答案：（1）割刀速度方向与玻璃板运动速度方向成 51arcos（2）0.92 s例 2 在光滑的水平面内，一质量 m1 kg 的质点以速度 v010 m/s 沿 x 轴正方向运动，经过原点后受一沿 y 轴正方向（竖直方向）的恒力 F15 N 作用，直线 OA 与 x 轴成 37，如下图所示曲线为质点的轨迹图（g 取 10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8） ，求：（1）如果质点的运动轨迹与直线 OA 相交于 P 点，质点从 O 点到 P 点所经历的时间以及 P 点的坐标；（2）质点经过 P 点的速度大小。一点通：该题考查曲线运动的处理方法，运动
17、的合成与分解，将物体实际的运动等效为沿 x 轴方向的匀速直线运动和沿 y 轴方向的匀加速直线运动，由两个熟悉的分运动的求解进而找到合运动的规律。解：（1）质点在水平方向上无外力作用做匀速直线运动，竖直方向受恒力 F 和重力 mg 作用做匀加速直线运动。由牛顿第二定律得：a m/s25 m/s2。设质点从 O 点到 P 点经历的时间为 t，P 点坐标为（x P，y P） ，则 xPv 0t，y Pat 2又 tan联立解得：t3 s，x P30 m，y P22.5 m 。即 P（30，22.5）（2）质点经过 P 点时沿 y 方向的速度vyat15 m/s故 P 点的速度大小vP5 m/s 。笔
18、记要知道物体做曲线运动的条件，能确定曲线运动的轨迹、掌握合运动与分运动的特点及运动合成与分解的方法，会进行运动的合成与分解，掌握两种典型模型，即小船渡河模型和绳拉物体模型（速度分解问题） 。对于“关联”速度问题，应明确绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，其两端点的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，即沿杆（或绳）方向的速度分量大小相等；小船渡河问题中，小船过河有最短时间的条件是：船头沿垂直于河岸方向行驶，小船过河时最短航程的问题是本部分的一个难点，通过运动的合成与分解并结合平行四边形定则进行数学分析，可进一步明确在不同条件下小船过河有最短航程的条件。高频疑问两个直线运动的合运动可能是
19、曲线运动吗？两个直线运动的合运动既可能是直线运动，也可能是曲线运动，实际的运动情况由两个分运动的性质决定，分别归纳如下：1. 物体做直线运动：（1）两个匀速直线运动的合运动；（2）两个初速度为 0 的匀加速直线运动的合运动；（3）合初速度与合加速度共线时。2. 物体做曲线运动：（1）互成角度的一个匀速直线运动和一个变速运动的合运动；（2）互成角度的两个变速运动的合运动（合初速度与合加速度有夹角） 。同步练习（答题时间：60 分钟）1. 光滑平面上一运动质点以速度 v 通过原点 O，v 与 x 轴正方向成 角（如图所示） ，与此同时对质点加上沿 x 轴正方向的恒力 Fx 和沿 y 轴正方向的恒力
20、 Fy，则（ ）A. 因为有 Fx，质点一定做曲线运动B. 如果 FyF x，质点向 y 轴一侧做曲线运动C. 质点不可能做直线运动D. 如果 FxF ycot ，质点向 x 轴一侧做曲线运动2. （高考）如图所示，甲、乙两同学从河中 O 点出发，分别沿直线游到 A 点和 B 点后，立即沿原路线返回到 O 点，OA、OB 分别与水流方向平行和垂直，且 OA=OB。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间 t 甲 、t 乙 的大小关系为（ ）A. t 甲 t 乙 D. 无法确定3. 如图所示，一根长直轻杆 AB 在墙角沿竖直墙和水平地面滑动，当 AB 杆和地面的夹角为 时，杆的 A
21、端沿墙下滑的速度大小为 v1，B 端沿地面滑动的速度大小为 v2。则 v1、v 2 的关系是（ ）A. v1v 2 B. v1v 2cos C. v1 v2tan D. v1v 2sin4. 某人在单向上行的自动扶梯上随其上行的同时，自己还不断匀速上行。从 A 层到 B 层他共走过 N1 级台阶。当他由 B 层返回 A 层时，在此梯上又不断下行，共走过 N2 级台阶。则 A 与 B 之间共有台阶数目是（ ）A. B. C. D. 5. 如图所示，一块橡皮用细线悬挂于 O 点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度（ ）A. 大小和方向均不变 B. 大小不变
22、，方向改变C. 大小改变，方向不变 D. 大小和方向均改变6. 一轮船以一定的速度垂直河岸向对岸开行，当河水流速均匀时，轮船所通过的路程、过河所用的时间与水流速度的正确关系是（ ）A. 水速越大，路程越长，时间越长 B. 水速越大，路程越长，时间越短C. 水速越大，路程和时间都不变 D. 水速越大，路程越长，时间不变7. 在无风的情况下，跳伞运动员从水平飞行的飞机上跳伞，下落过程中受到空气阻力，如下图所示的描绘下落速度的水平分量大小 vx、竖直分量大小 vy 与时间 t 的图象，可能正确的是（ ）8. 民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动
23、员骑马奔驰的速度为 v1，运动员静止时射出的弓箭的速度为 v2，跑道离固定目标的最近距离为 d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则（ ）O A B 水 流 方 向 A. 运动员放箭处离目标的距离为 B. 运动员放箭处离目标的距离为C. 箭射到固定目标的最短时间为 D. 箭射到固定目标的最短时间为9. 河宽 60 m，水流速度为 6 m/s，小船在静水中的速度为 3 m/s，则它渡河的最短时间是多少？最短航程是多少米？10. 有一小船正在渡河，如图所示，在离对岸 30 m 时，距下游一危险水域 40 m。假若水流速度为 5 m/s，为了使小船在到达危险水域之前到达对岸，那么，小船从现在
24、起相对于静水的最小速度应是多大？11. 一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳子提升一个质量为 m 的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是 H。车由静止开始向左做匀加速运动，经过时间 t 绳子与水平方向的夹角为 ，如图所示，试求：（1）车向左运动的加速度的大小；（2）重物 m 在 t 时刻的速度大小。1. D 解析：当 Fx 与 Fy 的合力 F 与 v 共线时质点做直线运动，F 与 v 不共线时质点做曲线运动，所以 A、C 错；因 大小未知，故 B 错，当 FxF ycot 时，F 指向 v 与 x 之间，因此 D 对。2. C 解析：设游速为 v，水速为 v0，OA OBl，则甲时
25、间 00llt甲；乙沿 OB 运动，乙的速度矢量图如图，合速度必须沿 OB 方向，则乙时间20tv乙，联立解得： t乙甲 ，C 正确。 v0 v v合 3. C 4. C5. A 解析：如图，笔匀速向右移动时，x 随时间均匀增大，y 随时间均匀减小，说明橡皮水平方向匀速运动，竖直方向也是匀速运动。所以橡皮的实际运动是匀速直线运动，A 正确。6. D 7. B 解析：跳伞运动员在空中受到重力，其大小不变，方向竖直向下，还受到空气阻力，其始终与速度反向，大小随速度的增大而增大，反之则减小。在水平方向上，运动员受到的合力是空气阻力在水平方向上的分力，故可知运动员在水平方向上做加速度逐渐减小的减速运动
26、。在竖直方向上运动员在重力与空气阻力的共同作用下先做加速度减小的加速运动，后做匀速运动。由以上分析结合 vt 图象的性质可知只有 B 正确。8. C 解析：要想以箭在空中飞行的时间最短的情况下击中目标， v2 必须垂直于 v1，并且 v1、v 2 的合速度方向指向目标，如图所示，故箭射到目标的最短时间为，C 对，D 错；运动员放箭处离目标的距离为，又 sv 1tv 1，故，A、B 错误。9. 20 s ，120 m10. 3 m/s解析：设小船到达危险水域前，恰好到达对岸，则其合位移方向如图所示，设合位移方向与河岸的夹角为 ，则：tan ，即 37，小船的合速度方向与合位移方向相同，根据平行四边形定则知，当船相对于静水的速度v1 垂直于合速度时，v 1 最小，由图可知，v 1 的最小值为： v1minv 2sin 5 m/s3 m/s，这时 v1 的方向与河岸的夹角90 53。即从现在开始，船头指向与上游成 53角，以相对于静水的速度 3 m/s 航行，在到达危险水域前恰好到达对岸。11. 解：（1）车在时间 t 内向左运动的位移： xHcot又车匀加速运动 xat 2所以 a（2）此时车的速度 v 车 at由运动的分解知识可知，车速 v 车 沿绳的分速度与重物 m 的速度相等，即 v 物 v 车 cos，得 v 物 。
